2020版高考数学一轮复习第7章立体几何第5节空间向量的运算及应用教学案含解析.pdf

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1、第五节 空间向量的运算及应用第五节 空间向量的运算及应用 考纲传真 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向 量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数 量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.4.理解直线的方向向量及平 面的法向量.5.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系.6.能用向量方法证明 立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理 1空间向量的有关概念 名称定义 空间向量在空间中，具有大小和方向的量 相等向量方向相同且模相等的向量 相反向量方向相反且模相等的向量 共线向量(或平行向 量)

2、表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 共面向量平行于同一个平面的向量 2.空间向量的有关定理 (1)共线向量定理：对空间任意两个向量a a，b b(b b0)，a ab b的充要条件是存在实数， 使得a ab b. (2)共面向量定理：如果两个向量a a，b b不共线，那么向量p p与向量a a，b b共面的充要条件 是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p pxa ayb b. (3)空间向量基本定理：如果三个向量a a，b b，c c不共面，那么对空间任一向量p p，存在有 序实数组x，y，z，使得p pxa ayb bzc c，其中，a a，b b，c c叫做空间的一个基底

3、 3两个向量的数量积 (1)非零向量a a，b b的数量积a ab b|a a|b b|cosa a，b b (2)空间向量数量积的运算律： 结合律：(a a)b b(a ab b)； 交换律：a ab bb ba a； 分配律：a a(b bc c)a ab ba ac c. 4空间向量的坐标表示及其应用 设a a(a1，a2，a3)，b b(b1，b2，b3) 向量表示坐标表示 数量积a ab ba1b1a2b2a3b3 共线a ab b(b b0，R R)a1b1，a2b2，a3b3 垂直a ab b0(a a0，b b0)a1b1a2b2a3b30 模|a a|a2 1a2 2a2 3

4、 夹角a a，b b(a a0，b b0)cosa a，b b a1b1a2b2a3b3 a2 1a2 2a2 3b2 1b2 2b2 3 5.空间位置关系的向量表示 位置关系向量表示 l1l2n n1n n2n n1n n2 直线l1，l2的方向向量分别为n n1，n n2 l1l2 n n1n n2n n1n n2 0 ln nm mn nm m0 直线l的方向向量为n n，平面的法向量为m m ln nm mn nm m n nm mn nm m 平面，的法向量分别为n n，m m n nm mn nm m0 常用结论 1对空间任一点O，若xy(xy1)，则P，A，B三点共线OP OA

5、OB 2对空间任一点O，若xyz(xyz1)，则P，A，B，C四点共面OP OA OB OC 3平面的法向量的确定：设a a，b b是平面内两不共线向量，n n为平面的法向量， 则求法向量的方程组为Error! 基础自测 1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”) (1)空间中任意两非零向量a a，b b共面 ( ) (2)若A，B，C，D是空间任意四点，则有0.( )AB BC CD DA (3)设a a，b b，c c是空间的一个基底，则a a，b b，c c中至多有一个零向量 ( ) (4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同( ) 答案 (1) (2) (

6、3) (4) 2 (教材改编)设u u(2,2，t)，v v(6， 4,4)分别是平面，的法向量 若， 则t( ) A3 B4 C5 D6 C C ，则u uv v262(4)4t0， t5. 3 (教材改编)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点 若a a，b b，AB AD c c，则下列向量中与相等的向量是( )AA1 BM Aa ab bc c 1 2 1 2 B.a ab bc c 1 2 1 2 Ca ab bc c 1 2 1 2 D.a ab bc c 1 2 1 2 A A ()c c (b ba a)a ab bc c.BM BB1 B1M A

7、A1 1 2 AD AB 1 2 1 2 1 2 4已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则下列向量是平面ABC法向量的是( ) A(1,1,1) B(1，1,1) C. D. ( 3 3 ， 3 3 ， 3 3)( 3 3 ， 3 3 ， 3 3) C C 设n n(x，y，z)为平面ABC的法向量， 则Error!化简得Error! xyz.故选 C. 5(教材改编)已知a a(2,3,1)，b b(4,2，x)，且a ab b，则|b b|_. 2 a ab b，a ab b0，即86x0，x2.6 b b(4,2,2)，|b b|2.16446 空间向量的线性运算

8、1.如图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别为OA，BC的中点， 点G在线段MN上，且2，若xyz，则xyz_.MG GN OG OA OB OC 连接ON，设a a，b b，c c， 5 6 OA OB OC 则 ()b bc ca a，MN ON OM 1 2 OB OC 1 2OA 1 2 1 2 1 2 OG OM MG 1 2OA 2 3MN a aa ab bc c. 1 2 2 3( 1 2b b 1 2c c 1 2a a) 1 6 1 3 1 3 又xyz，所以x ，y ，z ，OG OA OB OC 1 6 1 3 1 3 因此xyz . 1 6

9、1 3 1 3 5 6 2.如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设a a，b b，c c，M，N，P分别AA1 AB AD 是AA1，BC，C1D1的中点，设用a a，b b，c c表示以下各向量： (1)；(2)；(3).AP A1N MP NC1 解 (1)因为P是C1D1的中点， 所以a aAP AA1 A1D1 D1P AD 1 2D 1C1 a ac ca ac c b b. 1 2AB 1 2 (2)因为N是BC的中点， 所以a ab bA1N A1A AB BN 1 2BC a ab ba ab bc c. 1 2AD 1 2 (3)因为M是AA1的中点， 所以MP

10、 MA AP 1 2A 1A AP a a 1 2(a ac c 1 2b b) a ab bc c， 1 2 1 2 又NC1 NC CC1 1 2BC AA1 c ca a， 1 2AD AA1 1 2 所以MP NC1 ( 1 2a a 1 2b bc c) (a a 1 2c c) a ab bc c. 3 2 1 2 3 2 规律方法 用基向量表示指定向量的方法 1结合已知向量和所求向量观察图形. 2将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中. 3利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来. 共线(共面)向量定理的应用 【例 1】 已知E，F，G，H分别为空间四

11、边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点 (1)求证：E，F，G，H四点共面； (2)求证：BD平面EFGH. 证明 (1)连接BG，EG，则EG EB BG EB 1 2(BC BD ) EB BF EH .EF EH 所以E，F，G，H四点共面 (2)因为 ().EH AH AE 1 2AD 1 2AB 1 2 AD AB 1 2BD 所以EHBD. 又EH平面EFGH，BD平面EFGH， 所以BD平面EFGH. 规律方法 1证明点共线问题可转化为证明向量共线问题， 如证A，B，C三点共线， 即证共线，,只需证即可. 2证明点共面问题，可转化为证向量共面问题.,如证P，A，B，C四点共

12、面，只需证 或对空间任意一点O，有或 其中xyz1即可. (1)已知a a(1,0,2)，b b(6,21,2)，若a ab b，则与的值可 以是( ) A2， B ， 1 2 1 3 1 2 C3,2 D2,2 (2)已知a a(2，1,3)，b b(1,4，2)，c c(7,5，)，若a a，b b，c c三向量共面， 则实数等于_ (1)A A (2) (1)a ab b，设b bxa a， 65 7 Error! 解得Error!或Error!故选 A. (2)a a与b b不共线，故存在实数x，y使得c cxa ayb b， Error!解得Error! 故填. 65 7 空间向量的

13、数量积 【例 2】 如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为 1， 且两两夹角为 60 . (1)求AC1的长； (2)求BD1与AC夹角的余弦值 解 (1)设a a，b b，c c，AB AD AA1 则|a a|b b|c c|1， a a，b bb b，c cc c，a a60，a ab bb bc cc ca a . 1 2 |2(a ab bc c)2a a2b b2c c22(a ab bb bc cc ca a)11126，AC1 ( 1 2 1 2 1 2) |，即AC1的长为.AC1 66 (2)b bc ca a，a ab b，BD1 A

14、C |，|，BD1 2AC 3 (b bc ca a)(a ab b)BD1 AC b b2a a2a ac cb bc c1. cos， .BD1 AC BD1 AC |BD1 |AC | 6 6 AC与BD1夹角的余弦值为. 6 6 规律方法 1利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通 过向量共线确定点在线段上的位置. 2利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角. 3可以通过|a a|，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解. 如图， 已知直三棱柱ABCA1B1C1， 在底面ABC中，CACB1， BCA 90， 棱AA12，M，N分别是A1B1，A1A

15、的中点 (1)求的模；BN (2)求 cos，的值；BA1 CB1 (3)求证：A1BC1M. 解 (1)如图，以点C作为坐标原点O，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴， 建立空间直角坐标系 由题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)， 所以|BN 102012102 .3 (2)由题意得A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)， 所以(1，1,2)，(0,1,2)，BA1 CB1 3，|，|，BA1 CB1 BA1 6CB1 5 所以 cos，.BA1 CB1 BA1 CB1 |BA1 |CB1 | 30 10 (3)证明：由题意得C1(0,0

16、,2)， M， ( 1 2， 1 2，2) (1,1，2)，A1B ，C1M ( 1 2， 1 2，0) 所以 00，A1B C1M 1 2 1 2 所以，即A1BC1M.A1B C1M 利用向量证明平行与垂直问题 【例 3】 如图所示， 在四棱锥PABCD中，PC平面ABCD，PC2， 在四边形ABCD中， B C90，AB4，CD1，点M在PB上，PB4PM，PB与平面ABCD成 30角，求证： (1)CM平面PAD； (2)平面PAB平面PAD. 解 (1)证明 ： 由题意知，CB，CD，CP两两垂直， 以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CD 所在直线为y轴，CP所在直线为z轴建立如图

17、所示的空间直角坐标系Cxyz. PC平面ABCD， PBC为PB与平面ABCD所成的角， PBC30. PC2，BC2，PB4，3 D(0,1,0)，B(2，0,0)，A(2，4,0)，P(0,0,2)，M，33 ( 3 2 ，0，3 2) (0，1,2)，(2，3,0)，DP DA 3 .CM ( 3 2 ，0，3 2) (1)设n n(x，y，z)为平面PAD的一个法向量， 由Error!即Error! 令y2，得n n(，2,1)3 n n201 0，CM 3 3 2 3 2 n n.又CM平面PAD，CM CM平面PAD. (2)法一：由(1)知(0,4,0)，(2，0，2)，BA P

18、B 3 设平面PAB的一个法向量为m m(x0，y0，z0)， 由Error!即Error! 令x01，得m m(1,0，)3 又平面PAD的一个法向量n n(，2,1)，3 mnmn1()0210，33 平面PAB平面PAD. 法二：取AP的中点E，连接BE， 则E(，2,1)，(，2,1)3BE 3 PBAB，BEPA. 又(，2,1)(2，3,0)0，BE DA 33 .BEDA.BE DA 又PADAA， BE平面PAD. 又BE平面PAB， 平面PAB平面PAD. 规律方法 1.利用向量法证明平行问题的类型及方法 1证明线线平行：两条直线的方向向量平行. 2证明线面平行： 该直线的方

19、向向量与平面的某一法向量垂直； 证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行； 证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示. 3证明面面平行：两个平面的法向量平行. 2.利用向量法证明垂直问题的类型及方法 1证明线线垂直：两条直线的方向向量的数量积为 0. 2证明线面垂直：直线的方向向量与平面的法向量平行. 3证明面面垂直： 根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直；两个平面的法向量 垂直. 如图所示，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AA1AD1，E为CD中点 (1)求证：B1EAD1； (2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP平面B1AE？若存在，求

20、AP的长；若不存在， 说明理由 解 以A为原点， ， ，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的AB AD AA1 空间直角坐标系设ABa. (1)证明：A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E，B1(a,0,1)， ( a 2，1，0) 故(0,1,1)，.AD1 B1E ( a 2，1，1) 因为B1E AD1 011(1)10， a 2 因此，B1E AD1 所以B1EAD1. (2)存在满足要求的点P， 假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)， 使得DP平面B1AE，此时(0，1，z0)，DP 再设平面B1AE的一个法向量为n n(x，y，z) (a,0,1)，.AB1 AE ( a 2，1，0) 因为n n平面B1AE，所以n n，n n，得Error!AB1 AE 取x1，则y ，za， a 2 则平面B1AE的一个法向量n n. (1， a 2，a) 要使DP平面B1AE，只要n n，有 az00，解得z0 .DP a 2 1 2 所以存在点P，满足DP平面B1AE， 此时AP . 1 2