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1、六 概率与统计中的高考热点问题六 概率与统计中的高考热点问题 命题解读 1. 统计与概率是高考中相对独立的一块内容，处理问题的方式、方法体 现了较高的思维含量，该类问题以应用题为载体，注重考查学生的数学建模及阅读理解能力、 分类讨论与化归转化能力 2概率问题的核心是概率计算，其中事件的互斥、对立是概率计算的核心. 统计问题 的核心是样本数据的获得及分析方法，重点是频率分布直方图、茎叶图和样本的数字特征， 统计与概率内容相互渗透，背景新颖 统计与统计案例 以统计图表或文字叙述的实际问题为载体， 通过对相关数据的分析、 抽象概括， 作出估计、 判断. 常与抽样方法、茎叶图、频率分布直方图、概率等知
2、识交汇考查，考查学生的数据处理 能力与运算能力及应用意识 【例 1】 已知某班n名同学的数学测试成绩(单位：分，满分 100 分)的频率分布直方 图如图所示，其中a，b，c成等差数列，且成绩在90,100内的有 6 人 (1)求n的值； (2)规定 60 分以下为不及格，若不及格的人中女生有 4 人，而及格的人中，男生比女生 少 4 人，借助独立性检验分析能否在犯错误的概率不超过 0.10 的前提下认为“本次测试的及 格情况与性别有关”？ 附： P(2x0)0.100.050.0100.005 x02.7063.8416.6357.879 2. nadbc2 abcdacbd 解 (1)依题意
3、得 Error! 解得b0.01. 因为成绩在90,100内的有 6 人， 所以n60. 6 0.01 10 (2)由于 2bac， 而b0.01， 可得ac0.02， 则不及格的人数为 0.02106012， 及格的人数为 601248， 设及格的人中，女生有x人，则男生有x4 人，于是xx448，解得x26，故及 格的人中，女生有 26 人，男生有 22 人 于是本次测试的及格情况与性别的 22 列联表如下： 及格不及格总计 男22830 女26430 总计481260 所以21.6672.706，故不能在犯错误的概率不超 60 22 48 262 30 30 48 12 过 0.10 的
4、前提下认为“本次测试的及格情况与性别有关” 规律方法 独立性检验的方法 (1)构造 22 列联表； (2)计算2； (3)查表确定有多大的把握判定两个变量有关联 易错提示：查表时不是查最大允许值，而是先根据题目要求的百分比找到第一行对应的 数值，再将该数值对应的临界值与求得的2相比较另外，表中第一行数据表示两个变量没 有关联的可能性p，所以其有关联的可能性为 1p. 近几年出现各种食品问题，食品添加剂会引起血脂增高、血压增高、血糖增 高等疾病为了解三高疾病是否与性别有关，医院随机对入院的 60 人进行了问卷调查，得到 了如下的列联表： (1)请将如图的列联表补充完整若用分层抽样的方法在患三高疾
5、病的人群中抽 9 人，其 中女生抽多少人？ (2)为了研究患三高疾病是否与性别有关，请计算出统计量2，并说明是否可以在犯错 误的概率不超过 0.005 的前提下认为患三高疾病与性别有关 患三高疾病不患三高疾病总计 男630 女 总计36 下面的临界值表供参考： P(2x0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001 x02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828 (参考公式2，其中nabcd) nadbc2 abcdacbd 解 (1)完善补充列联表如下： 患三高疾病不患三高疾病总计 男24630 女121830 总计362460 在患三高疾
6、病人群中抽 9 人，则抽取比例为 ， 9 36 1 4 所以女性应该抽取 12 3(人) 1 4 (2)根据 22 列联表，则 2107.879. 60 24 186 122 30 30 36 24 所以可以在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下认为患三高疾病与性别有关 常见概率模型的概率 概率应用题侧重于古典概型，主要考查随机事件、等可能事件、互斥事件、对立事件的 概率. 解决简单的古典概型试题可用直接法(定义法)，对于较为复杂的事件的概率，可以利用 所求事件的性质将其转化为互斥事件或对立事件的概率求解 【例 2】 (2017全国卷)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成 本
7、每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理 完 根据往年销售经验， 每天需求量与当天最高气温(单位 ：)有关 如果最高气温不低于 25， 需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间20,25)，需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20， 需求量为 200 瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据， 得下面的频数分布表： 最高气温10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40) 天数216362574 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率 (1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过
8、300 瓶的概率 (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)当六月份这种酸奶一天的进货量 为 450 瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率 解 (1)这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶，当且仅当最高气温低于 25，由表格数 据知，最高气温低于 25 的频率为0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶 21636 90 的概率的估计值为 0.6. (2)当这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时， 若最高气温不低于 25，则Y64504450900； 若最高气温位于区间20,25)，则Y63002(450300)4450300； 若最高气温低于 20，则Y62002(
9、450200)4450100， 所以，Y的所有可能值为 900,300，100. Y大于零当且仅当最高气温不低于 20，由表格数据知，最高气温不低于 20 的频率为 0.8，因此Y大于零的概率的估计值为 0.8. 362574 90 规律方法 统计以考查抽样方法、样本的频率分布、样本特征数的计算为主，概率以 考查概率计算为主，往往和实际问题相结合，要注意理解实际问题的意义，使之和相应的概 率计算对应起来，只有这样才能有效地解决问题 某商场在元旦举行购物抽奖促销活动， 规定顾客从装有编号为 0,1,2,3,4 的 五个相同小球的抽奖箱中一次任意摸出两个小球，若取出的两个小球的编号之和等于 7，则
10、中 一等奖，等于 6 或 5，则中二等奖，等于 4，则中三等奖，其余结果为不中奖 (1)求中二等奖的概率； (2)求不中奖的概率 解 (1)记“中二等奖”为事件A 从五个小球中一次任意摸出两个小球， 不同的结果有0,1， 0,2， 0,3， 0,4， 1,2， 1,3，1,4，2,3，2,4，3,4，共 10 个基本事件 记两个小球的编号之和为x，由题意可知，事件A包括两个互斥事件：x5，x6. 事件x5 的取法有 2 种，即1,4，2,3，故P(x5) ； 2 10 1 5 事件x6 的取法有 1 种，即2,4，故P(x6). 1 10 所以P(A)P(x5)P(x6) . 1 5 1 10
11、 3 10 (2)记“不中奖”为事件B，则“中奖”为事件 ，由题意可知，事件 包括三个互斥事件 ：BB 中一等奖(x7)，中二等奖(事件A)，中三等奖(x4) 事件x7 的取法有 1 种，即3,4，故P(x7)； 1 10 事件x4 的取法有0,4，1,3，共 2 种，故P(x4) . 2 10 1 5 由(1)可知，P(A). 3 10 所以P( )P(x7)P(x4)P(A) .B 1 10 1 5 3 10 3 5 所以不中奖的概率为P(B)1P( )1 .B 3 5 2 5 统计与概率的综合应用 统计和概率知识相结合命题统计概率解答题已经是一个新的命题趋向，概率和统计知识 初步综合解答
12、题的主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的关键，在 此基础上掌握好样本数字特征及各类概率的计算 【例 3】 (本小题满分 12 分)(2018全国卷)某家庭记录了未使用节水龙头 50 天的 日用水量数据(单位：m3)和使用了节水龙头 50 天的日用水量数据，得到频数分布表如下： 未使用节水龙头 50 天的日用水量频数分布表 日用 水量 0， 0.1) 0.1， 0.2) 0.2， 0.3) 0.3， 0.4) 0.4， 0.5) 0.5， 0.6) 0.6， 0.7) 频数13249265 使用了节水龙头 50 天的日用水量频数分布表 日用 水量 0，0.1)0.1，0.2)
13、0.2，0.3)0.3，0.4)0.4，0.5)0.5，0.6) 频数151310165 (1)在下图中作出使用了节水龙头 50 天的日用水量数据的频率分布直方图； (2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于 0.35 m3的概率； (3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？(一年按 365 天计算，同一组中的 数据以这组数据所在区间中点的值作代表) 信息提取 看到作频率分布直方图，想到作频率分布直方图的作图规则； 看到求概率，想到利用频率分布直方图求概率的方法； 看到估计节水量，想到求使用节水龙头前后的用水量 规范解答 (1)如图所示 4 分 (2)根据以上数据， 该家庭使用节水龙
14、头后 50 天日用水量小于 0.35 m3的频率为 0.20. 110.12.60.120.050.48，6 分 因此该家庭使用节水龙头后，日用水量小于 0.35 m3的概率的估计值为 0.48.7 分 (3)该家庭未使用节水龙头 50 天日用水量的平均数为 1 (0.051 0.153 0.252 0.354 0.459 0.5526 0.655)x 1 50 0.48.9 分 该家庭使用了节水龙头后 50 天日用水量的平均数为 2 (0.0510.1550.25130.35100.45160.555)0.35. 11 分x 1 50 估计使用节水龙头后，一年可节省水(0.480.35)36
15、547.45(m3).12 分 易错与防范 作频率分布直方图时注意纵轴单位是 “” ， 计算平均数时运算要准确， fi xi 避免“会而不对”的失误 通性通法 概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大 亮点和热点 它与其他知识融合、 渗透， 情境新颖， 充分体现了概率与统计的工具性和交汇性 长时间用手机上网严重影响着学生的身体健康， 某校为了解A，B两班学生手 机上网的时长，分别从这两个班中随机抽取 5 名同学进行调查，将他们平均每周手机上网的 时长作为样本绘制成茎叶图如图所示(图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字) (1)你能否估计哪个班级平均每周上网时间较长？ (2
16、)从A班的样本数据中随机抽取一个不超过 19 的数据记为a，从B班的样本数据中随 机抽取一个不超过 21 的数据记为b，求ab的概率 解 (1)A班样本数据的平均值为 (911142031)17， 1 5 由此估计A班学生每周平均上网时间为 17 小时； B班样本数据的平均值为 (1112212526)19， 1 5 由此估计B班学生每周平均上网时间为 19 小时 所以B班学生上网时间较长 (2)A班的样本数据中不超过 19 的数据a有 3 个，分别为 9,11,14，B班的样本数据中不 超过 21 的数据b也有 3 个，分别为 11,12,21.从A班和B班的样本数据中各随机抽取一个共 有
17、9 种不同的情况，分别为(9,11)，(9,12)，(9,21)，(11,11)，(11,12)，(11,21)，(14,11)， (14,12)，(14,21)，其中ab的情况有(14,11)，(14,12)，2 种， 故ab的概率P . 2 9 大题增分专训 1某校高三期中考试后，数学教师对本次全部数学成绩按 120 进行分层抽样，随机抽 取了 20 名学生的成绩为样本，成绩用茎叶图记录如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得 到如下表所示的频率分布表： 分数 段(分) 50,70)70,90)90,110)110,130)130,150总计 频数b 频率a0.25 (1)求表中a，b的值及
18、成绩在90,110)范围内的样本数，并估计这次考试全校高三学生 数学成绩的及格率(成绩在90,150内为及格)； (2)若从茎叶图中成绩在100,130)范围内的样本中一次性抽取两个，求取出两个样本数 字之差的绝对值小于或等于 10 的概率 解 (1)由茎叶图知成绩在50,70)范围内的有2人， 在110,130)范围内的有3人， a 0.1，b3. 成绩在90,110)范围内的频率为 10.10.250.250.4， 成绩在90,110)范围内的样本数为 200.48. 估计这次考试全校高三学生数学成绩的及格率为 P10.10.250.65. (2)所有可能的结果为 (100,102)，(1
19、00,106)，(100,106)，(100,116)，(100,118)，(100,128)，(102,106)， (102,106)， (102,116)， (102,118)， (102,128)， (106,106)， (106,116)， (106,118)， (106,128)， (106,116)，(106,118)，(106,128)，(116,118)，(116,128)，(118,128)，共 21 个， 取出的两个样本中数字之差小于或等于 10 的结果为(100,102)，(100,106)，(100,106)， (102,106)，(102,106)，(106,106)
20、，(106,116)，(106,116)，(116,118)，(118,128)，共 10 个，P(A). 10 21 2 某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研 究， 他们分别记录了12月 1日至12月 5日的昼夜温差与实验室每天每 100颗种子中的发芽数， 得到如下资料： 日期12 月 1 日12 月 2 日12 月 3 日12 月 4 日12 月 5 日 温差x()101113128 发芽数y(颗)2325302616 该农科所确定的研究方案是 ： 先从这 5 组数据中选取 2 组， 用剩下的 3 组数据求回归方程， 再对被选取的 2 组数据进行检验
21、(1)求选取的 2 组数据恰好是不相邻的 2 天数据的概率； (2)若选取的是 12 月 1 日与 12 月 5 日的两组数据， 请根据 12 月 2 日至 12 月 4 日的数据， 求y关于x的线性回归方程ybxa； (3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差不超过 2 颗， 则认为得 到的线性回归方程是可靠的，试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠？ (附：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其回归直线ybxa的斜率和 截距的最小二乘估计分别为b，a b.) n i1x iyinx y n i1x 2inx2 yx 解 (1)设抽到不相邻两组数据为
22、事件A，因为从 5 组数据中选取 2 组数据共有 10 种 情况， 每种情况是等可能出现的， 其中抽到相邻两组数据的情况共有 4 种， 所以P(A)1 4 10 ，故选取的 2 组数据恰好是不相邻的 2 天数据的概率为 . 3 5 3 5 (2)由数据，求得 (111312)12，x 1 3 (253026)27，y 1 3 xiyi112513301226977，x112132122434， 3 i1 3 i1 2i 所以b ，a27 123. 3 i1x iyi3x y 3 i1x 2i3x2 9773 12 27 4343 122 5 2 5 2 所以回归直线方程为yx3. 5 2 (3)当x10 时，y22，|2223|2，同理当x8 时，y17，|1716|2. 所以该研究得到的线性回归方程是可靠的