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1、课时跟踪检测（六十五）课时跟踪检测（六十五） 二项式定理二项式定理 一、题点全面练一、题点全面练 1.(2019河北“五个一名校联盟”模拟河北“五个一名校联盟”模拟) 3的展开式中的常数项为 的展开式中的常数项为( ) ( ( 2 x2 x4) ) A.3 B.322 C.6D.6 解析 ： 选解析 ： 选 D 通项 通项 Tr 1 C 3r( x4)rC ()3 r( 1)rx 66r， 当 ， 当66r0， 即， 即 r1 r 3 ( ( 2 x2) ) r 3 2 时为常数项，时为常数项，T26，故选，故选 D. 2.设设(2x)5a0a1xa2x2a5x5，则的值为，则的值为( ) a
2、2a4 a1a3 A.B. 61 60 122 121 C.D. 3 4 90 121 解析 ： 选解析 ： 选 C 由二项式定理， 得 由二项式定理， 得 a1C 2480， a2C 2380， a3C 2240， a4C 1 52 53 5 210，所以，所以 . 4 5 a2a4 a1a3 3 4 3.若二项式若二项式 7的展开式的各项系数之和为 的展开式的各项系数之和为1，则含，则含 x2项的系数为项的系数为( ) ( ( x2a x) ) A.560B.560 C.280D.280 解析 ： 选解析 ： 选 A 取 取 x1， 得二项式， 得二项式 7的展开式的各项系数之和为 的展开
3、式的各项系数之和为(1a)7， 即， 即(1a)7 ( ( x2a x) ) 1,1a1，a2.二项式二项式 7的展开式的通项 的展开式的通项 Tr 1 C (x2)7 rr C (2)rx14 3r. ( ( x22 x) ) r 7 ( ( 2 x) ) r 7 令令 143r2，得，得 r4.因此，二项式因此，二项式 7的展开式中含 的展开式中含 x2项的系数为项的系数为 C (2)4560. ( ( x22 x) ) 4 7 4.(2018山西八校第一次联考山西八校第一次联考)已知已知(1x)n的展开式中第的展开式中第 5 项与第项与第 7 项的二项式系数相等， 则奇数项的二项式系数和
4、为 项的二项式系数相等， 则奇数项的二项式系数和为( ) A.29B.210 C.211D.212 解析 ： 选解析 ： 选A 由题意得 由题意得C C ， 由组合数性质得， 由组合数性质得n10， 则奇数项的二项式系数和为， 则奇数项的二项式系数和为2n 1 4 n6 n 29. 5.二项式二项式 9的展开式中，除常数项外，各项系数的和为 的展开式中，除常数项外，各项系数的和为( ) ( ( 1 x 2x2) ) A.671B.671 C.672D.673 解析：选解析：选 B 令 令 x1，可得该二项式各项系数之和为，可得该二项式各项系数之和为1.因为该二项展开式的通项公式 为 因为该二项
5、展开式的通项公式 为 Tr 1 C 9r( 2x2)rC (2)rx3r 9，令 ，令 3r90，得，得 r3，所以该二项展开式中的常，所以该二项展开式中的常 r 9 ( ( 1 x) ) r 9 数项为数项为 C (2)3672，所以除常数项外，各项系数的和为，所以除常数项外，各项系数的和为1(672)671. 3 9 6.(2018石家庄二模石家庄二模)在在(1x)5(2x1)的展开式中，含的展开式中，含 x4项的系数为项的系数为( ) A.5B.15 C.25D.25 解析：选解析：选 B 由题意含 由题意含 x4项的系数为项的系数为2C C 15. 3 54 5 7.(2018枣庄二模
6、枣庄二模)若若(x2a) 10的展开式中 的展开式中 x6的系数为的系数为 30，则，则 a 等于等于( ) ( ( x1 x) ) A.B. 1 3 1 2 C.1D.2 解析 ： 选解析 ： 选 D 10的展开式的通项公式为 的展开式的通项公式为 Tr 1 C x10 rr C x10 2r， 令 ， 令 102r ( ( x1 x) ) r 10 ( ( 1 x) ) r 10 4， 解得， 解得 r3， 所以， 所以 x4项的系数为项的系数为 C .令令 102r6， 解得， 解得 r2， 所以， 所以 x6项的系数为项的系数为 C .所以所以(x2 3 102 10 a) 10的展开
7、式中 的展开式中 x6的系数为的系数为 C aC 30，解得，解得 a2. ( ( x1 x) ) 3 102 10 8.若若(1mx)6a0a1xa2x2a6x6，且，且 a1a2a663，则实数，则实数 m 的值为的值为( ) A.1 或或 3B.3 C.1D.1 或或3 解析 ： 选解析 ： 选 D 令 令 x0， 得， 得 a0(10)61.令令 x1， 得， 得(1m)6a0a1a2a6.a1a2 a3a663，(1m)66426，m1 或或 m3. 9.(2019唐山模拟唐山模拟)(2x1)6的展开式中，二项式系数最大的项的系数是的展开式中，二项式系数最大的项的系数是_.(用数字
8、作答 用数字 作答) 解析：解析：(2x1)6的展开式中，二项式系数最大的项是第四项，系数是的展开式中，二项式系数最大的项是第四项，系数是 C 23(1)3160. 3 6 答案：答案：160 10.(2019贵阳模拟贵阳模拟) 9的展开式中 的展开式中 x3的系数为的系数为84，则展开式的各项系数之和为，则展开式的各项系数之和为 ( ( xa x) ) _. 解析 ： 二项展开式的通项解析 ： 二项展开式的通项Tr 1 C x9 rr arC x9 2r， 令 ， 令92r3， 得， 得r3， 所以， 所以a3C r 9 ( ( a x) ) r 93 9 84，解得，解得 a1，所以二项式
9、为，所以二项式为 9，令 ，令 x1，则，则(11)90，所以展开式的各项系数之，所以展开式的各项系数之 ( ( x1 x) ) 和为和为 0. 答案：答案：0 11. 5展开式中的常数项为 展开式中的常数项为_. ( ( x1 x 1 ) ) 解析：解析： 5展开式的通项公式为 展开式的通项公式为 Tr 1 C 5r.令 令 r5，得常数项为，得常数项为 C 1， ( ( x1 x 1 ) ) r 5 ( ( x1 x) ) 5 5 令令r3， 得常数项为， 得常数项为C 220， 令， 令r1， 得常数项为， 得常数项为C C 30， 所以展开式中的常数项为， 所以展开式中的常数项为120
10、 3 51 52 4 3051. 答案：答案：51 12.已知已知 n的展开式中，前三项的系数成等差数列 的展开式中，前三项的系数成等差数列. ( ( x 1 2 4 x) ) (1)求求 n； (2)求展开式中的有理项；求展开式中的有理项； (3)求展开式中系数最大的项求展开式中系数最大的项. 解：解：(1)由二项展开式知，前三项的系数分别为由二项展开式知，前三项的系数分别为 C ， C ， C ， 0 n 1 2 1 n 1 4 2 n 由已知得由已知得 2 C C C ，解得，解得 n8(n1 舍去舍去). 1 2 1 n0 n 1 4 2 n (2) 8的展开式的通项 的展开式的通项
11、Tr 1 C ()8 rr 2 rC x4 (r0,1，8)， ( ( x 1 2 4 x) ) r 8 x ( ( 1 2 4 x) ) r 8 3r 4 要求有理项， 则要求有理项， 则 4必为整数， 即必为整数， 即 r0,4,8， 共， 共 3 项， 这项， 这 3 项分别是项分别是 T1x4， T5x， T9 3r 4 35 8 . 1 256x2 (3)设第设第 r1 项的系数项的系数 ar 1最大，则 最大，则 ar 1 2 rC ， ， r 8 则则1， ar 1 ar 2 rCr 8 2 r 1 Cr 18 9 r 2r 1， ar 1 ar 2 2 rCr 8 2 r 1
12、Cr 18 2 r 1 8 r 解得解得 2r3. 当当 r2 时，时，a32 2C 7，当，当 r3 时，时，a42 3C 7， 2 83 8 因此，第因此，第 3 项和第项和第 4 项的系数最大，项的系数最大， 二、专项培优练二、专项培优练 (一一)易错专练易错专练不丢怨枉分不丢怨枉分 1.在二项式在二项式 n的展开式中恰好第五项的二项式系数最大，则展开式中含有 的展开式中恰好第五项的二项式系数最大，则展开式中含有 x2项的系项的系 ( ( x1 x) ) 数是数是( ) A.35B.35 C.56D.56 解析：选解析：选 C 由于第五项的二项式系数最大，所以 由于第五项的二项式系数最大
13、，所以 n8.所以二项式所以二项式 8展开式的通 展开式的通 ( ( x1 x) ) 项公式为项公式为 Tr 1 C x8 r( x 1)r (1)rC x8 2r，令 ，令 82r2，得，得 r3，故展开式中含有，故展开式中含有 x2项项 r 8r 8 的系数是的系数是(1)3C 56. 3 8 2.已知已知 C 4C 42C 43C (1)n4nC 729， 则， 则 C C C 的值等于的值等于( ) 0 n1 n2 n3 nn n1 n2 nn n A.64B.32 C.63D.31 解析 ： 选解析 ： 选C 因为 因为C 4C 42C 43C (1)n4nC 729， 所以， 所以
14、(14)n36， 所以， 所以n 0 n1 n2 n3 nn n 6，因此，因此 C C C 2n126163. 1 n2 nn n 3.(2019济南模拟济南模拟) 5的展开式中各项系数的和为 的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中含，则该展开式中含 x4项的项的 ( ( xa x) )( (2x 1 x) ) 系数为系数为_. 解析：令解析：令 x1，可得，可得 5的展开式中各项系数的和为 的展开式中各项系数的和为 1a2，得，得 a1， ( ( xa x) )( (2x 1 x) ) 则则 5展开式中含 展开式中含 x4项的系数即是项的系数即是 5展开式中的含 展开式中的含 x3项与
15、含项与含 x5项系数的和项系数的和. ( ( x1 x) )( (2x 1 x) ) ( ( 2x1 x) ) 又又 5展开式的通项为 展开式的通项为 Tr 1 C (1)r25 rx52r，令 ，令 52r3，得，得 r1，令，令 52r5， ( ( 2x1 x) ) r 5 得得 r0，将，将 r1 与与 r0 分别代入通项，可得含分别代入通项，可得含 x3项与含项与含 x5项的系数分别为项的系数分别为80 与与 32，故 原展开式中含 ，故 原展开式中含 x4项的系数为项的系数为803248. 答案：答案：48 (二二)交汇专练交汇专练融会巧迁移融会巧迁移 4.与复数交汇设复数与复数交汇
16、设复数 x(i 是虚数单位是虚数单位)，则，则 CxCx2Cx3Cx2 2i 1 i 12 01922 01932 0192 0192 019 019 ( ) A.iB.i C.1iD.i1 解析 ： 选解析 ： 选 D 因为 因为 x1i，所以，所以 CxCx2Cx3C 2i 1 i 2i 1 i 1 i 1 i 12 01922 01932 019 x2 019(1x)2 0191(11i)2 0191i2 0191i1. 2 0192 019 5.与导数交汇已知与导数交汇已知(x2)9a0a1xa2x2a9x9， 则， 则(a13a35a57a79a9)2(2a2 4a46a68a8)2
17、的值为的值为( ) A.39 B.310 C.311D.312 解析 ： 选解析 ： 选 D 对 对(x2)9a0a1xa2x2a9x9两边同时求导，得两边同时求导，得 9(x2)8a12a2x 3a3x28a8x79a9x8， 令， 令 x1， 得， 得 a12a23a38a89a9310， 令， 令 x1， 得， 得 a12a2 3a38a89a932.所以所以(a13a35a57a79a9)2(2a24a46a68a8)2(a12a2 3a38a89a9)(a12a23a38a89a9)312. 6.与定积分交汇设与定积分交汇设 a2xdx，则二项式，则二项式 6展开式中的常数项为 展开式中的常数项为_. 1 1 0 0 ( ( ax21 x) ) 解析 ：解析 ： a 2xdxx21， 则二项式， 则二项式 6 6， 其展开式的通项公式为 ， 其展开式的通项公式为 Tr 1 1 1 0 0 | 1 1 0 0) ( ( ax21 x) ) ( ( x21 x) ) C (x2)6 rr (1)rC x12 3r，令 ，令 123r0，解得，解得 r4.所以常数项为所以常数项为(1)4C 15. r 6 ( ( 1 x) ) r 64 6 答案：答案：15