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1、课时跟踪检测课时跟踪检测(十七十七) 利用导数证明不等式 利用导数证明不等式 1(2019唐山模拟唐山模拟)已知已知 f(x) x2a2ln x，a0. 1 2 (1)求函数求函数 f(x)的最小值；的最小值； (2)当当 x2a 时，证明：时，证明： a. f x f 2a x 2a 3 2 解：解：(1)函数函数 f(x)的定义域为的定义域为(0，)， f(x)x. a2 x x a x a x 当当 x(0，a)时，时，f(x)0，f(x)单调递减；单调递减； 当当 x(a，)时，时，f(x)0，f(x)单调递增单调递增 所以当所以当 xa 时，时，f(x)取得极小值，也是最小值，且取得
2、极小值，也是最小值，且 f(a) a2a2ln a. 1 2 (2)证明：由证明：由(1)知，知，f(x)在在(2a，)上单调递增，上单调递增， 则所证不等式等价于则所证不等式等价于 f(x)f(2a) a(x2a)0. 3 2 设设 g(x)f(x)f(2a) a(x2a)， 3 2 则当则当 x2a 时，时， g(x)f(x) ax a 3 2 a2 x 3 2 0， 2x a x 2a 2x 所以所以 g(x)在在(2a，)上单调递增，上单调递增， 当当 x2a 时，时，g(x)g(2a)0， 即即 f(x)f(2a) a(x2a)0， 3 2 故故 a. f x f 2a x 2a 3
3、 2 2(2018黄冈模拟黄冈模拟)已知函数已知函数 f(x)ln xe x( R) (1)若函数若函数 f(x)是单调函数，求是单调函数，求 的取值范围；的取值范围； (2)求证：当求证：当 0x1x2时，时，e1 x2 e1 x1 1. x2 x1 解：解：(1)函数函数 f(x)的定义域为的定义域为(0，)， f(x)ln xe x， ， f(x) e x ， x xe x x 函数函数 f(x)是单调函数，是单调函数，f(x)0 或或 f(x)0 在在(0，)上恒成立，上恒成立， 当函数当函数 f(x)是单调递减函数时，是单调递减函数时， f(x)0， ， 0， 即， 即 xe x 0
4、， xe x . xe x x x ex 令令 (x) ，则 ，则 (x)， x ex x 1 ex 当当 0x1 时，时，(x)0；当；当 x1 时，时，(x)0， 则则 (x)在在(0,1)上单调递减， 在上单调递减， 在(1， ， )上单调递增， 当上单调递增， 当 x0 时，时， (x)min(1) ， ， 1 e . 1 e 当函数当函数 f(x)是单调递增函数时，是单调递增函数时， f(x)0， ， 0， 即， 即 xe x 0， xe x xe x x ， x ex 由得由得 (x) 在 在(0,1)上单调递减， 在上单调递减， 在(1， ， )上单调递增， 又上单调递增， 又(
5、0)0， 当， 当 x x ex 时，时，(x)0，0. 综上，综上， 的取值范围为的取值范围为0，) ( ( ， ，1 e (2)证明：由证明：由(1)可知，当可知，当 时， 时，f(x) ln xe x在 在(0，)上单调递减，上单调递减， 1 e 1 e 0x1x2， f(x1)f(x2)，即，即 ln x1ex1 ln x2ex2， 1 e 1 e e1x2e1x1ln x1ln x2. 要证要证 e1x2e1x11，只需证，只需证 ln x1ln x21，即证，即证 ln 1， x2 x1 x2 x1 x1 x2 x2 x1 令令 t，t(0,1)，则只需证，则只需证 ln t1 ，
6、 ， x1 x2 1 t 令令 h(t)ln t 1，则当，则当 0t1 时，时，h(t)0， 1 t t 1 t2 h(t)在在(0,1)上单调递减，又上单调递减，又h(1)0，h(t)0，即，即 ln t1 ，故原不等式得证 ，故原不等式得证 1 t 3(2019贵阳模拟贵阳模拟)已知函数已知函数 f(x)kxln x1(k0) (1)若函数若函数 f(x)有且只有一个零点，求实数有且只有一个零点，求实数 k 的值；的值； (2)求证：当求证：当 nN*时，时，1 ln(n1) 1 2 1 3 1 n 解 ：解 ： (1)f(x)kxln x1， ， f(x)k (x0， k0)； 当；
7、当 0x 时， 时， f(x)0 ； 1 x kx 1 x 1 k 当当 x 时， 时，f(x)0. 1 k f(x)在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， ( ( 0， ，1 k) ) ( ( 1 k， ， ) ) f(x)minfln k， ( ( 1 k) ) f(x)有且只有一个零点，有且只有一个零点， ln k0，k1. (2)证明：由证明：由(1)知知 xln x10，即，即 x1ln x，当且仅当，当且仅当 x1 时取等号，时取等号， nN*，令，令 x，得 ，得 ln ， n 1 n 1 n n 1 n 1 ln ln lnln(n1)， 1 2 1 3 1 n 2 1 3 2 n 1 n 故故 1 ln(n1) 1 2 1 3 1 n