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1、经济类高等数学实验课,理学院数学系,第二讲,一、实验目的,掌握利用Mathematica软件求极限的方法，加深对极限概念的理解，了解函数极限与左右极限间的联系，进一步理解无穷小的概念和收敛速度问题； 熟练掌握用Mathematica软件求显函数导数与微分的方法； 掌握隐函数以及由参数方程确定的函数的求导方法； 一般掌握用Mathematica软件求函数极值的近似值的方法。,二、实验内容,1.用Mathematica求函数极限： 命令的一般形式是 Limitfx,x-a （其中fx是数列或者函数的表达式， x-a是自变量的变化趋势。如果自变量趋向于无穷，用 x-Infinity来表示。）,示例：
2、,i.输入 Limitx3+Sqrt1+2x2,x-1 输出 1 ii.输入 Limit（n2+n）(1/3)/(n+2),n-Infinity 输出 0 iii.输入 Limit(Tanx-Sinx)/(Sinx)3,x-0 输出,验证重要极限,绘制图形 Plot(1+1/x)x,x,10,1000 输出为 求极限 Limit(1+1/x)x,x-Infinity 输出为 e,2.左右极限的计算,对于单侧极限，通过命令Limit的选项Direction 表示自变量的变化方向。 i.求右极限时：Limitfx,x-a, Direction-1; ii.求左极限时：Limitfx,x-a, Di
3、rection-1; iii.求 时的极限： 用Limitfx,x-Infinity, Direction-+1; iv.求 时的极限： 用Limitfx,x-Infinity, Direction-1; (注意：右极限用减号，表示自变量减少趋向于a。),观察函数 ，并确定其当 时的极限。 分别输入： PlotArcTanx,x,-5Pi,5Pi LimitArcTanx,x-Infinity,Direction-+1 LimitArcTanx,x-Infinity,Direction-1,3.无穷小收敛速度的比较,（i） 与 （ii） 与 首先在同一坐标系内作出每组函数的图形 Plotx2,
4、 2x, x, -0.1, 0.1, PlotStyleRGBColor0, 1, 0, RGBColor0, 0, 1 Plot1-Cos2x, x2, x, -0.1, 0.1, PlotStyleRGBColor0, 1, 0, RGBColor0, 0, 1 从图形中容易看到无穷小趋于零的快慢 。 再输入： Limitx2/（2x）, x - 0 输出： 0 Limit(1-Cos2x)/x2, x - 0 输出： 2,温馨提示： 由于Mathematica软件版本的限制，有些极限在Mathematica4.0中可能不能计算，但对于Mathematica5.0则都可以完成。,4. 用M
5、athematica软件求一元函数的导数与微分：,在Mathematica软件中，可用命令D求函数的导数，其基本形式是 Dfx,x 例： DLogx,x DArcTan6x-1,x,若要求fx在x=a处的导数，只要将x=a赋给上面的导函数便可得到，或直接使用命令 Dfx,x/.x-a DArcTan(6x-1)(1/2),x/.x-1 例： 设 ，求 和 输入 DSin2x*Cos5x,x 输出 2Cos2xCos5x-5Sin2xSin5x 再输入 %/.x-Pi/4 输出,若求fx对x的n阶导，则使用命令 Dfx,x,n 例 求函数 的三、七、八阶导数。 输入 DExpxSin2x,x,3
6、 DExpxSin2x,x,7 DExpxSin2x,x,8,求函数微分的命令是Dt，其基本形式是 Dtfx 例：求函数 的微分。 输入 DtxLogx 输出,5隐函数的导数,在Mathematica软件中求方程的解的命令是Solve。其格式是 Solvefx= =0,x （方程中的等号要用双等号来表示。其输出形式形如 ，其中a就是x的解。）,例：求由方程 确定的隐函数的导数，其中 为自变量。 解 首先方程左右两侧同时对 求导，并将求导后的方程命名。 输入 a1 = D2x2 - 2x*yx + yx2 + x + 2yx + 1 = 0, x 然后在此方程中以 为自变量求方程的解。 输入 S
7、olvea1,yx (注意：在输入方程表达式时，要把函数 写做 ，表示 是 的函数。),如求二阶导数，则只需 a2 = D2x2 - 2x*yx + yx2 + x + 2yx + 1 = 0, x,2 Solvea2,yx/.% （后一条语句表示求二阶导数时把一阶导数值代入）。,6求函数的极值（i）,例 求一元函数 的极值。 解 定义函数：fx_=2x3-6x2-18x+7； 求导：diff=Dfx,x； 求驻点：Solvediff= =0,x，求得其两根为-1和3； 求函数的二阶导数：diff2x_=Dfx,x,2； 计算驻点处的二阶导数值：diff2-1,diff23； 根据驻点处的二阶
8、导数值判断其极大、极小值点； 计算极值：f-1,f3。,6求函数的极值（ii）,Mathematica中求极值的命令格式为： FindMinimumfx,x,a（求极小值） FindMaximumfx,x,a（求极大值） （本命令能够确定函数在初值a附近的极值的一个近似值。）,例 求函数 的位于区间 内的极值的近似值 。 解 首先画出函数的图形，以确定初值的大概位置 Plot2(Sin2x)2+5/2x*(Cosx/2)2,x,0,Pi 输出,观察函数图形，发现在x=1.5附近有极小值，在x=0.6和x=2.5附近有极大值，所以输入： FindMinimum2(Sin2x)2+5/2x*(Cosx/2)2,x,1.5 输出为1.94461, x - 1.62391 即极小值点为x=1.62391， 极小值为1.94461。,再输入 FindMaximum2(Sin2x)2+5/2x*(Cosx/2)2,x,0.6 FindMaximum2(Sin2x)2+5/2x*(Cosx/2)2,x,2.5 输出为 3.73233, x - 0.864194 2.95708, x - 2.24489,Your work （i）完成本次课实验报告 （ii）实验习题二中作业题,