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1、-1- 3 3.3 3.3 3 函数的最大(小)值与导数 -2- 3 3.3 3.3 3 函数的最大(小)值与导数 课前预习案 新知导学 当堂检测 课堂探究案 答疑解惑 首页 首页 -3- 3 3.3 3.3 3 函数的最大(小)值与导数 课前预习案 新知导学 当堂检测 课堂探究案 答疑解惑 首页 课前预习案 新知导学 1.函数在闭区间的最值 一般地,如果在区间a,b上,函数y=f(x)的图象是一条连续不断的 曲线,那么它必有最大值和最小值. -4- 3 3.3 3.3 3 函数的最大(小)值与导数 课前预习案 新知导学 当堂检测 课堂探究案 答疑解惑 首页 课前预习案 新知导学 名师点拨函数
2、最值与极值的区别 1.函数在闭区间上若存在最大值或最小值,则最大值或最小值只 能各有一个,具有唯一性;而极大值和极小值可能有多个,也可能没 有. 2.极值只能在函数区间的内部取得,而最值可以在区间的端点取 得,有极值的不一定有最值,有最值的不一定有极值,极值有可能成 为最值. -5- 3 3.3 3.3 3 函数的最大(小)值与导数 课前预习案 新知导学 当堂检测 课堂探究案 答疑解惑 首页 课前预习案 新知导学 【做一做1】 下列说法正确的是( ) A.函数的极大值就是函数的最大值 B.函数的极小值就是函数的最小值 C.函数的最值一定是极值 D.在闭区间上的连续函数一定存在最值 答案:D -
3、6- 3 3.3 3.3 3 函数的最大(小)值与导数 课前预习案 新知导学 当堂检测 课堂探究案 答疑解惑 首页 课前预习案 新知导学 2.函数在闭区间a,b上最值的求法 一般地,求函数f(x)在闭区间a,b上的最值的步骤如下: (1)求函数f(x)在(a,b)内的极值; (2)将函数f(x)的各个极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最 大的一个是最大值,最小的一个是最小值. 特别提醒如果函数f(x)在闭区间a,b上恰好是单调函数,那么函 数的最值恰好在两个端点处取到.当f(x)在闭区间a,b上递增时,f(a) 是最小值,f(b)是最大值;当f(x)在闭区间a,b上递减时,f(a
4、)是最大 值,f(b)是最小值. -7- 3 3.3 3.3 3 函数的最大(小)值与导数 课前预习案 新知导学 当堂检测 课堂探究案 答疑解惑 首页 课前预习案 新知导学 【做一做2】 函数f(x)=x3-3x2+12在区间-1,1上的最大值与最小 值分别为 . 解析:f(x)=3x2-6x=3x(x-2), 令f(x)=0得x=0(x=2舍去). 当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表: 所以当x=-1时,函数取最小值f(-1)=8,当x=0时,函数取最大值 f(0)=12. 答案:12,8 -8- 3 3.3 3.3 3 函数的最大(小)值与导数 课前预习案 新知导学 当堂检测
5、课堂探究案 答疑解惑 首页 课前预习案 新知导学 思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打 “”. (1)在f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的曲线,那么f(x)在a,b 上存在极值和最值. ( ) (2)函数y=f(x)在a,b上连续,是函数y=f(x)在a,b上有最大值或最 小值的充分而非必要条件. ( ) (3)函数的最值有可能在极值点处取得. ( ) (4)若f(x)在区间(a,b)上的图象是连续不断的曲线,那么f(x)在(a,b) 上存在最值. ( ) (5)如果函数f(x)在(a,b)上只有一个极值,那么这个极值就是相应 的最值. ( ) 答案:(1
6、) (2) (3) (4) (5) -9- 3 3.3 3.3 3 函数的最大(小)值与导数 课前预习案 新知导学 当堂检测 课堂探究案 答疑解惑 首页 课堂探究案 答疑解惑 探究一探究二探究三思想方法 求函数在闭区间上的最值求函数在闭区间上的最值 【例1】 求下列函数在相应区间上的最值: (1)f(x)=2x3-12x,x-1,3; (2)f(x)= x+sin x,x0,2. 思路点拨: -10- 3 3.3 3.3 3 函数的最大(小)值与导数 课前预习案 新知导学 当堂检测 课堂探究案 答疑解惑 首页 课堂探究案 答疑解惑 探究一探究二探究三思想方法 -11- 3 3.3 3.3 3
7、函数的最大(小)值与导数 课前预习案 新知导学 当堂检测 课堂探究案 答疑解惑 首页 课堂探究案 答疑解惑 探究一探究二探究三思想方法 -12- 3 3.3 3.3 3 函数的最大(小)值与导数 课前预习案 新知导学 当堂检测 课堂探究案 答疑解惑 首页 课堂探究案 答疑解惑 探究一探究二探究三思想方法 反思感悟求函数f(x)在闭区间a,b上的最值的步骤 (1)求函数f(x)的导函数f(x); (2)解方程f(x)=0,求出使得f(x)=0的所有点; (3)计算函数f(x)在区间a,b内使得f(x)=0的所有点以及端点的函 数值; (4)比较以上各个函数值,其中最大的是函数的最大值,最小的是
8、函数的最小值. -13- 3 3.3 3.3 3 函数的最大(小)值与导数 课前预习案 新知导学 当堂检测 课堂探究案 答疑解惑 首页 课堂探究案 答疑解惑 探究一探究二探究三思想方法 -14- 3 3.3 3.3 3 函数的最大(小)值与导数 课前预习案 新知导学 当堂检测 课堂探究案 答疑解惑 首页 课堂探究案 答疑解惑 探究一探究二探究三思想方法 求函数在开区间求函数在开区间(无穷区间无穷区间)上的最值上的最值 【例2】求下列函数的最值: 思路点拨:没有给定相应的闭区间,因此应分析函数在其定义域 上的单调性与极值情况,根据单调性与极值画出函数的大致图象, 结合图象求出最值. -15- 3
9、 3.3 3.3 3 函数的最大(小)值与导数 课前预习案 新知导学 当堂检测 课堂探究案 答疑解惑 首页 课堂探究案 答疑解惑 探究一探究二探究三思想方法 -16- 3 3.3 3.3 3 函数的最大(小)值与导数 课前预习案 新知导学 当堂检测 课堂探究案 答疑解惑 首页 课堂探究案 答疑解惑 探究一探究二探究三思想方法 -17- 3 3.3 3.3 3 函数的最大(小)值与导数 课前预习案 新知导学 当堂检测 课堂探究案 答疑解惑 首页 课堂探究案 答疑解惑 探究一探究二探究三思想方法 反思感悟求一个函数在无穷区间(或开区间)上的最值与在闭区 间上的最值的方法是不同的,求函数在无穷区间(
10、或开区间)上的最 值,不仅要研究其极值情况,还要研究其单调性,并通过单调性和极 值情况,画出函数的大致图象,然后借助图象观察得到函数的最值. -18- 3 3.3 3.3 3 函数的最大(小)值与导数 课前预习案 新知导学 当堂检测 课堂探究案 答疑解惑 首页 课堂探究案 答疑解惑 探究一探究二探究三思想方法 -19- 3 3.3 3.3 3 函数的最大(小)值与导数 课前预习案 新知导学 当堂检测 课堂探究案 答疑解惑 首页 课堂探究案 答疑解惑 探究一探究二探究三思想方法 与最值有关的参数问题与最值有关的参数问题 【例3】 已知函数 在区间(a,10-a2)上有最小值,求实数a 的取值范围
11、. 思路点拨:先求出函数f(x)的单调区间与极值,然后结合图象建立 关于参数a的不等式求解. 自主解答:f(x)=x2-1=(x+1)(x-1),令f(x)0,得x1; 令f(x)0),x1,4,f(x)的最大值为3,最 小值为-6,则a+b= . 解析:f(x)=4ax3-12ax2. 令f(x)=0,得x=0(舍去)或x=3. 当10, 故x=3为极小值点. 因为f(3)=b-27a,f(1)=b-3a,f(4)=b, 所以f(x)的最小值为f(3)=b-27a,最大值为f(4)=b. -22- 3 3.3 3.3 3 函数的最大(小)值与导数 课前预习案 新知导学 当堂检测 课堂探究案
12、答疑解惑 首页 课堂探究案 答疑解惑 探究一探究二探究三思想方法 分类讨论思想在解决函数最值问题中的应用 【审题视角】 对于(1),可利用导数通过解不等式求得单调区间; 对于(2),由于函数的最值只能在极值点和端点处取得,因此需比较 极值点和端点处的函数值的大小即可,最后再将讨论的情况进行合 并整理. -23- 3 3.3 3.3 3 函数的最大(小)值与导数 课前预习案 新知导学 当堂检测 课堂探究案 答疑解惑 首页 课堂探究案 答疑解惑 探究一探究二探究三思想方法 -24- 3 3.3 3.3 3 函数的最大(小)值与导数 课前预习案 新知导学 当堂检测 课堂探究案 答疑解惑 首页 课堂探
13、究案 答疑解惑 探究一探究二探究三思想方法 -25- 3 3.3 3.3 3 函数的最大(小)值与导数 课前预习案 新知导学 当堂检测 课堂探究案 答疑解惑 首页 课堂探究案 答疑解惑 探究一探究二探究三思想方法 方法点睛1.解答含参数的问题,往往需要对参数进行分类讨论后 进行求解. 2.在分类讨论的每一种情况中得到参数的值后,要注意检验该结 果是否符合讨论的前提条件. 3.分类讨论时,若在所讨论的范围内,问题无法解决,还需要针对 参数展开第二层讨论. 4.针对参数的所有情况讨论完成后,应将结论进行整合. -26- 3 3.3 3.3 3 函数的最大(小)值与导数 课前预习案 新知导学 当堂检
14、测 课堂探究案 答疑解惑 首页 课堂探究案 答疑解惑 探究一探究二探究三思想方法 跟踪训练跟踪训练已知函数f(x)=ax-ln x,是否存在实数a,使得函数在(0,e 上的最小值等于2?若存在,求出实数a的值;若不存在,说明理由. -27- 3 3.3 3.3 3 函数的最大(小)值与导数 课前预习案 新知导学 当堂检测 课堂探究案 答疑解惑 首页 课堂探究案 答疑解惑 探究一探究二探究三思想方法 -28- 3 3.3 3.3 3 函数的最大(小)值与导数 课前预习案 新知导学 当堂检测 课堂探究案 答疑解惑 首页 当堂检测 12345 -29- 3 3.3 3.3 3 函数的最大(小)值与导
15、数 课前预习案 新知导学 当堂检测 课堂探究案 答疑解惑 首页 当堂检测 12345 解析:f(x)=1-sin x0,所以函数f(x)在0,上单调递增,因此最小值 为f(0)=1,最大值为f()=-1. 答案:D -30- 3 3.3 3.3 3 函数的最大(小)值与导数 课前预习案 新知导学 当堂检测 课堂探究案 答疑解惑 首页 当堂检测 12345 -31- 3 3.3 3.3 3 函数的最大(小)值与导数 课前预习案 新知导学 当堂检测 课堂探究案 答疑解惑 首页 当堂检测 12345 4.函数f(x)=xe-x,x0,4的最小值为 . -32- 3 3.3 3.3 3 函数的最大(小)值与导数 课前预习案 新知导学 当堂检测 课堂探究案 答疑解惑 首页 当堂检测 12345