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1、-1- 1 1.1 1 利用函数性质判定方程解的存在利用函数性质判定方程解的存在 -2- 1 1.1 1 利用函数性质判定方程解的存在利用函数性质判定方程解的存在 课前篇 自主预习 课堂篇 探究学习 当堂检测 首页 首页 -3- 1 1.1 1 利用函数性质判定方程解的存在利用函数性质判定方程解的存在 课前篇 自主预习 课堂篇 探究学习 当堂检测 首页 课前篇 自主预习首页 一二 一、函数的零点 1.函数y=f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点. 2.函数f(x)的零点就是方程 f(x)=0的解. 【做一做1】 函数y=x2+2x-8的零点为( ) A.(-4,0),(2,0)
2、 B.-4,2 C.-4D.2 解析:根据零点的定义,令y=x2+2x-8=0. 解得x1=-4,x2=2.所以零点为-4,2. 答案:B -4- 1 1.1 1 利用函数性质判定方程解的存在利用函数性质判定方程解的存在 课前篇 自主预习 课堂篇 探究学习 当堂检测 首页 课前篇 自主预习首页 一二 二、函数零点的存在性定理 若函数y=f(x)在闭区间a,b上的图像是连续曲线,并且在区间端 点的函数值符号相反,即 f(a)f(b)0,且f(x)在 (0,+)上为增函数,所以零点一定位于区间(3,4),故选B. 答案:B -5- 1 1.1 1 利用函数性质判定方程解的存在利用函数性质判定方程解
3、的存在 课前篇 自主预习 课堂篇 探究学习 当堂检测 首页 课前篇 自主预习首页 一二 思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打 “”. (1)零点就是函数图像与x轴的交点. ( ) (2)二次函数有可能有三个零点. ( ) (3)若函数y=f(x)在闭区间a,b上的图像是连续曲线,且满足 f(a)f(b)0,即a0, f(x)=0在(0,2)上必定存在实根. 又显然f(x)=2x+lg(x+1)-2在(-1,+)上为增函数,故f(x)有且只有一 个实根,即f(x)只有一个零点. (方法二) 在同一坐标系中作出函数h(x)=2-2x和g(x)=lg(x+1)的图像如
4、图所 示. 由图像知g(x)=lg(x+1)和h(x)=2-2x有且只有一个交点, 即f(x)=2x+lg(x+1)-2有且只有一个零点. -12- 1 1.1 1 利用函数性质判定方程解的存在利用函数性质判定方程解的存在 课前篇 自主预习 课堂篇 探究学习 当堂检测 首页 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三规范答题 判断函数零点个数的三种方法 (1)利用方程的根,转化为解方程,有几个不同的实数根就有几个 零点. (2)画出y=f(x)的图像,判断它与x轴交点的个数,从而判断零点的 个数. (3)转化为两个函数图像交点问题. 例如,函数F(x)=f(x)-g(x)的零点个数就是方程f(x)=
5、g(x)的实数根 的个数,也就是函数y=f(x)的图像与y=g(x)的图像交点的个数. -13- 1 1.1 1 利用函数性质判定方程解的存在利用函数性质判定方程解的存在 课前篇 自主预习 课堂篇 探究学习 当堂检测 首页 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三规范答题 -14- 1 1.1 1 利用函数性质判定方程解的存在利用函数性质判定方程解的存在 课前篇 自主预习 课堂篇 探究学习 当堂检测 首页 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三规范答题 答案:(1)C (2)1 -15- 1 1.1 1 利用函数性质判定方程解的存在利用函数性质判定方程解的存在 课前篇 自主预习 课堂篇 探究学习 当
6、堂检测 首页 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三规范答题 函数零点性质的应用函数零点性质的应用 【例3】设函数f(x)=ax+3a+1(a0)在-2x2上存在一个零点, 求实数a的取值范围. 分析:函数f(x)为关于x的一次函数,当它穿过零点时,函数值变号. 解:f(x)=ax+3a+1(a0)在区间-2,2上存在零点,f(-2)f(2)0, (-2a+3a+1)(2a+3a+1)0, 即(a+1)(5a+1)0. -16- 1 1.1 1 利用函数性质判定方程解的存在利用函数性质判定方程解的存在 课前篇 自主预习 课堂篇 探究学习 当堂检测 首页 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三规范答
7、题 1.由于一次函数一定是单调函数,因此当一次函数y=f(x)在a,b上 存在零点时,一定有f(a)f(b)0. 2.本题中涉及一元二次不等式的解法,解一元二次不等式可以借 助一元二次不等式对应的函数图像(当一元二次不等式小于等于0 时,其图像在x轴下方的自变量的取值范围就是其解集),也可以将一 元二次不等式因式分解后变为g(x)h(x)0,则不等式等价于 -17- 1 1.1 1 利用函数性质判定方程解的存在利用函数性质判定方程解的存在 课前篇 自主预习 课堂篇 探究学习 当堂检测 首页 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三规范答题 变式训练变式训练3当实数a取何值时,方程ax2-2x+1=
8、0的一个根在(0,1)上, 另一个根在(1,2)上? 解:当a=0时,方程即为-2x+1=0,只有一个根,不符合题意. 当a0时,设f(x)=ax2-2x+1, 因为方程的根分别在区间(0,1),(1,2)上, -18- 1 1.1 1 利用函数性质判定方程解的存在利用函数性质判定方程解的存在 课前篇 自主预习 课堂篇 探究学习 当堂检测 首页 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三规范答题 二次函数的零点综合问题 【典例】 已知二次函数f(x)=x2-(k-2)x+k2+3k+5. (1)当函数f(x)有两个不同零点时,求k的取值范围; (2)若-1和-3是函数的两个零点,求k的值; (3)若
9、函数的两个不同零点是,求2+2关于k的关系式h(k). 分析:本题考查对二次函数零点的理解及零点的性质.本题中的 函数f(x)是二次函数,因此其零点的判断和零点的性质问题可以转 化为二次方程根的判断或根的性质. -19- 1 1.1 1 利用函数性质判定方程解的存在利用函数性质判定方程解的存在 课前篇 自主预习 课堂篇 探究学习 当堂检测 首页 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三规范答题 -20- 1 1.1 1 利用函数性质判定方程解的存在利用函数性质判定方程解的存在 课前篇 自主预习 课堂篇 探究学习 当堂检测 首页 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三规范答题 1.若二次方程ax2+b
10、x+c=0(a0)的两根是x1,x2,也可以说x1,x2是 f(x)=ax2+bx+c的两个零点,则有 . 2.本题中如果忽视,将会影响2+2的范围而导致出错. -21- 1 1.1 1 利用函数性质判定方程解的存在利用函数性质判定方程解的存在 课前篇 自主预习 课堂篇 探究学习 当堂检测 首页 当堂检测 123456 1.如下图四个函数图像,在区间(-,0)内存在零点的函数是( ) 解析:在区间(-,0)内,只有B中的函数图像与x轴的负半轴有交点. 答案:B -22- 1 1.1 1 利用函数性质判定方程解的存在利用函数性质判定方程解的存在 课前篇 自主预习 课堂篇 探究学习 当堂检测 首页
11、 当堂检测 123456 答案:C -23- 1 1.1 1 利用函数性质判定方程解的存在利用函数性质判定方程解的存在 课前篇 自主预习 课堂篇 探究学习 当堂检测 首页 当堂检测 123456 3.若函数f(x)的图像在R上连续不断,且满足f(0)0,f(2)0,则 下列说法正确的是( ) A.f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上一定没有零点 B.f(x)在区间(0,1)上一定没有零点,在区间(1,2)上一定有零点 C.f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上可能有零点 D.f(x)在区间(0,1)上可能有零点,在区间(1,2)上一定有零点 解析:根据零点
12、的判断方法,因为f(0)f(1)0,所以f(x)在区 间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上无法确定是否存在零点.如图所 示,图中区间(1,2)上有零点,但图中区间(1,2)上无零点. 答案:C -24- 1 1.1 1 利用函数性质判定方程解的存在利用函数性质判定方程解的存在 课前篇 自主预习 课堂篇 探究学习 当堂检测 首页 当堂检测 123456 -25- 1 1.1 1 利用函数性质判定方程解的存在利用函数性质判定方程解的存在 课前篇 自主预习 课堂篇 探究学习 当堂检测 首页 当堂检测 123456 答案:2 -26- 1 1.1 1 利用函数性质判定方程解的存在利用函数性质判定方程解的存在 课前篇 自主预习 课堂篇 探究学习 当堂检测 首页 当堂检测 123456 6.若函数f(x)=x2+2x-a的一个零点大于1,另一个零点小于1,求实数a 的取值范围. 解:由题意知,抛物线f(x)=x2+2x-a的开口向上,与x轴的两个交点位 于点(1,0)的两侧,因此必有f(1)3,即实数a 的取值范围是a3.