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1、-1- 6 6 垂直关系 -2- 6 6.1 1 垂直关系的判定垂直关系的判定 -3- 6.1 垂直关系的判定ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 -4- 6.1 垂直关系的判定ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 1.直线与平面垂直 (1)直线与平面垂直的定义 如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直,那么称这条直 线和这个平面垂直. (2)画法:当直线与平面垂直时,通常把表示直线的线段画成和表示 平面的平行四边形的横边垂直.如图所示. -5-
2、6.1 垂直关系的判定ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 (3)直线与平面垂直的判定定理 文字叙述:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直, 那么该直线与此平面垂直. 符号表示:若直线a,直线b,直线la,lb,ab=A,则l. 图形表示: 作用:线线垂直线面垂直. -6- 6.1 垂直关系的判定ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 【做一做1】 垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关 系是( ) A.垂直B.斜交 C.平行D.不能确定 解
3、析:梯形的两腰所在的直线相交,根据线面垂直的判定定理可 知选项A正确. 答案:A -7- 6.1 垂直关系的判定ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 名师点拨理解线面垂直的判定定理注意以下几点: (1)定理可表述为“线线垂直,则线面垂直”. (2)“两条相交直线”是关键词,一定不要忽视这个条件,否则将导 致结论错误,即“线不在多,相交就行”. (3)要证明一条直线与一个平面垂直,只需在平面内找到两条相交 直线和该直线垂直即可,至于这两条相交直线是否和已知直线有公 共点无关紧要. (4)线面垂直的判定定理与线面垂直的定义往往
4、在证题过程中要 反复交替使用. -8- 6.1 垂直关系的判定ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 2.二面角及其平面角 (1)半平面的定义:一个平面内的一条直线,把这个平面分成两部分, 其中的每一部分都叫作半平面. (2)二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫 作二面角,这条直线叫作二面角的棱,这两个半平面叫作二面角的 面. (3)二面角的记法: 以直线AB为棱,半平面,为面的二面角,记作二面角-AB-. (4)二面角的平面角: 以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱的 两条射线,这两条
5、射线所成的角叫作二面角的平面角. (5)直二面角:平面角是直角的二面角叫作直二面角. -9- 6.1 垂直关系的判定ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 【做一做2】 给出下列命题: 两个相交平面组成的图形叫作二面角; 异面直线a,b分别和一个二面角的两个面垂直,则a,b所成的角 与这个二面角的平面角相等或互补; 二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个面内作射线所 成的角; 二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系. 其中正确的是( ) A.B.C.D. 解析:由二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的
6、 图形叫作二面角,可知不对.画出图形,可知正确.中所作的射 线不一定垂直于二面角的棱,故不对.由定义知正确.故选B. 答案:B -10- 6.1 垂直关系的判定ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 3.平面与平面垂直 (1)两个平面互相垂直的定义:两个平面相交,如果所成的二面角是 直二面角,就说这两个平面互相垂直. (2)画法:在画两个垂直的平面时,通常把表示直立平面的平行四边 形的竖边画成和表示水平平面的平行四边形的横边垂直.如图 所示. -11- 6.1 垂直关系的判定ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG J
7、IANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 (3)平面与平面垂直的判定定理 文字叙述:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两 个平面互相垂直. 符号表示: 图形表示: 作用:线面垂直面面垂直. -12- 6.1 垂直关系的判定ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 【做一做3】 已知直线m,n与平面,下列可能使成立的 条件是( ) A.,B.=m,mn,n C.m,mD.m,m 解析:选择适合条件的几何图形观察可得,A中或与相交,B 中,相交,但不一定垂直,C中或与相交. 答案:D -13- 6.1
8、垂直关系的判定ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 名师点拨理解面面垂直的判定定理注意以下几点: (1)定理可简记为“线面垂直,则面面垂直”,因此要证明平面与平 面垂直,只需在其中一个平面内找另一个平面的垂线,即证“线面垂 直”. (2)两个平面垂直的判定定理,不仅仅是判定两个平面垂直的依据, 而且是找出垂直于一个平面的另一个平面的依据. (3)要证,可证经过的某一条垂线,也可证明经过的某一 条垂线. -14- 6.1 垂直关系的判定ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEX
9、I 合作学习 首页 思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打 “”. (1)若直线l垂直于平面内无数条直线,则有l. ( ) (2)若直线l垂直于平面内任意直线,则有l. ( ) (3)若直线l垂直于内的一个凸五边形的两条边,则有l. ( ) (4)一个二面角的平面角有且只有一个. ( ) (5)若直线l与平面交于点O,且l与不垂直,l,则与一定不垂 直. ( ) -15- 6.1 垂直关系的判定ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 探究一探究二易错辨析 探究一线面垂直及其判定探究一线面垂直及其
10、判定 【例1】 如图所示,在三棱锥A-BCD中,BC=AC,AD=BD,作 BECD,E为垂足,作AHBE于点H.求证:AH平面BCD. -16- 6.1 垂直关系的判定ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 探究一探究二易错辨析 证明:取AB的中点F,连接CF,DF,因为AC=BC,所以CFAB. 同理可得,DFAB. 又CFDF=F, 所以AB平面CDF. 因为CD 平面CDF, 所以ABCD. 又BECD,且BEAB=B,所以CD平面ABE. 因为AH 平面ABE,所以CDAH. 又AHBE,BECD=E,所以AH平面
11、BCD. -17- 6.1 垂直关系的判定ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 探究一探究二易错辨析 反思感悟证明线面垂直的关键是分析几何图形,寻找隐含的和题 目中推导出的线线垂直关系,进而证明线面垂直.三角形全等、等 腰三角形底边上的中线、梯形的高、菱形和正方形的对角线、三 角形中的勾股定理等都是找线线垂直的方法. -18- 6.1 垂直关系的判定ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 变式训练1如图所示,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平 面,
12、C是圆O上的点.求证:BC平面PAC. 分析:由AB是圆O的直径可知ACBC,再结合PA平面ABC,即可 证明BC平面PAC. 探究一探究二易错辨析 证明:由AB是圆O的直径,得ACBC. 由PA平面ABC,BC 平面ABC,得PABC. 又PAAC=A,PA 平面PAC,AC平面PAC, 所以BC平面PAC. -19- 6.1 垂直关系的判定ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 探究一探究二易错辨析 探究探究二面面垂直的判定面面垂直的判定 【例2】 如图所示,PA垂直于矩形ABCD所在的平 面,AD=PA=2,CD=2
13、,E,F分别是AB,PD的中点. 求证:(1)AF平面PCE; (2)平面PCE平面PCD. -20- 6.1 垂直关系的判定ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 探究一探究二易错辨析 分析:(1)要证AF平面PCE,只需证明AF平行于平面PCE内的一 条直线即可,取PC的中点G,则该直线为GE. (2)要证明平面PCE平面PCD,只需证明GE平面PCD,而由(1) 知GEAF,故只需证明AF平面PCD即可. -21- 6.1 垂直关系的判定ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUO
14、XUEXI 合作学习 首页 探究一探究二易错辨析 证明:(1)取PC的中点G,连接FG,EG, F为PD的中点,E为AB的中点, FG= CD,且FGCD,AE= CD,且AECD, FG=AE,且FGAE, 四边形AEGF为平行四边形,AFGE. GE 平面PEC,AF平面PCE,AF平面PCE. (2)PA=AD=2,AFPD. PA平面ABCD,CD平面ABCD,PACD. ADCD,PAAD=A, CD平面PAD.AF 平面PAD,AFCD. PDCD=D,AF平面PCD, GE平面PCD. GE 平面PEC,平面PCE平面PCD. -22- 6.1 垂直关系的判定ZIZHUYUXI
15、自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 探究一探究二易错辨析 反思感悟怎样证明平面与平面垂直 1.证明面面垂直的方法:(1)证明两个半平面构成的二面角的平面 角为90;(2)证明一个平面经过另一个平面的一条垂线,将证明面面 垂直的问题转化为证明线面垂直的问题. 2.利用判定定理证明两个平面垂直时,一般方法是先从现有的直 线中寻找平面的垂线,若图形中不存在这样的垂线,则可通过作辅 助线来解决,而作辅助线则应有理论根据并且要有利于证明. -23- 6.1 垂直关系的判定ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZU
16、OXUEXI 合作学习 首页 探究一探究二易错辨析 变式训练变式训练2已知正方形ABCD的边长为1,分别取边BC,CD的中点 E,F,连接AE,EF,AF,以AE,EF,FA为折痕,折叠使点B,C,D重合于一点P. 求证: (1)APEF; (2)平面APE平面APF. -24- 6.1 垂直关系的判定ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 探究一探究二易错辨析 证明:(1)APE=APF=90, APPE,APPF. PEPF=P,PA平面PEF. EF 平面PEF,PAEF. (2)APE=EPF=90, PEAP,PE
17、PF. APPF=P,PE平面APF. PE 平面APE, 平面APE平面APF. -25- 6.1 垂直关系的判定ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 探究一探究二易错辨析 对空间中线面关系理解不透彻而致误 【典例】 如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为正 方形,则截面ACB1与对角面BB1D1D垂直吗? 错解如图所示,设AC与BD的交点为O,连接B1O, 则B1O是截面ACB1与对角面BB1D1D的交线. B1O不与底面垂直, 截面ACB1不可能与对角面BB1D1D垂直. -26- 6.1 垂
18、直关系的判定ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 探究一探究二易错辨析 纠错心得1.因为B1O与底面不垂直,就断定截面ACB1不可能与对 角面BB1D1D垂直,这是毫无根据的. 2.要克服上述错误,一定要将有关定理或性质的适用条件及内涵 把握清楚,不能凭想当然进行毫无逻辑的论证. 正解:四边形ABCD是正方形,ACBD. BB1底面ABCD,ACB1B. B1BBD=B,AC对角面BB1D1D. AC截面ACB1,截面ACB1对角面BB1D1D. -27- 6.1 垂直关系的判定ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTAN
19、G JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 12345 1.下列各种情况中,一条直线垂直于一个平面内的:三角形的两条 边;梯形的两条边;圆的两条直径;正六边形的两条边.不能保 证该直线与平面垂直的是( ) A.B. C.D. 解析:三角形的任何两边都相交;圆的任何两条直径都相交;但梯形 中任意两边不一定相交,也可能平行;正六边形中也存在平行的两 条边,因此不能保证该直线与平面垂直的是.故选C. 答案:C -28- 6.1 垂直关系的判定ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 12345 2.在空间四边形
20、ABCD中,若ADBC,BDAD,则( ) A.平面ABC平面ADCB.平面ABC平面ADB C.平面ABC平面DBCD.平面ADC平面DBC 解析:如图所示,ADBC,ADBD,BCBD=B, AD平面BDC. 又AD 平面ADC, 平面ADC平面DBC. 答案:D -29- 6.1 垂直关系的判定ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 12345 3.如图所示,BCA=90,PC平面ABC,则在ABC,PAC的边所 在的直线中, (1)与PC垂直的直线有 ; (2)与AP垂直的直线有 . 解析:(1)因为PC平面ABC,
21、AB,AC,BC平面ABC, 所以与PC垂直的直线有AB,AC,BC. (2)BCA=90,即BCAC. 又BCPC,ACPC=C, 所以BC平面PAC,PA平面PAC.所以BCAP. 答案:(1)AB,AC,BC (2)BC -30- 6.1 垂直关系的判定ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 12345 4.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1,M,N分别为A1D1和AA1的中点, 则下列说法正确的个数为( ) C1MAC; BD1AC; BC1与AC所成的角为60; CD与BN为异面直线. A.1B.2C.3D
22、.4 -31- 6.1 垂直关系的判定ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 12345 解析:由正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为A1D1和AA1的中点,可 知:在中,ACA1C1,A1C1C1M=C1,C1M与AC是异面直线,故 错误; 在中,ACDD1,ACBD,BDDD1=D, AC平面BDD1. 又BD1 平面BDD1, BD1AC,故正确; 在中,ACA1C1,BC1=A1C1=BA1, BC1与AC所成的角为60,故正确; 在中,CDAB,ABBN=B,故CD与BN为异面直线,故正确.故选 C. 答案:C -32- 6.1 垂直关系的判定ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 12345 5.如图所示,四边形ABCD是菱形,PC平面ABCD,E是PA的中点,求 证:平面BDE平面ABCD. 证明:连接AC交BD于点O,连接OE. 因为O为AC的中点,E为PA的中点, 所以EO是PAC的中位线,EOPC. 因为PC平面ABCD, 所以EO平面ABCD. 又EO 平面BDE,所以平面BDE平面ABCD.