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1、-1- 2 2.2 2 圆的一般方程圆的一般方程 -2- 2.2 圆的一般方程ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 -3- 2.2 圆的一般方程ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 1.圆的一般方程的定义 当D2+E2-4F0时,二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个圆,这 时这个方程叫作圆的一般方程. 【做一做1】 圆x2+y2-4x=0的圆心坐标和半径分别为( ) A.(0,2),2B.(2,0),4 C.(-2,0),2D.(2,0)
2、,2 解析:圆的方程可化为(x-2)2+y2=4,可知圆心坐标为(2,0),半径为2.故 选D. 答案:D -4- 2.2 圆的一般方程ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 2.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的图形 【做一做2】 已知方程x2+y2-4x+4y+10-k=0表示圆,则k的取值范围 是( ) A.k2 C.k2D.k2 解析:依题意有(-4)2+42-4(10-k)0,解得k2. 答案:B -5- 2.2 圆的一般方程ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOX
3、UEXI 合作学习 首页 思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打 “”. (1)二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0一定是某个圆的方程. ( ) (2)圆的方程中不能含有xy这样的项. ( ) (3)x2+y2+Dx+Ey+F=0一定表示圆的方程的条件为D2+E2-4F0. ( ) (4)若圆过原点,则在平面直角坐标系中该圆的一般方程式中常数 项肯定为0. ( ) -6- 2.2 圆的一般方程ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 探究一探究二探究三易错辨析 对圆的一般方程的理解对圆的一般
4、方程的理解 【例1】 已知方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0.若该方程表示圆,求 m的取值范围. 分析:根据二元二次方程表示圆的条件建立关于m的不等式求解. 解:若该方程表示圆,则D2+E2-4F=(2m)2+(-2)2-4(m2+5m)0, -7- 2.2 圆的一般方程ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 探究一探究二探究三易错辨析 反思感悟1.判断方程x2+y2+Dx+Ey+F=0是否表示圆的两种方法: (1)配方法.对形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程可以通过 配方变形成“标准”形式后,观察是
5、否表示圆,并求圆心半径. (2)运用圆的一般方程的判断方法求解,即通过判断D2+E2-4F是 否为正,确定它是否表示圆. -8- 2.2 圆的一般方程ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 探究一探究二探究三易错辨析 变式训练变式训练1下列方程中,表示圆的是( ) A.x2+y2-2x+2y+2=0 B.x2+y2-2xy+y+1=0 C.x2+2y2-2x+4y+3=0 D.x2+y2+4x-6y+6=0 解析:二元二次方程若表示圆,须满足x2,y2系数相同,没有xy项,且 D2+E2-4F0,即可排除A,B,C,故选D.
6、 答案:D -9- 2.2 圆的一般方程ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 探究一探究二探究三易错辨析 探究探究二待定系数法求圆的一般方程待定系数法求圆的一般方程 【例2】ABC的三个顶点的坐标分别为A(-1,5),B(-2,-2),C(5,5), 求ABC的外接圆的方程. 分析:所求圆经过A,B,C三点,因此三点的坐标应适合圆的方程,可 设出一般方程代入点坐标解方程组即可确定圆的方程. -10- 2.2 圆的一般方程ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习
7、首页 探究一探究二探究三易错辨析 解:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0. ABC的外接圆的方程为x2+y2-4x-2y-20=0. -11- 2.2 圆的一般方程ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 探究一探究二探究三易错辨析 反思感悟1.用待定系数法求圆的一般方程分三步: (1)设出一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0; (2)根据题意,列出关于D,E,F的方程组; (3)解出D,E,F的值代入即得圆的一般方程. 2.对圆的一般方程和标准方程的选择: (1)如果由已知条件容易求得圆心坐标和半径或需用到圆心
8、坐标 或半径来列方程组时,通常设圆的标准方程求解; (2)如果已知条件与圆心坐标和半径均无直接的关系,那么可通过 设圆的一般方程求解. -12- 2.2 圆的一般方程ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 探究一探究二探究三易错辨析 变式训练变式训练2求圆心在直线3x+2y=0上,并且与x轴交于A(-2,0)和 B(6,0)两点的圆的方程. 故所求圆的方程为x2+y2-4x+6y-12=0. -13- 2.2 圆的一般方程ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习
9、首页 探究一探究二探究三易错辨析 用圆的几何性质求圆的方程用圆的几何性质求圆的方程 【例3】经过A(-2,4),B(3,-1)两点,并且在x轴上截得的弦长等于6, 求圆的方程. 分析:由于圆心在线段AB的垂直平分线上,可以先求AB的中垂线 方程,再设出圆心坐标,建立方程,最后求半径. -14- 2.2 圆的一般方程ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 探究一探究二探究三易错辨析 所以AB的中垂线方程为y=x+1,于是设圆心的坐标为(a,a+1), 由圆的几何性质知(a-3)2+(a+2)2=32+(a+1)2, 解得a=1
10、或a=3. 当a=1时,圆心为(1,2),r2=13,所以圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=13; 当a=3时,圆心为(3,4),r2=25,所求圆的方程为(x-3)2+(y-4)2=25. 综上所述,圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=13或(x-3)2+(y-4)2=25. 反思感悟求圆的方程关键是确定圆心坐标和圆的半径.已知圆上 三点,可利用圆心是弦的垂直平分线的交点求圆心. -15- 2.2 圆的一般方程ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 探究一探究二探究三易错辨析 变式训练变式训练3ABC的三个顶点坐标分
11、别为A(-1,5),B(-2,-2),C(5,5), 求其外接圆的方程. 解:AB边的垂直平分线的方程为x+7y-9=0, BC边的垂直平分线的方程为x+y-3=0, 联立得,圆心坐标为(2,1), ABC外接圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=25. -16- 2.2 圆的一般方程ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 探究一探究二探究三易错辨析 正解点A在圆外, 因忽视二元二次方程表示圆的条件而致误 【典例】 已知定点A(a,2)在圆x2+y2-2ax-3y+a2+a=0的外部,求a 的取值范围. 错解点A在圆外,a2
12、+4-2a2-32+a2+a0,a2. 纠错心得本题错解的根本原因在于没有把握住圆的一般方程的 定义.二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆时,需D2+E2-4F0,所 以,本题除了点在圆外的条件以外,还应注意方程表示圆这一隐含 条件. -17- 2.2 圆的一般方程ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 探究一探究二探究三易错辨析 变式训练变式训练已知圆的方程为x2+y2-2x=0,点P(x,y)在圆上,求2x2+y2的 最值. 解:由x2+y2-2x=0得y2=-x2+2x0, 解得0x2, 所以2x2+y2=
13、x2+2x=(x+1)2-10,8, 当x=0时,2x2+y2取最小值0, 当x=2时,2x2+y2取最大值8, 故2x2+y2的最小值为0,最大值为8. -18- 2.2 圆的一般方程ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 12345 1.若方程x2+y2+2ax-by+c=0表示圆心为C(2,2),半径为2的圆,则a,b,c 的值依次为( ) A.2,4,4 B.-2,4,4 C.2,-4,4 D.2,-4,-4 答案:B -19- 2.2 圆的一般方程ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检
14、测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 12345 2.若x2+y2-x+y-m=0表示一个圆,则m的取值范围是( ) 解析:因为方程x2+y2-x+y-m=0表示圆, 所以(-1)2+12+4m=4m+20,即m- .故选A. 答案:A -20- 2.2 圆的一般方程ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 12345 3.经过圆x2+2x+y2=0的圆心C,且与直线x+y=0垂直的直线方程是 . 解析:依题得圆x2+2x+y2=0的圆心坐标为(-1,0). 因为直线x+y=0的斜率为-1,所以所求直线的斜率为1. 故所求
15、的直线方程为x-y+1=0. 答案:x-y+1=0 -21- 2.2 圆的一般方程ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 12345 4.经过点A(5,2),B(3,-2),且圆心在直线2x-y-3=0上的圆的方程为 . 所以所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10. 答案:(x-2)2+(y-1)2=10 -22- 2.2 圆的一般方程ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 12345 5.根据下列条件求圆的方程. (1)经过点P(1,1)和坐标原
16、点,且圆心在直线2x+3y+1=0上; (2)圆心在直线y=-4x上,且与直线l:x+y-1=0相切于点P(3,-2); (3)过三点A(1,12),B(7,10),C(-9,2). 解:(1)设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, 所以圆的标准方程为(x-4)2+(y+3)2=25. -23- 2.2 圆的一般方程ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 12345 (2)解法1:设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r0), 所以圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8. 解法2:过切点且与直线x+
17、y-1=0垂直的直线为y+2=x-3,与y=-4x联 立可求得圆心坐标为(1,-4). 所以圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8. -24- 2.2 圆的一般方程ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 12345 (3)解法1:设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 所以圆的方程为x2+y2-2x-4y-95=0. -25- 2.2 圆的一般方程ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 12345 则AB的中垂线方程为3x-y-1=0. 同理得AC的中垂线方程为x+y-3=0. 所以圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=100.