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1、1.3.1 病态问题与条件数,对一个数值问题本身, 如果输入数据有微小扰动（即误 差），引起输出数据（即问题解）相对误差很大，这就是病 态问题.,例如计算函数值 时，,函数值 的相对误差为,1.3 误差定性分析与避免误差危害,（3.1）,称为计算函数值问题的条件数.,相对误差比值,自变量相对误差一般不会太大，如果条件数 很大，,将引起函数值相对误差很大，出现这种情况的问题就是病态问题.,例如， ，,它表示相对误差可能放大 倍.,如 ，,有 ，,自变量相对误差为 ，,函数值相对误差为 ，,一般情况下,条件数 就认为是病态， 越大 病态越严重.,则有,若取,这时问题可以认为是病态的.,其他计算问题
2、也要分析是否病态.,例如解线性方程组，如果输入数据有微小误差引起解 的巨大误差，就认为是病态方程组，第5章将用矩阵的条件 数来分析这种现象.,1.3.2 算法的数值稳定性,用一个算法进行计算，如果初始数据误差在计算中传播 使计算结果的误差增长很快，这个算法就是数值不稳定的.,计算 并估计误差.,由分部积分可得计算 的递推公式,若计算出 ，,代入（3.2），可逐次求出 的值.,（3.2）,例6,而要算出 就要先计算 .,并取 ，,则得 ，,计算过程中小数点后第5位的数字按四舍五入原则舍入.,若用泰勒多项式展开部分和,用4位小数计算，,截断误差,当初值取为 时，用（3.2）递推,计算结果见表1-1
3、的 列.,用 近似 产生的误差 就是初值误差，,它对后面计算结果是有影响的.,计算公式为,从表中看到 出现负值，,这与一切 相矛盾.,因此，当 较大时，用 近似 显然是不正确的.,（3.3）,实际上，由积分估值得,容易推得,这说明 有误差 ，则 就是 的 倍误差.,例如， ，,若 ，,这就说明 完全不能近似 了.,若换一种计算方案.,由（3.3）取 ，,取,则,它表明计算公式（A）是数值不稳定的.,则,将公式(3.2)倒过来算，,即由 算出 ，公式为,计算结果见表1-1的 列.,反之，当用方案（A）计算时，尽管初值 相当准确，,此例说明，数值不稳定的算法是不能使用的.,记 ，,则 ，,由于误差
4、传播是逐步扩大的，因而计算结果不可靠.,可以看出 与 的误差不超过 .,一个算法如果输入数据有误差，而在计算过 程中舍入误差不增长，则称此算法是数值稳定的，否则称 此算法为不稳定的.,在例6中算法（B）是数值稳定的，而算法（A）是不 稳定的.,定义4,1.3.3 避免误差危害的若干原则,数值计算中首先要分清问题是否病态和算法是否数 值稳定，计算时还应尽量避免误差危害，防止有效数字 的损失，有下面若干原则.,1. 要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法,用绝对值小的数作除数舍入误差会增大，如计算 若,， 则可能对计算结果带来严重影响，应尽量避免.,2. 要避免两相近数相减,在数值计算中两相近
5、数相减有效数字会严重损失.,这说明必须尽量避免出现这类运算. 最好是改变计算方法，防止这种现象产生.,分析前述例1,改变计算公式：,精度提高了很多。,此例说明，可通过改变计算公式避免或减少有效数字 的损失.,类似地，如果 和 很接近时，由,用右边算式有效数字就不损失.,也应该用右端算式代替左端.,当 很大时，,一般情况，当 时，可用泰勒展开,取右端的有限项近似左端.,如果无法改变算式，则采用增加有效位数进行运算；,在计算机上则采用双倍字长运算，但这要增加机器计算时间和多占内存单元.,3. 要防止大数“吃掉”小数,在数值运算中参加运算的数有时数量级相差很大，,而计算机位数有限，如不注意运算次序就可能出现大数“吃掉”小数的现象，影响计算结果的可靠性.,前面用求根公式求根的例2中，,现改变计算公式如下：,4. 注意简化计算步骤，减少运算次数,同样一个计算问题，如果能减少运算次数，不但可节省计算机的计算时间，还能减少舍入误差.,这是数值计算必须遵从的原则，也是“数值分析”要研究的重要内容.,