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1、2.4 系统的频域分析方法,我们已经讨论了两类不同分解复杂信号的方法，一类是,理可实现等实际问题。,方便的分析系统的频率响应、系统带宽、波形失真、物,响应是各频率分量响应之和。此外，利用傅氏变换可以,统冲激响应卷积得到。而在频域里信号通过线性系统的,法。在时域里，信号通过线性系统的响应，由激励与系,两类不同的信号分解方法，导出两类不同求解响应的方,是在频域里，将信号分解为许多不同频率分量之和。由,在时域里，将信号分解为许多冲激或阶跃之和；另一类,1、系统的频响函数,对上式两边取傅里叶变换，由卷积定理，可得,始状态为零，则系统的响应为,表征的是系统频域特性。所以称做系统频率响应函,系统单位冲激响
2、应,表征的是系统时域特性，而,数，简称系统频响函数或系统函数。,上式还可以表示为,其中,是系统的相频,是系统的幅（模）频特性，,特性。,此式表明，,还可以由系统（零状态）输出傅氏变换与输入傅氏变换,除了可由系统单位冲激响应,表示，,表示。,由系统不同的的表示形式，可以用不同的方法得到系,统频响函数。,(1) 由微分方程求解,(1) 由微分方程求解,已知n阶LTI系统的微分方程的一般表示为,对上式两边取傅里叶变换并整理,由此得到系统的频响函数为,此式表明,只与系统本身相关，与激励无关。,例2-11 已知某系统的微分方程为,求系统的频响函数。,解 对微分方程两边同时取傅氏变换，得到,(2) 由转移
3、算子求解,已知稳定系统的转移算子，将其中的,以得到系统频响函数。,用,替代，即可,例2.5-2 已知某稳定系统的转移算子,解,求系统频响函数。,(3) 由,求解,求傅里叶变换。,例2-14 已知系统的单位冲激响应,解,求系统的频响函数。,，,例2-14 求图2-26零阶保持电路的频响函数。,延时T,解 先求出系统的单位响应,对上式求傅氏变换，得到,F,F,，当零阶保持电路的,时,或利用系统各部分的傅氏变换求解。,第二部分是积分器，因为,两种方法结果相同。,第一部分是加法器，输出为,，所以输出为,(4) 由频域电路求解,此法与1.8的算子电路法相似，利用频域电路简化运算。,动态元件时域与频域电压
4、电流关系表示为,上两式中,为频域的感抗值，是电感的频域表示；,为频域的容抗值，是电容的频域表示；两个等式,右边均满足频域（广义）欧姆定律。,例2-15如图2-28(a)所示电路，输入是激励电压,将电路中所有动态元件以及激励、响应用频域形式表示，,求解系统函数的方法。,似解直流或稳态电路的方法求解。举例说明由频域电路,得到频域电路；再利用频域（广义）的电路定律，用类,输出是电容电压,，求系统频响函数,，,。,图2-28(a),解 频域电路如图2-28 (b)所示，由KVL列出方程,将(1)式代入(2)式,得系统频响函数,2、系统的频域分析,由卷积定理我们可以得到频域分析法的基本方框图表示，,如图
5、2-29所示。,例 2-16 已知系统函数,。求响应。,，激励,例 2-16 已知系统函数,。求响应。,，激励,解,F,由此例2.5-6看到利用频域分析法，解决了系统的零状,激励的稳态响应不同。,非周期信号产生的响应，必有瞬态响应，与周期信号,运算，代价是正、反两次傅氏变换。还可以看到，由,态响应求解。优点是时域的卷积运算变为频域的代数,2.5无失真传输系统与滤波,无失真传输及滤波等问题是实际应用中经常会遇到的，,1、无失真传输系统,在信号传输过程中，为了不丢失信息，理想传输系统应,本节通过对它们的讨论，进一步掌握频域分析方法。,传输系统。,该不失真的传输信号。人们也称理想传输系统为无失真,失
6、真是指系统的输出与输入相比波形变化规律发生了变,有幅度大小及时延的不同，形状不变，如图2-30所示。,化。而通过无失真传输系统的输出波形与输入相比，只,1,0,无失真传 输系统,0,图2-30,其中,输出信号应为,设激励信号为,，响应为,，则系统无失真时，,均为常数。,是系统的增益，,是延迟时间，,与,由上式得到理想传输系统的时域不失真条件,(1) 幅度乘以,(2) 波形滞后,倍；,。,又因为,所以无失真传输系统的单位冲激响应为,对此式两边取傅氏变换，可得,F,，上式可表示为,0,对应的幅频及相频特性如图2-31所示。,由图2-30可知理想传输系统的频域不失真条件为,(1)幅频特性在全频域内为
7、常数，系统具有无限宽的,0,成正比。,(2) 系统的相频特性是通过原点的直线，相移与频率,均匀带宽，所有频率分量的增益为,，可以顺利通过。,在实际应用时，虽然系统不满足全频域无失真传输要求，,例2.6-1：已知某系统的振幅、相位特性如图2-31所示，,(1) 给定输入,但在一定的条件范围内可以无失真传输。,输入为,，输出为,。,(2),，求输出,；,有无失真？若有指出为何种失真。,2,1,0,0,解：由图2-31可知该系统的振幅、相位函数为,由振幅、相位函数可知只有输入信号在,范围内，输出信号无失真。否则会有振幅,或,或相位失真。,利用频域分析方法可得不同激励时的响应为,输出信号无失真。,从这
8、个例题我们可以知道。虽然真正的不失真传输系统,种方法在工程中经常用到。,真或线性，这表明系统可以具有分段无失真或线性，这,真的传输信号。即可以在一定范围内做到系统近似无失,很难做到，但在一定条件下，一个失真系统亦可以不失,输出有振幅失真。,2、滤波器,滤波的概念往往与选频有关，因为在许多实际应用中，,有的信号中，选出所需要频道的信号，就要利用滤波,分量，用以提取所需信号。例如要从电视机天线上所,系统需要保留信号的一部分频率分量，抑制其它频率,器。,先介绍理想滤波器。有各种各样的理想滤波器，最典型,想低通滤波器。,分量直通，而对要抑制的部分衰减到零。本节只讨论理,为1，阻带幅频特性为0。特点是对
9、信号中要保留的频率,其幅频特性如图2-33所示。理想滤波器的通带幅频特性,的有理想低通、理想高通、理想带通、理想带阻滤波器，,0,0,0,0,1,1,1,1,理想低通滤波器的频率特性如图2-34所示。,0,传递函数为,这样的理想低通滤波器对激励信号低于,的频率分量,可以无失真传输（幅度均匀放大，时延），而高于,的频率分量则被全部抑制。,式中：,为通带截止频率，,相位斜率（或群时延）。,理想低通的单位冲激响应为,理想低通的输入与单位冲激响应如图2-35所示。,(1),0,0,说明系统是非因果的，而违背了因果律的系统是物理,由图2-35可见，激励是在,时刻加入，而响应的,建立的前后出现了起伏振荡。
10、从理论上讲，振荡一直延,一部分的高频分量被完全抑制了。,不可实现的。,时有响应出现,系统是否物理可实现，时域与频域都有判断准则。,LTI系统是物理可实现的时域准则是系统的单位冲激响应,LTI系统是物理可实现的频域条件由佩利-维纳准则给出，,满足因果性，即,即系统是物理可实现的必要条件为,这一准则只允许在某些不连续点的频率幅值为零， 但,不允许某个频带的幅值为零。,有的理想滤波器都是物理不可实现的。虽说理想滤波器是,内,，使上式的积分不收敛。由此可以推知所,讨论实际的低通滤波器。,想滤波器，就不失讨论理想滤波器的意义。下面通过实例,物理不可实现的，但只要实际滤波器可以某种方式逼近理,+,-,0,
11、域法求解系统频响函数及系统响应。,1,-,+,图2-36,解： 先求解系统函数,0,1,式中,。其幅频、相频特性如图2-37所示。,0,由其幅频特性可知该系统是一低通滤波器。若定义幅度,若以低通的零频为基准，定义能量的对数衰减，则,的频率范围为通带，则系统可以通过信,衰减不低于,（分贝）,，所以也称,再求系统输出响应,因此称,是滤波器的三分贝带宽截止角频率，又因为,为系统的三分贝截止频率。,0,1,由系统响应图可见，响应,一般响应,时，没有突变到1，而是经过一段上升过程，随着,与激励,不同的是在,时间趋于无穷才达到1。,所以可以定义响应,上升到幅度的0.9时，误差已满足工程需要。,从0上升到0.9的时间,叫系统的,上升时间。,代入输出,公式,解出,可见，,又称该系统的时常数。,。,若将,此式说明，系统参数、结构一旦确定，其上升时间与带,与三分贝截止频率相乘，有,大多数系统的上升时间与带宽的乘积在0.30.5之间。,关，这虽然是由一阶电路推导的结论，却是普遍适用的。,升时间与带宽的乘积是常数，并与系统参数的具体值无,宽的乘积就是一个常数，与系统参数的具体值无关。上,