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1、线性代数 教学改革,李尚志 教授 中国科学技术大学 数学系,空间为体, 矩阵为用,研究对象-几何：线性空间(向量) 研究工具-代数：矩阵运算 向量 (问题) - modeling 矩阵语言描述 矩阵运算解决 向量(解答) 与微积分的关系: 非线性 -微积分 线性 -线性代数,抽象 = ?,抽象 = 难得糊涂: 忽略差别,提取共同点,从问题出发,以解决问题为线索 展开教学内容,例:怎样建立向量的坐标,有方向和大小的量 坐标化 n 数组 向量与坐标运算的对应: 依赖于加法与数乘的运算律(8条公理) 不直接依赖于平行四边形法则 基：坐标的唯一性 线性无关, 存在性 极大无关组 向量- 坐标: 同构
2、坐标变换 - 数组空间中的坐标变换,例:解线性方程组,方程(向量)- 系数组(坐标) 互为线性组合(初等变换) 同解变形(高斯消去法) 只用到四则运算-数域的概念 关于方程个数的讨论:,方程个数有真假 线性无关与线性相关,几个方程? 4个? 为何 只剩2个? 有假!-某方程是其余的线性组合-线性相关 打假到底 极大无关组 货真价实(秩)2个,秩(方程的真正个数)的唯一性,证明只依赖于运算律 将方程换成任意向量,行列式的性质,det(u,v+w)= det(u,w)+det(u,w),det(u,v)=det(u,v+au),几何变换,(x,y) (x,y) x=f1(x,y), y=f2(x,y) 曲线C: x=x(t),y=y(t) 曲线C: x=f1(x(t),y(t), y=f2(x(t),y(t),线性变换,x=a1x+b1y, y=a2x+b2y. 由矩阵 决定 画图观察: 直线,平行,垂直,长度,角度,圆 ?,2019/8/18,旋转:,2019/8/18,2019/8/18,向量方向的变化 特征向量,2019/8/18,选取特征向量为基 - 矩阵的对角化,射影变换,x = x / (x-1), y= y / (x-1). 直线、相交、平行 ？ 相交于 x=1 的直线 ？ 圆(与 x=1 相离、切、交) ?,相交直线变成平行直线,圆变成圆锥曲线,谢谢 ！,