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1、1.线线、线面、面面间的平行关系,2.线线、线面、面面间的垂直关系,如图，在正方体 中， ，求 与 所成的角的余弦值.,回顾异面直线所成角的计算步骤,求 与 所成的角的余弦值为,4,4,4,【练习】如图所示，A1B1C1ABC是 直三棱柱，ACB=90，点D1，F1 分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1， 求BD1与AF1所成角的余弦值.,平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角.,a,AOB（记为）是a与所成的角,规定：直线和平面垂直：所成的角是直角 直线和平面平行或在平面内，=00,00900,直线和平面成角,斜线和平面成角,090,直线
2、和平面所成的角的定义,O,B,A,这就是线面角的向量计算公式.,即,直线和平面所成的角的向量计算公式,垂直于平面的向量，叫做平面的一个法向量.,例1.在正方体AC1中，E是CD的中点，求A1E与平面BCC1B1所成的角的正弦值.,A,B,C,D,A1,B1,C1,D1,E,X,Y,Z,解：如图在正方体AC1中建立空间直角坐标系，,不妨设正方体AC1 的棱长为2，,则E(0,1,0), A1(2,0,2),易知，平面BCC1B1的一个法向量为,设A1E与平面BCC1B1所成的角为1,直线和平面所成的角的向量计算示例,【练习】（2011厦门高二检测） 四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD 底面A
3、BCD,点E在棱PB上.若PD= AB. (1)求证：平面AEC平面PDB; (2)若E为PB的中点时，求AE与平面PDB 所成的角的大小.,l,A,B,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。,这条直线叫做二面角的棱.,这两个半平面叫做二面角的面.,以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.,平面角是直角的二面角叫做直二面角.,二面角的平面角的三个特征:,1.点在棱上,2.线在面内,3.与棱垂直,二面角的大小的范围:,二面角及二面角的平面角的定义,是平面的一个法向量， 是平面的一个法向量.,二面角的大小与两法向量所成角相
4、等或互补.,12,P,对于钝二面角的计算其余弦值必为负.,当然，若能直接得到二面角的平面角两边对应的向量更好.,2.2二面角的向量计算公式,例2. 如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD底面ABCD, E、F分别为AB、SC的中点设SD=2DC，求二面角A-EF-D的余弦值,S,A,B,C,D,E,F,解：如图，建立空间直角坐标系D-xyz,z,x,y,由于底面ABCD为正方形, SD=2DC，,不妨设A(2,0,0),则,二面角的向量计算公式示例,二面角A-EF-D的余弦值为,【练习】如图所示，底面是直角梯形 的四棱锥SABCD,ABC=90,SA 平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD= 求 平面SCD与平面SAB所成的二面角的 正切值.,