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1、第三章 微分中值定理,与导数的应用,二、罗尔中值定理,三、拉格朗日中值定理,四、柯西中值定理,第一节 微分中值定理,第三章,一、极值概念及费马引理,本节的几个定理都来源于下面的,则至少有一点处的切线,几何事实:,平行于两个端点的连线 ,即平行于两端点所在的弦,有水平的切线,除端点外,处处有,不垂直于 轴的切线 .,极值定义,一、极值概念及费马引理,如果对,有,函数的极大值与极小值统称为极值.,函数的极大值点与极小值点统称为极值点.,为极大值点,为极小值点,注:,函数的极大值和极小值是局部性概念。,极值点一定在区间内部取得,不能在区间端点取得.,极值点不唯一, 极大值不一定比极小值大.,最大(小
2、)值若在区间内部取得,则它一定是极大(小)值.,费马引理,若,则,(山峰、山谷若有切线必有水平切线),证:,对,都有,即,由导数定义,由极限的保号性,费马引理指出,可导函数的极值点必定是该函数的驻点,通常称导数为零的点,为函数的,驻点或稳定点,罗尔定理,(1),(2),(3),使得,二、罗尔中值定理,几何意义:,若除端点外，每一点都有不垂直于轴的切线，则其中必,有一条切线平行于轴，也即平行于两个端点的连线。,在两个高度相同的点之间的连续曲线上,罗尔定理,(1),(2),(3),使得,证:,所以最值不可能同时在区间端点取得.,使,由费马引理,(1) 定理条件不全具备,结论不一定成立.,罗尔定理,
3、(1),(2),(3),使得,(1),(2)满足,(3)不满足,结论不成立.,(1),(3)满足,(2)不满足,结论不成立.,(1),(2)满足,(3)不满足,结论成立.,注：,例1.,解:,所以满足罗尔定理条件.,(1),验证定理的假设条件满足,(2),结论正确,有实根,例2.,证:,由零点定理,即方程有小于1的正实根.,(1)存在性,(2)唯一性,例2.,证:,(2)唯一性,矛盾,故假设不真！,注,拉格朗日中值定理,使得,三、拉格朗日(Lagrange)中值定理,(1),(2),几何意义:,若除端点外，每一点都有不垂直于轴的切线，则其中必,有一条切线平行于两个端点的连线.,在两个高度不相同
4、的点之间的连续曲线上,分析:,从所证等式入手找到一个满足罗尔定理的函数,拉格朗日中值定理,(1),(2),使得,欲证,只要证,只要证,只要证,(利用导数的性质),证:,作辅助函数,且,易知,由此得,由罗尔中值定理，,拉格朗日中值定理,(1),(2),使得,辅助函数 的几何解释:,说明:,C 为任意常数,1.辅助函数 的几何解释,2. 这样的辅助函数可有无穷多个,欲证,只要证,只要证,只要证,C为任意常数,3.书上辅助函数的做法,4.Lagrange公式的其它形式:,拉格朗日中值定理又称,有限增量定理.,它精确的表达了函数增量和某点的,由(3)式看出,导数之间的直接关系.,设想为,拉格朗日中值定
5、理的物理解释,把数,中值定理是说，,函数在区间内部某一点处的瞬时变化率,一定等于整个区间上的平均变化率.,例如:,一位货车司机在收费亭处收到一张罚单,说他在,罚单列出的违章理由是该司机超速行驶.,限速为80公里/小时收费道路上在2小时内走了180公里.,为什么？,推论,证：,有,由假定,即在区间I内任意两点的函数值都相等,拉格朗日中值定理,(1),(2),使得,例3.,证,由推论,自证,说明:,欲证,只需证在,上,且,使,例4,证：,记,满足拉氏定理的条件,通常就想到微分中值定理.,如果 在某区间上可导,要分析函数在该区间上任意两点的函数值有何关系,例5,分析：,欲证上述不等式成立，,只须证：,只须证：,为此只须证：,关键！,构造,例5,证明：,由上式得,设,中值定理条件,因此应有,由,柯西中值定理,(1),(2),使得,四、柯西(Cauchy)中值定理,(3),柯西定理的几何意义,注意,设曲线的 参数方程,弦的斜率,切线斜率,显然,柯西中值定理,(1),(2),使得,(3),错!,柯西定理的下述证法对吗 ?,不一定相同,这两个,思考：,为此构造辅助函数,分析,欲证上式成立,只须证,只须证,证明 满足罗尔定理即可.,例6.,证法1:,分析,欲证上式成立，只须证,即,由柯西中值定理,使得,例6.,分析,欲证,只要证,只要证,即,记,证法2:,由罗尔中值定理,使得,即,