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1、2013年湖南高考文科数学试题及答案word版2014年湖南高考文科数学试题及答案 数学(文史类) 一、选择题:本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 2AB:,1(原创)已知集合，集合，则( ) Bxx,|0Axxx,|20,A( B( C( D( ,1,20,20,2,1,2，,2i2(原创)复数的虚部为( ) 1,ii,iA( B( C(1 D(,1 3(原创)已知命题:函数fx在处有极值，命题:可导函数fx在处导数pqxx,xx,，00为0，则是的( )条件。 pqA(充分不必要 B(必要不充分 C(充分必要 D(既不充分也不必要 4
2、.某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是 (【答案】D 【解析】本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图1所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，,，,，,，都可能是该几何体的俯视图，,不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形. 【点评】本题主要考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力.是近年来热点题型. 5.设某大学的女生体重y(单位:kg)与身高x(单位:cm)具有线性相关关系，根据一组样本数,据(x，y)(i=1，2，n)，用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71，则下列结论中不
3、yii(正确的是 (A.y与x具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心(，) xyC.若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg D.若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg 【答案】D ,【解析】由回归方程为=0.85x-85.71知随的增大而增大，所以y与x具有正的线性相关关系，yxy由最小二乘法建立的回归方程得过程知，所以回归直线过样ybxabxybxaybx,，,，,()x本点的中心(，)，利用回归方程可以预测估计总体，所以D不正确. y【点评】本题组要考查两个变量间的相关性、最小二乘法及正相关、负相关的概念，并且是找不正确的答案，易错.
4、22yx6. 已知双曲线C :-=1的焦距为10 ，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C的方程为 22ba22222222xyxyxyxyA(-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=【答案】A 22yxc【解析】设双曲线C :-=1的半焦距为，则. 210,5cc,22babbab,2？,12 yx,又C 的渐近线为，点P (2,1)在C 的渐近线上，即. ？aa22xy222cab,，又，C的方程为-=1. ？,ab25,5205【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了数形结合的思想和基本运算能力，是近年来常考题型. c,07 . 设 a,b,1， ，给出下列三个
5、结论: cccc? , ;? , ; ? ， ablog()log()acbc,baab其中所有的正确结论的序号是. _A(? B.? ? C.? ? D.? ? 【答案】D 11ccc,0【解析】由不等式及a,b,1知，又，所以,，?正确;由指数函数的图像与性,ababc,0acbcc,11质知?正确;由a,b,1，知，由对数函数的图像与性质知?正确. 【点评】本题考查函数概念与基本初等函数?中的指数函数的图像与性质、对数函数的图像与性质，不等关系，考查了数形结合的思想.函数概念与基本初等函数?是常考知识点. 78 . 在?ABC中，AC= ，BC=2，B =60?，则BC边上的高等于 33
6、336，339，A( B. C. D. 2224【答案】B 222ABc,【解析】设ACABBCABBCB,，,2cos，在?ABC中，由余弦定理知， 2,27422cos60,，,，cc即，又 cc,？,0,3.cccc,，230,(-3)(1)即=0.11hSABBCBBCh, 设BC边上的高等于sin，由三角形面积公式，知 ABC221133,，,，32sin602h，解得. h,222【点评】本题考查余弦定理、三角形面积公式，考查方程思想、运算能力，是历年常考内容. ,9. 设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2的偶函数，是f(x)的导函数，当 fx(),()()0xfx,x,0,
7、时，0,f(x),1;当x?(0，) 且x?时 ，则函数y=f(x)-sinx,22在-2，2 上的零点个数为 A .2 B .4 C.5 D. 8 【答案】, ,()()0xfx,【解析】由当x?(0，) 且x?时 ，知 22,，,，, xfxfx0,()0,()xfxfx()0,(),时,为减函数;,，时,为增函数,22，,，x,0,又时，0,f(x),1，在R上的函数f(x)是最小正周期为2的偶函数，在同一坐标系中作,出和草图像如下，由图知y=f(x)-sinx在-2，2 上的零点个数为4个. yx,sinyfx,()y 1yfx,()ox,2,2,yx,sin,1 【点评】本题考查函数
8、的周期性、奇偶性、图像及两个图像的交点问题. 二、填空题，本大题共7小题，考生作答6小题.每小题5分共30分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. (一)选做题，(请考生在第10，,1两题中任选一题作答，如果全做 ，则按前一题记分) 10.在极坐标系中，曲线:与曲线:的一个交点在极,aCC(0)a,(2cossin)1，,12轴上，则a=_. 2【答案】 2【解析】曲线的直角坐标方程是，曲线的普通方程是直角坐标方程 CC21xy，,12222，因为曲线C:与曲线C:,a的一个交点在极(0)a,xya，,(2cossin)1，,1222轴上，所以C与轴交点横坐标与值相等，由，知,. xaayx
9、,0,122【点评】本题考查直线的极坐标方程、圆的极坐标方程，直线与圆的位置关系，考查转化的思想、方程的思想，考查运算能力;题型年年有，难度适中.把曲线CC与曲线的极坐标方程都转化为12直角坐标方程，求出与x轴交点，即得. 11.某制药企业为了对某种药用液体进行生物测定，需要优选培养温度，实验范围定为29?63?.精确度要求?1?.用分数法进行优选时，能保证找到最佳培养温度需要最少实验次数为_. 【答案】, 【解析】用分数法计算知要最少实验次数为7. 【点评】本题考查优选法中的分数法，考查基本运算能力. (二)必做题(1216题) 212.不等式x-5x+6?0的解集为_. xx23,【答案】
10、 ,22【解析】由x-5x+6?0，得，从而的不等式x-5x+6?0的解集为. xx23,(3)(2)0xx,【点评】本题考查一元二次不等式的解法，考查简单的运算能力. 13.图2是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得089分的方差为_. 1035图212222，(注:方差，其中为x，x，x的平均数)sxxxxxx,，,，,？x()()()12nn12，n【答案】6.8 1【解析】， x,，,(89101315)1151222222，,6.8. s,，,，,，,，,(811)(911)(1011)(1311)(1511)，5【点评】本题考查统计中的茎叶图
11、方差等基础知识，考查分析问题、解决问题的能力. x,4.5i14.如果执行如图3所示的程序框图，输入,则输出的数 = . 【答案】4 x,0.5i,4【解析】算法的功能是赋值，通过四次赋值得，输出. 【点评】本题考查算法流程图，考查分析问题解决问题的能力，平时学习时注意对分析问题能力的培养. ,AP,3APAC 15.如图4，在平行四边形ABCD中 ，AP?BD，垂足为P，且= . 【答案】18 ,ACBDO:,APAC 【解析】设，则，= ACABBO,，2()APABBO 2()，,2,1822APABAPBO ，. ,，,22()2APABAPAPPBAP 【点评】本题考查平面向量加法的
12、几何运算、平面向量的数量积运算，考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法. ,kk,110ik,16.对于，将n表示为,当时，当n,Na,1naaaa,，2222？ikk,11001,ik时为0或1，定义如下:在的上述表示中，当，a，a中等于1的abaa,n2kin01个数为奇数时，b=1;否则b=0. nn(1)b+b+b+b=_; 2468(2)记c为数列b中第m个为0的项与第m+1个为0的项之间的项数，则c的最大值是_. mnm【答案】(1)3;(2)2. 010【解析】(1)观察知; 12,1,1,，,aab21202,1,0,1,，,aab00110210210一次类推; 312
13、12,0,，,b4120202,1,，,b43210210;， 6121202,，b,0bb,1,15120212,0,，,b6785b+b+b+b=,;(2)由(1)知c的最大值为,. 2468m【点评】本题考查在新环境下的创新意识，考查运算能力，考查创造性解决问题的能力. 需要在学习中培养自己动脑的习惯，才可顺利解决此类问题. 三、解答题:本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分) 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示. 一次购物量 1至4件 5至8件 9至12件
14、 13至16件 17件及以上 y 顾客数(人) 30 25 10 x结算时间(分钟/人) 1 1.5 2 2.5 3 已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55,. (?)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值; (?)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.(将频率视为概率) (【解析】(?)由已知得，该超市所有顾客一次购物251055,35,15,20，,，,？,yxyxy的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为: 1151.5302252
15、.520310，,1.9(分钟). 100AAA,(?)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，分别表示事件“该1231.5顾客一次购物的结算时间为1分钟”， “该顾客一次购物的结算时间为分钟”， “该顾客一次购物的结算时间为2分钟”.将频率视为概率，得 153303251PAPAPA(),(),(),. 04？:AAAAAAA,且是互斥事件， 1231233317,，,？,，PAPAAAPAPAPA()()()()():. 12312320104107故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为. 10【点评】本题考查概率统计的基础知识，考查运算能力、分析问题能力.第一问中
16、根据统计表和100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55,，知从而解得251010055%,35,，,，,yxy，再用样本估计总体，得出顾客一次购物的结算时间的平均值的估计值;第二问，通过设事xy,件，判断事件之间互斥关系，从而求得 一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率. (18.(本小题满分12分) ,已知函数的部分图像如图5所示. fxAxxR()sin()(,0,0,，,2(?)求函数f(x)的解析式; ,(?)求函数gxfxfx()()(),，的单调递增区间. 12121152,？,【解析】(?)由题设图像知，周期T2(),2. ,1212T5,55,，,，,即(,0)因为点
17、在函数图像上，所以. Asin(2)0,sin()0,12126,5545,？,？,，,，从而，=0,=又即. ,626636,AAsin1,2,fxx()2sin(2).,，又点在函数图像上，所以，故函数(fx)的解析式为 ()0,166，,gxxx()2sin22sin2,，,，,(?) 126126,，,，2sin22sin(2)xx 313 ,，2sin22(sin2cos2)xxx22,sin23cos2xx ,2sin(2),x 3,5由得 222,kxk,，,，,kxkkz,.,2321212,5，的单调递增区间是 ？gx()kkkz,，,.,1212，115,【点评】本题主要考
18、查三角函数的图像和性质.第一问结合图形求得周期从,T2(),12122,而求得,.再利用特殊点在图像上求出，从而求出f(x)的解析式;第二问运用第2,AT一问结论和三角恒等变换及的单调性求得. yAx,，sin(),19.(本小题满分12分) 如图6，在四棱锥P-ABCD中，PA?平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD?BC，AC?BD. (?)证明:BD?PC; (?)若AD=4，BC=2，直线PD与平面PAC所成的角为30?，求四棱锥P-ABCD的体积. 【解析】(?)因为 PAABCDBDABCDPABD,平面平面所以,.,又是平面PAC内的两条相较直线，所以BD平面PAC， ACB
19、DPAAC,PC,BDPC,而平面PAC，所以. ,(?)设AC和BD相交于点O，连接PO，由(?)知，BD平面PAC， ,，DPO，DPO,30所以是直线PD和平面PAC所成的角，从而. PO,BDPO,由BD平面PAC，平面PAC，知. ,Rt POD，DPO,30在中，由，得PD=2OD. ACBD,因为四边形ABCD为等腰梯形， AODBOC,，所以均为等腰直角三角形， 111从而梯形ABCD的高为于是梯形ABCD面积 ADBC，,，,(42)3,2221 S,，,(42)39.22在等腰三角形,中， ODAD,22,222所以 PDODPAPDAD,242,4.11PABCD,故四棱
20、锥的体积为. VSPA,，,，,941233【点评】本题考查空间直线垂直关系的证明，考查空间角的应用，及几何体体积计算.第一问只要，DPO,证明BD平面PAC即可，第二问由(?)知，BD平面PAC，所以是直线PD和平面PAC1所成的角，然后算出梯形的面积和棱锥的高，由VSPA,，算得体积. 320.(本小题满分13分) 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50,.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金
21、为a万元. na(?)用d表示a，a，并写出与a的关系式; 12nn，1(?)若公司希望经过m(m?3)年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示). add,，,2000(150%)3000【解析】(?)由题意得， 13aadad,，,(150%)， 21123aadad,，,(150%). nnn，123aad,(?)由(?)得 nn,12332 ,add()n,22233 ,add()n,222,？3333，nn,122. ad,，()1()()？1,2222，33，nn,11整理得 add,()(3000)2()1n,22，3n,1. ,，dd()(300
22、03)223n,1由题意，add,？,，, 4000,()(30003)24000,n23，n()21000,，1nn,1000(32),2，解得. d,nn332,n()1,2nn，11000(32),d故该企业每年上缴资金的值为缴时，经过年企业的剩余资金为,mm(3),nn32,元. 【点评】本题考查递推数列问题在实际问题中的应用，考查运算能力和使用数列知识分析解决实3aad,际问题的能力.第一问建立数学模型，得出与a的关系式，第二问，只要把第annn，1n，123aad,一问中的迭代，即可以解决. nn，1221.(本小题满分13分) 122在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，离心率为
23、的椭圆E的一个焦点为圆C:x+y-4x+2=02的圆心. (?)求椭圆E的方程; 1(?)设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积为的直线l，l.当直线l，l都与圆C相切时，12122求P的坐标. 2222【解析】(?)由，得.故圆,的圆心为点 xyx，,，,420(2)2xy,，,22xy2c，,1(0),ab(2,0),从而可设椭圆,的方程为其焦距为，由题设知 22abc1222故椭圆,的方程为: ceacbac,？,2,24,12.a222xy ，,1.1612(?)设点的坐标为，的斜分率分别为则的方程分别为p(,)xyll,kk,.ll,00121212122且kk,.由与圆相切，得 l
24、yykxxlyykxx:(),:(),lcxy:(2)2,，,1210102020122kykx，,1010,2 ， 2k，11222，即 (2)22(2)20.,，,，,xkxyky010020，222，同理可得 . (2)22(2)20,，,，,xkxyky020020，022，从而是方程的两个实根，于是 (2)22(2)20,，,，,xkxykykk,120000，2,(2)20,x0, ? ,22，,，,8(2)20,xy00,，,2y,20且 kk,2.122(2)2,x222,xy00，,1,101612,2x,.由得解得或 x,2,58360.xx,000025y,210,2,(
25、2)22,x0,1857x,x,2y,3;由得由得它们满足?式，故点,的坐标为 y,00005518571857，或，或，或. (,),(2,3),(2,3),(,)5555【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法.第一问根据条件设出椭圆方程，求出cab,即得椭圆E的方程，第1二问设出点P坐标，利用过P点的两条直线斜率之积为，得出关于点P坐标的一个方程，利用2点P在椭圆上得出另一方程，联立两个方程得点P坐标. 22.(本小题满分13分) x已知函数f(x)=e-ax，其中a,0. (1)若对一切x?R，f(x) 1恒成立，求
26、a的取值集合;,(2)在函数f(x)的图像上去定点A(x, f(x),B(x, f(x)(xx)，记直线AB的斜率为k，证明:存在112212,x?(x,x),使恒成立. fxk(),0120x,【解析】解:令. fxxa()0ln,得fxea(),xa,lnxa,lnxa,ln当时单调递减;当时单调递增，故当时，fxfx()0,(),fxfx()0,(),取最小值 fx()faaaa(ln)ln.,于是对一切恒成立，当且仅当 xRfx,()1aaa,ln1 . ? ,令则 gtttt()ln,gtt()ln.,01,tt,1当时，单调递增;当时，单调递减. gtgt()0,(),gtgt()
27、0,(),t,1a,1故当时，取最大值.因此，当且仅当时，?式成立. gt()g(1)1,综上所述，的取值集合为1. a,74.94.15有趣的图形3 P36-41xx21fxfx()(),ee,21(?)由题意知， ka,.xxxx,21213.确定二次函数的表达式：（待定系数法）xx21ee,x,令则 ,()(),xfxke,xx,21互余关系sinA=cos(90A)、cosA=sin(90A)x1e,xx21， ,()()1,xexx121，,xx21104.305.6加与减（二）2 P57-60x2e,xx12，,()()1., xexx212，,xx21推论: 在同圆或等圆中,如果
28、两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.tt,令，则. Ftet()1,Fte()1,平方关系：商数关系：,t,0t,0当时，单调递减;当时，单调递增. FtFt()0,(),FtFt()0,(),33.123.18加与减（一）3 P13-17tt,0et,10.故当，FtF()(0)0,即 xx12eexx,xx,21120,0,从而exx,()10exx,()10,，又, 2112xx,xx,2121,()0,x,()0.x,所以 12因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在 xx,yx,(),12,使即成立. xxx,(
29、,),()0,x,fxk(),01200第二章 二次函数【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法.第一问利用导函数法求出取最小值fx()3、认真做好培优补差工作。 开展一帮一活动，与后进生家长经常联系，及时反映学校里的学习情况，促使其提高成绩，帮助他们树立学习的信心与决心。对一切x?R，f(x) 1恒成立转化为从而得出求a的取值集合;fx()1,faaaa(ln)ln.,min5、能掌握一些常见的数量关系和应用题的解答方法，逐步提高解答应用题的能力。第二问在假设存在的情况下进行推理，然后把问题归结为一个方程是否存在解的问题，通过构造函数，研究这个函数的性质进行分析判断.