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1、3.11 张量算符,一、矢量算符 矢量在转动下其分量Vi按 变换，要求量子力学中的矢量算符之期望值在转动下具有与经典矢量在转动下的变换行为： 即 对无穷小角转动 分析x,y,z分量可得出: 上式可作为矢量算符的定义。 因角动量算符的对易关系是上式的特例，故角动量是矢量算符。类似地，x, p也是矢量算符。 矢量算符对易关系也决定了其有限转角下的变换行为 （ ， ）,二、直角张量和不可约张量,将矢量变换推广,定义直角张量Tijk的转动变换性质： 指标ijk的数目称为张量的“阶”（“秩”）。 相比 对应于 分量的变换可看做n个3维矢量直积的变换 3独立分量J=1；n个J=1直积空间的转动可约化为一定
2、数量不可约空间的直和。,例如： 将两矢量U,V笛卡分量相乘构成T的分量， , 有9个分量，是二阶笛卡张量。 笛卡张量具有可约性的缺陷，即可分解为具有不同转动变换性质的几部分，如 三部分的独立分量对应L=0,1,2的角动量多重性。笛卡张量可分解为按0，1，2阶球谐函数变换的三个张量。因此，球张量更基本。,三、球张量,球张量的定义是参考球谐函数的转动变换性质来给出的 对 由于 采用 对应算符的变换结果： 定义k阶球张量算符为 其中q的个数（即张量的分量数）为2k+1。等价地有 不难看出 是磁量子数为q的k阶球张量。 但 包括更普遍的球张量形式（如 ）。,注意：球张量分量依球谐函数的分量方式构造。如
3、： ,四、球张量与角动量的对易关系,对无穷小转动 得 即 上两式也可作为球张量的定义,五、张量的乘积,该定理了指出通过两张量的乘积构造高阶或低阶张量的方法（与角动量叠加中基函数变换关系相似）,由2个1阶张量可构造出0-2阶的新张量，如,一般的有：,证：,六、张量算符的矩阵元,1）磁量子数选择定则： 这是因为： 是Jz 的本征矢（但一般不是 的本征矢） 可以证明： 是 的共同本征矢,张量算符在角动量本征态的矩阵元满足 其中与m,m及q无关，而为CG系数. 该定理表明其矩阵元可分为两部分，一部分只依赖于体系的取向而与具体张量无关，另一部分与取向无关，但依赖于张量及径向分布。 证明思路：利用 和J对|jm的作用结果，可知与 满足相同的一阶线性齐次方程，从而成比例。,2）Wigner-Eckart定理：,Wigner-Eckart定理的简单应用： a) 对标量S，则 即标量不改变j,m b) 对矢量k=1，q=1,0,-1，由CG系数知,（但00跃迁不发生,3)投影定理 (Lande公式)： 径向积分只牵涉标量，角度部分则是已知的。 证：据Wigner-Eckart定理，,作业,3.29, 3.30,