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1、第二讲第二讲 参数方程参数方程 一、曲线的参数方程一、曲线的参数方程 第第 2 课时课时 圆的参数方程圆的参数方程 A 级 基础巩固级 基础巩固 一、选择题一、选择题 1曲线曲线( 为参数为参数)围成图形的面积等于围成图形的面积等于( ) x12cos ， y32sin ) A B2 C3 D4 答案：答案：D 2圆圆 x2(y1)22 的参数方程为的参数方程为( ) A.( 为参数为参数) x x2c co os s ， y y12s si in n ) B.( 为参数为参数) x x 2c co os s ， y y1 2s si in n ) C.( 为参数为参数) x x2c co o
2、s s ， y y12s si in n ) D.( 为参数为参数) x x 2c co os s ， y y1 2s si in n ) 解 析 ：解 析 ： 由由 xcos ， y 1sin 知 参 数 方 程 为知 参 数 方 程 为2 22 2 ( 为参数为参数) x x 2c co os s ， y y1 2s si in n ) 答案：答案：D 3 已知圆 已知圆 O 的参数方程是的参数方程是(02)， 圆上点， 圆上点 A x x24c co os s ， y y 34s si in n ) 的坐标是的坐标是(4，3)，则参数，则参数 ( )3 3 A. B. C. D. 7 7
3、 6 6 4 4 3 3 1 11 1 6 6 5 5 3 3 解析：解析：由题意由题意(02)， 424c co os s ， ， 3 3 34s si in n ) 所以所以(02)，解得，解得 . c co os s 1 2， ， s si in n 3 2) 5 5 3 3 答案：答案：D 4 P(x， y)是曲线是曲线(为参数为参数)上任意一点， 则上任意一点， 则(x5)2 x2cos ， ysin ) (y4)2的最大值为的最大值为( ) A36 B6 C26 D25 解析：解析：设设 P(2cos ，sin )，代入得：，代入得： (2cos 5)2(sin 4)225sin2
4、 cos2 6cos 8sin 2610sin().所以最大值为所以最大值为 36. (tan 3 4， ，为为锐锐角角) 答案：答案：A 5直线：直线：3x4y90 与圆：与圆：( 为参数为参数)的位置关的位置关 x x2c co os s ， y y2s si in n ) 系是系是( ) A相切相切 B相离相离 C直线过圆心直线过圆心 D相交但直线不过圆心相交但直线不过圆心 解析：解析：圆心坐标为圆心坐标为(0，0)，半径为，半径为 2，显然直线不过圆心，显然直线不过圆心， 又圆心到直线距离又圆心到直线距离 d 2. 9 9 5 5 所以直线与圆相交，但不过圆心所以直线与圆相交，但不过圆
5、心 答案：答案：D 二、填空题二、填空题 6 已知动圆 已知动圆 x2y22axcos 2bysin 0(a， b 是正常数， 且是正常数， 且 a b， 为参数为参数)，则圆心的轨迹的参数方程为，则圆心的轨迹的参数方程为_ 解析 ：解析 ： 设设 P(x，y)为动圆的圆心，由为动圆的圆心，由 x2y22axcos 2bysin 0 得：得：(xacos )2(ybsin )2a2cos2 b2sin2 . 所以所以x acos ， ybsin .) 答案：答案：x acos ， ybsin ) 7 已知圆 已知圆 C 的参数方程为的参数方程为( 为参数为参数)， 以原点为极点， 以原点为极点
6、， xcos ， y1sin ) x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为的极坐标方程为 sin 1， 则直线 ， 则直线 l 和圆和圆 C 的交点的直角坐标为的交点的直角坐标为_ 解析：解析：由圆的参数方程知圆心的坐标为由圆的参数方程知圆心的坐标为(0，1)，半径，半径 r1，由直 线 ，由直 线 l 的极坐标方程可知直线的极坐标方程可知直线 l 的方程为的方程为 y1， 则根据图象可知直线， 则根据图象可知直线 l 和 圆 和 圆 C 的交点为的交点为(1，1)，(1，1) 答案：答案：(1，1)，(1，1) 8 曲 线 曲 线 C：( 为
7、参 数为 参 数 )的 普 通 方 程 为的 普 通 方 程 为 x xc co os s ， y y1s si in n ) _如果曲线如果曲线 C 与直线与直线 xya0 有公共点，那么有公共点，那么 a 的取值 范围是 的取值 范围是_ 解析：解析：( 为参数为参数)消参可得消参可得 x xc co os s ， y y1s si in n ) x2(y1)21， 利用圆心到直线的距离利用圆心到直线的距离 dr 得得1， | |1a| 2 解得解得 1a1.2 22 2 答案：答案：x2(y1)21 1，12 22 2 三、解答题三、解答题 9已知已知 P(x，y)是圆是圆 x2y22y
8、0 上的动点上的动点 (1)求求 2xy 的取值范围；的取值范围； (2)若若 xyc0 恒成立，求实数恒成立，求实数 c 的取值范围的取值范围 解：解：方程方程 x2y22y0 变形为变形为 x2(y1)21， 其参数方程为其参数方程为( 为参数为参数) xc co os s ， y y1s si in n ) (1)2xy2cos sin 1sin()1(其中其中 由由 tan 5 5 2 确定确定)， 所以所以 12xy1.5 55 5 (2)若若 xyc0 恒成立，即恒成立，即 c(cos sin 1)对一切对一切 R 恒成立恒成立 因为因为(cos sin 1)的最大值是的最大值是1
9、，2 2 所以当且仅当所以当且仅当 c1 时，时，xyc0 恒成立恒成立2 2 10在直角坐标系在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极 轴建立极坐标系，半圆 轴正半轴为极 轴建立极坐标系，半圆 C 的极坐标方程为的极坐标方程为 2cos ，. 0， ， 2 2 (1)求求 C 的参数方程；的参数方程； (2)设点设点 D 在在 C 上，上，C 在在 D 处的切线与直线处的切线与直线 l：yx2 垂直，垂直，3 3 根据根据(1)中你得到的参数方程，确定中你得到的参数方程，确定 D 的坐标的坐标 解：解：(1)C 的普通方程为的普通方程为(x1)2y2
10、1(0y1) 可得可得 C 的参数方程为的参数方程为(t 为参数，为参数，0t) x x1c co os s t t， y ys si in n t t) (2)设设 D(1cos t，sin t)，由，由(1)知知 C 是以是以 G(1，0)为圆心，为圆心，1 为半径 的上半圆 为半径 的上半圆 因为因为 C 在点在点 D 处的切线与处的切线与 l 垂直，垂直， 所以直线所以直线 GD 与与 l 的斜率相同，的斜率相同，tan t，t .3 3 3 3 故故 D 的直角坐标为，即的直角坐标为，即. (1 1 c co os s 3 3， ，s si in n 3 3)( 3 3 2 2， ，
11、 3 3 2 2) B 级 能力提升级 能力提升 1P(x，y)是曲线是曲线( 为参数为参数)上任意一点，则上任意一点，则 P 到到 x2cos ， ysin ) 直线直线 xy40 的距离的最小值是的距离的最小值是_ . 解析 ：解析 ： 由由 P 在曲线上可得在曲线上可得 P 的坐标为的坐标为(2cos ， sin x2cos ， ysin ) ) 由点到直线的距离公式得由点到直线的距离公式得 d |cos sin 6| 2 | 2cos( 4) 6| 2 ，当，当 cos1 时，时，d 最小，最小，dmin13. ( 4) 26 2 2 答案：答案：13 2 2 已知直线 已知直线yx与
12、曲线与曲线(为参数为参数)相交于两点相交于两点A x12cos ， y22sin ) 和和 B，求弦长，求弦长|AB|. 解：解：由得由得 x12cos ， y22sin ，) x12cos ， y22sin .) 所以所以(x1)2(y2)24，其圆心为，其圆心为(1，2)，半径，半径 r2， 则圆心则圆心(1，2)到直线到直线 yx 的距离的距离 d. |12| 12（1）2 2 2 所以所以|AB|22.r2d222( 2 2) 2 14 3 已知圆 已知圆C：(为参数为参数)和直线和直线l x1cos ， ysin ) x2tcos ， y 3tsin ) (其中其中 t 为参数，为直
13、线为参数，为直线 l 的倾斜角的倾斜角)， (1)当当 时，求圆上的点到直线时，求圆上的点到直线 l 距离的最小值；距离的最小值； 2 3 (2)当直线当直线 l 与圆与圆 C 有公共点时，求有公共点时，求 的取值范围的取值范围 解：解：(1)当当 时，直线时，直线 l 的直角坐标方程为的直角坐标方程为xy30， 2 3 33 圆圆 C 的圆心坐标为的圆心坐标为(1，0)，圆心到直线的距离，圆心到直线的距离 d，圆的半径，圆的半径 2 3 2 3 为为 1，故圆上的点到直线，故圆上的点到直线 l 距离的最小值为距离的最小值为1.3 (2)圆圆 C 的直角坐标方程为的直角坐标方程为(x1)2y21，将直线，将直线 l 的参数方程代 入圆 的参数方程代 入圆 C 的直角坐标方程，得的直角坐标方程，得 t22(cos sin )t30，这个关，这个关3 于于 t 的一元二次方程有解， 故的一元二次方程有解， 故4(cos sin )2120， 则， 则 sin23 ，即 ，即 sin或或 sin.又又 0，故，故 ( 6) 3 4 ( 6) 3 2 ( 6) 3 2 只能只能 sin，即，即 ，即，即 . ( 6) 3 2 3 6 2 3 6 2 故故 的取值范围是的取值范围是. 6 ， 2