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1、复 习 课复 习 课 整合整合网络构建网络构建 警示警示易错提醒易错提醒 1参数方程化为普通方程的易错点参数方程化为普通方程的易错点 将参数方程化为普通方程时，很容易改变变量的取值范围，从而 使得两种方程所表示的曲线不一致 将参数方程化为普通方程时，很容易改变变量的取值范围，从而 使得两种方程所表示的曲线不一致 2圆锥曲线中的三点注意事项圆锥曲线中的三点注意事项 (1)注意不要将椭圆方程中的参数的几何意义与圆的方程中的参数 的几何意义相混淆 注意不要将椭圆方程中的参数的几何意义与圆的方程中的参数 的几何意义相混淆 (2)把圆锥曲线的参数方程化为普通方程时注意变量把圆锥曲线的参数方程化为普通方程
2、时注意变量 x(或或 y)的变 化 的变 化 (3)利用参数方程的参数求轨迹方程时，注意参数的特殊取值利用参数方程的参数求轨迹方程时，注意参数的特殊取值 3关注直线参数方程中参数关注直线参数方程中参数 t 具有几何意义的前提条件具有几何意义的前提条件 t 具有几何意义的前提条件是直线参数方程为标准形式具有几何意义的前提条件是直线参数方程为标准形式 4圆的渐开线和摆线的两个易错点圆的渐开线和摆线的两个易错点 (1)对圆的渐开线和摆线的概念理解不透导致错误对圆的渐开线和摆线的概念理解不透导致错误 (2)弄不清圆的渐开线和摆线的参数方程导致错误弄不清圆的渐开线和摆线的参数方程导致错误. 专题一 求曲
3、线的参数方程专题一 求曲线的参数方程 用参数方程求动点的轨迹方程，其基本思想是选取适当的参数作 为中间变量，使动点横、纵坐标分别与参数有关，从而得到动点的参 数方程，然后再消去参数，化为普通方程如果动点轨迹与直线、圆、 圆锥曲线等有关，那么通常取直线、圆、圆锥曲线的参数方程中的参 数作为中间变量 用参数方程求动点的轨迹方程，其基本思想是选取适当的参数作 为中间变量，使动点横、纵坐标分别与参数有关，从而得到动点的参 数方程，然后再消去参数，化为普通方程如果动点轨迹与直线、圆、 圆锥曲线等有关，那么通常取直线、圆、圆锥曲线的参数方程中的参 数作为中间变量 例例 1 过点 过点 P(2，0)作直线作
4、直线 l 与圆与圆 x2y21 交于交于 A、B 两点， 设 两点， 设 A、B 的中点为的中点为 M，求，求 M 的轨迹的参数方程的轨迹的参数方程 解：解：设设 M(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线，直线 l 的方程为的方程为 xty2. 由消去由消去 x 得得(1t2)y24ty30. x xty2， x x2 2y2 21，) 所以所以 y1y2，得，得 y. 4 4t t 1 1 t2 2 2 2t t 1 1 t2 2 xty22， 2 2t t2 2 1 1 t2 2 2 1 t2 2 由由(4t)212(1t2)0，得，得 t23. 所以所以 M 的轨迹的参数方
5、程为的轨迹的参数方程为(t 为参数且为参数且 t23) x x 2 1 t2 2， ， y y 2t 1 t2 2 ) 归纳升华归纳升华 求曲线参数方程的五步求曲线参数方程的五步 1建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点 M 的坐标；的坐标； 2写出适合条件的点写出适合条件的点 M 的集合；的集合； 3选择适当的参数，用参数及坐标表示集合，列出方程；选择适当的参数，用参数及坐标表示集合，列出方程； 4将方程化为最简形式；将方程化为最简形式； 5证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点 注意：最后一步可以省略，
6、但一定要注意所求的方程所表示的点 是否都在曲线上，要注意那些特殊的点 注意：最后一步可以省略，但一定要注意所求的方程所表示的点 是否都在曲线上，要注意那些特殊的点 变式训练变式训练 以直角坐标系的原点 以直角坐标系的原点O为极点，为极点， x轴的正半轴为极轴， 已知点 轴的正半轴为极轴， 已知点 P 的直角坐标为的直角坐标为(1，5)，点，点 C 的极坐标为，若直线的极坐标为，若直线 l 过过 (4 4， ， 2 2) 点点 P，且倾斜角为 ，圆，且倾斜角为 ，圆 C 的半径为的半径为 4. 3 3 (1)求直线求直线 l 的参数方程和圆的参数方程和圆 C 的极坐标方程的极坐标方程 (2)试判
7、断直线试判断直线 l 与圆与圆 C 的位置关系的位置关系 解：解：(1)直线直线 l 的参数方程为的参数方程为 (t 为参数为参数)， x x1tc co os s 3 3， ， y y5tsin 3 3) 即即(t 为参数为参数) x x11 2t， ， y y5 3 2) 由题知由题知 C 点的直角坐标为点的直角坐标为(0，4)，圆，圆 C 的半径为的半径为 4， 所以圆所以圆 C 的方程为的方程为 x2(y4)216， 将代入，得圆将代入，得圆 C 的极坐标方程为的极坐标方程为 8sin . x xc co os s ， y ys si in n ) (2)由题意得，直线由题意得，直线
8、l 的普通方程为的普通方程为xy50，3 33 3 圆心圆心 C 到到 l 的距离为的距离为 d4， | |45 3| 2 9 9 3 2 所以直线所以直线 l 与圆与圆 C 相离相离 专题二 参数方程及其应用专题二 参数方程及其应用 (1)求直线的参数方程，根据参数方程参数的几何意义，求直线上 两点间的距离，求直线的倾斜角，判断两直线的位置关系；根据已知 条件求圆的参数方程，根据圆的参数方程解决与圆有关的最值、位置 关系等问题 求直线的参数方程，根据参数方程参数的几何意义，求直线上 两点间的距离，求直线的倾斜角，判断两直线的位置关系；根据已知 条件求圆的参数方程，根据圆的参数方程解决与圆有关
9、的最值、位置 关系等问题 (2)能根据条件求椭圆、双曲线、抛物线的参数方程，并利用圆锥 曲线的参数方程解最值、直线与圆锥曲线的位置关系等问题 能根据条件求椭圆、双曲线、抛物线的参数方程，并利用圆锥 曲线的参数方程解最值、直线与圆锥曲线的位置关系等问题 例例 2 已 知 曲 线 已 知 曲 线 C1：( 为 参 数为 参 数 )， 曲 线， 曲 线 C2： x x2c co os s ， y y2s si in n ) (t 为参数为参数) x x1tc co os s ， y y1ts si in n ) (1)若若 ，求曲线 ，求曲线 C2的普通方程，并说明它表示什么曲线；的普通方程，并说明
10、它表示什么曲线； 4 4 (2)曲线曲线 C1和曲线和曲线 C2的交点分别记为的交点分别记为 M，N，求，求|MN|的最小值的最小值 解：解：(1)因为因为 ，所以 ，所以(t 为参数为参数)， 4 4 x x1 2 2 t， y y1 2 2 t) 所以所以 x1y1， 所以曲线所以曲线 C2的普通方程是的普通方程是 yx2，它表示过点，它表示过点(1，1)，倾斜角 为 的直线 ，倾斜角 为 的直线 4 4 (2)曲线曲线 C1的普通方程为的普通方程为 x2y24， 将将(t 为参数为参数)代入代入 x2y24 中得中得(1tcos )2( x x1tc co os s ， y y1ts s
11、i in n ) 1tcos )24， 所以所以 t22(cos sin )t20， 设设 t1，t2为方程的两个根，则有为方程的两个根，则有 |MN|t1t2| （ （t 1 1 t2 2） ）2 24t1 1t t2 2 ，4 4（ （c co os s s si in n ） ）2 281 12 24s si in n 2 2 所以当所以当 sin 21 时，时，|MN|的最小值为的最小值为 2 . 2 2 归纳升华归纳升华 1曲线的参数方程化为普通方程的基本方法是消参，可以通过加 减消参法、平方消参法等进行，解题中要注意参数方程与普通方程的 等价性 曲线的参数方程化为普通方程的基本方法
12、是消参，可以通过加 减消参法、平方消参法等进行，解题中要注意参数方程与普通方程的 等价性 2把曲线的参数方程化为普通方程，可把要解决的问题转化为我 们熟悉的问题加以解决，是解决参数方程问题的一个重要指导思想 把曲线的参数方程化为普通方程，可把要解决的问题转化为我 们熟悉的问题加以解决，是解决参数方程问题的一个重要指导思想 3求圆锥曲线或圆上的点到某点或者某条直线的距离的最值时， 使用参数方程可以把问题化为求三角函数的最值问题 求圆锥曲线或圆上的点到某点或者某条直线的距离的最值时， 使用参数方程可以把问题化为求三角函数的最值问题 4直线的参数方程的应用非常广泛，可用来解决直线与圆锥曲线 的位置关
13、系问题在解决这类问题时，利用直线参数方程中参数 直线的参数方程的应用非常广泛，可用来解决直线与圆锥曲线 的位置关系问题在解决这类问题时，利用直线参数方程中参数 t 的 几何意义，可以避免通过解方程组求交点坐标等烦琐运算，使问题得 到简化直线的参数方程有多种形式，但只有标准形式才具有明确的 几何意义 的 几何意义，可以避免通过解方程组求交点坐标等烦琐运算，使问题得 到简化直线的参数方程有多种形式，但只有标准形式才具有明确的 几何意义 变 式 训 练变 式 训 练 直 线 直 线 l 过 点过 点 P0( 4， 0)， 它 的 参 数 方 程 为， 它 的 参 数 方 程 为 (t 为参数为参数)
14、，与圆，与圆 x2y27 相交于相交于 A，B 两点两点 x x4 3 2 t， y y1 2t ) (1)求弦长求弦长|AB|； (2)过过 P0作圆的切线，求切线长作圆的切线，求切线长 解：解：将直线将直线 l 的参数方程代入圆的方程，的参数方程代入圆的方程， 得得7， ( 4 3 2 t)2 2 ( 1 1 2 2t t) 2 2 整理得整理得 t24t90.3 3 (1)设设 A 和和 B 两点对应的参数分别为两点对应的参数分别为 t1和和 t2， 由根与系数的关系得由根与系数的关系得 t1t24，t1t29.3 3 故故|AB|t2t1|2. （ （t 1 1 t2 2） ）2 24
15、t1 1t t2 2 3 3 (2)设圆过设圆过 P0的切线为的切线为 P0T，T 在圆上，在圆上， 则则|P0T|2|P0A|P0B|t1t2|9， 所以切线长所以切线长|P0T|3. 专题三 极坐标方程与参数方程的综合应用专题三 极坐标方程与参数方程的综合应用 把极坐标方程与参数方程综合起来考查的频率较高，常考查极坐 标方程、参数方程、普通方程的相互转化一般是将所给的方程化为 较熟悉的普通方程，然后根据曲线性质去解决问题在高考中选择题、 填空题和解答题都有可能出现 把极坐标方程与参数方程综合起来考查的频率较高，常考查极坐 标方程、参数方程、普通方程的相互转化一般是将所给的方程化为 较熟悉的
16、普通方程，然后根据曲线性质去解决问题在高考中选择题、 填空题和解答题都有可能出现 例例 3 已知直线 已知直线 l：(t 为参数为参数) 以坐标原点为极点， 以坐标原点为极点， x x5 3 2 t， y y 31 2t ) x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为的极坐标方程为 2cos . (1)将曲线将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)设点设点 M 的直角坐标为的直角坐标为(5，)， 直线， 直线 l 与曲线与曲线 C 的交点为的交点为 A， B，3 3 求求|MA|MB|的值的值 解：解：(
17、1)2cos 等价于等价于 22cos . 将将 2x2y2， cos x 代入代入 22cos 即得曲线即得曲线 C 的直角坐标 方程为 的直角坐标 方程为 x2y22x0. (2)将将(t 为参数为参数)代入代入 x2y22x0， x x5 3 2 t， y y 31 2t ) 得得 t25t180.3 3 设这个方程的两个实根分别为设这个方程的两个实根分别为 t1， t2， 则由参数， 则由参数 t 的几何意义即知，的几何意义即知， |MA|MB|t1t2|18. 归纳升华归纳升华 1先把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，曲线的参数方程化 为普通方程，然后使用熟悉的解析几何知识解决问题，
18、再根据题目的 要求进行变换来求解结果，最后得出符合题目要求的结论 先把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，曲线的参数方程化 为普通方程，然后使用熟悉的解析几何知识解决问题，再根据题目的 要求进行变换来求解结果，最后得出符合题目要求的结论 2参数方程中一个确定的参数值对应着曲线上一个确定的点，在 由参数方程求曲线交点坐标时，也可以先通过方程组求出参数值，再 根据参数值得出交点坐标 参数方程中一个确定的参数值对应着曲线上一个确定的点，在 由参数方程求曲线交点坐标时，也可以先通过方程组求出参数值，再 根据参数值得出交点坐标 3 解题时如果涉及求直线被曲线截得的线段的长度或者直线上的 点与曲线交点之间线
19、段长度的和、乘积等问题时，可以利用直线的参 数方程中参数的几何意义加以解决 解题时如果涉及求直线被曲线截得的线段的长度或者直线上的 点与曲线交点之间线段长度的和、乘积等问题时，可以利用直线的参 数方程中参数的几何意义加以解决 变式训练变式训练 (2017全国卷全国卷)在直角坐标系在直角坐标系 xOy 中，直线中，直线 l1的参 数方程为 的参 数方程为(t为参数为参数)， 直线， 直线 l2的参数方程为的参数方程为(m x2t， ykt) x2m， ym k ) 为参数为参数)设设 l1与与 l2的交点为的交点为 P，当，当 k 变化时，变化时，P 的轨迹为曲线的轨迹为曲线 C. (1)写出写
20、出 C 的普通方程；的普通方程； (2)以坐标原点为极点，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 l3： (cos sin )0，M 为为 l3与与 C 的交点，求的交点，求 M 的极径的极径2 解：解：(1)直线直线 l1的普通方程为的普通方程为 yk(x2)， 直线直线 l2的普通方程为的普通方程为 x2ky， 消去， 消去 k 得得 x2y24(y0)， 即， 即 C 的普通方程为的普通方程为 x2y24(y0) (2)l3化为普通方程为化为普通方程为 xy . 2 联立得联立得 xy 2， x2y24，) x3 2 2 ， y 2 2 .)
21、所以所以 2x2y2 5. 18 4 2 4 所以所以 l3与与 C 的交点的交点 M 的极径为的极径为 . 5 专题四 数形结合思想专题四 数形结合思想 数形结合思想是数学中重要的思想之一，利用数形结合思想解题 具有直观性、灵活性、深刻性的特点，并跨越各知识点的界线，有较 强的综合性加强这方面的学习和训练是打好基础、巩固知识、提高 能力的一个重要环节 数形结合思想是数学中重要的思想之一，利用数形结合思想解题 具有直观性、灵活性、深刻性的特点，并跨越各知识点的界线，有较 强的综合性加强这方面的学习和训练是打好基础、巩固知识、提高 能力的一个重要环节 例例 4 已知抛物线的参数方程为 已知抛物线
22、的参数方程为(t 为参数为参数)， 其中， 其中 p0， x x2pt2 2， y y2pt) 焦点为焦点为 F， 准线为， 准线为 l.过抛物线上一点过抛物线上一点 M 作作 l 的垂线， 垂足为的垂线， 垂足为 E.若若|EF| |MF|，点，点 M 的横坐标是的横坐标是 3，则，则 p_ 解析 ：解析 ： 将将(t 为参数为参数)消参得消参得 y22px， 则抛物线的焦点为， 则抛物线的焦点为 F x x2pt2 2， y y2pt，) ，准线为直线，准线为直线 x . ( p p 2 2， ，0 0) p p 2 2 将将 x3 代入代入 y22px 得得 y.6 6p p 如图，不妨
23、令如图，不妨令 M 的坐标为的坐标为(3，)，所以，所以 E.6 6p p ( p 2， ， 6 6 p p) 因为因为|EF|MF|，所以，所以 ( p 2 p 2) 2 （ （ 6p） ）2 2 ， ( p p 2 2 3)2 （ （ 6p） ）2 2 化简得化简得 p24p120，因为，因为 p0，所以，所以 p2. 答案：答案：2 归纳升华归纳升华 1化参数方程为普通方程，由几何性质确定抛物线的焦点与准线 方程 化参数方程为普通方程，由几何性质确定抛物线的焦点与准线 方程 2根据两点距离的定义，得关于根据两点距离的定义，得关于 p 的方程，从而求得的方程，从而求得 p 值，再结 合抛物
24、线的图象，确定 值，再结 合抛物线的图象，确定 p 的范围，体现了转化与数形结合思想的应用的范围，体现了转化与数形结合思想的应用 变式训练变式训练 在直角坐标系 在直角坐标系 xOy 中，椭圆中，椭圆 C 的参数方程为的参数方程为 ( 为参数，为参数， ab0) 在极坐标系 在极坐标系(与直角坐标系与直角坐标系 xOy 取取 xacos ， ybsin ) 相同的长度单位， 且以原点相同的长度单位， 且以原点 O 为极点， 以为极点， 以 x 轴正半轴为极轴轴正半轴为极轴)中， 直线中， 直线 l 与圆与圆 O 的极坐标方程分别为的极坐标方程分别为 sinm(m 为非零常数为非零常数)与与 b
25、. ( 4) 2 2 若直线若直线 l 经过椭圆经过椭圆 C 的焦点，且与圆的焦点，且与圆 O 相切，则椭圆相切，则椭圆 C 的离心率为的离心率为 _ 解析 ：解析 ： 椭圆的标准方程为椭圆的标准方程为1(ab0)， 由， 由 sin x2 a2 y2 b2 ( 4) 2 2 m 得得(sin cos )m， 即直线方程为， 即直线方程为 xym0.由由 b， 2 2 2 2 得得2b2， 即， 即x2y2b2， 所以圆的标准方程为， 所以圆的标准方程为x2y2b2.因为直线因为直线xy m0 过椭圆的焦点， 代入得过椭圆的焦点， 代入得 mc， 直线， 直线 xym0 与圆与圆 x2y2 b2相切，则相切，则b，即，即|m|b.所以所以 cb，解得，解得 ab，所以离，所以离 |m| 2 223 心率心率 e . c a 2b 3b 6 3 答案：答案： 6 3