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1、课时跟踪练(二十九)课时跟踪练(二十九) A 组 基础巩固 1(2019开封一模)已知向量a(m1，1)，b(m，2)，则“m2”是“ab” 的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析：当m2 时，a(1，1)，b(2，2)， 所以ab(1，1)(2，2)220， 所以充分性成立； 当ab时， ab(m1，1)(m，2)m(m1)20， 解得m2 或m1，必要性不成立， 所以“m2”是“ab”的充分不必要条件 答案：A 2设向量a，b满足|ab|4，ab1，则|ab|( ) A2 B2 C3 D235 解析：由|ab|4，ab1，得a2b216214
2、， 所以|ab|2a22abb2142112， 所以|ab|2.3 答案：B 3 (2019唐山质检)若向量a， 向量b(1， sin (tan 67.5， 1 cos 157.5) 22.5)， 则ab( ) A2 B2 C. D22 解析：由题意知abtan 67.5 sin 22.5 cos 157.5 sin 67.5 cos 67.5 sin 22.5 cos 22.5 sin（67.522.5） cos 67.5cos 22.5 2. sin 45 sin 22.5cos 22.5 2sin 45 sin 45 答案：A 4 (2019石家庄二模)若两个非零向量a，b满足|ab|a
3、b|2|b|， 则向量ab 与a的夹角为( ) A. B. C. D. 3 2 3 5 6 6 解析：设|b|1，则|ab|ab|2. 由|ab|ab|，得ab0， 故以a、b为邻边的平行四边形是矩形，且|a|，3 设向量ab与a的夹角为， 则 cos ， a（ab） |a|ab| a2ab |a|ab| |a| |ab| 3 2 因为 0，所以. 6 答案：D 5(2019九江二模)在 RtABC中，ABAC，点M、N是线段AC的三等分点，点P在 线段BC上运动且满足k，当取得最小值时，实数k的值为( )PC BC PM PN A. B. C. D. 1 2 1 3 1 4 1 8 解析：建
4、立平面直角坐标系，如图所示， 设ABAC3，P(x，3x)(0x3)， 则M(1，0)，N(2，0)， 则2x29x112 ，PM PN (x 9 4) 2 7 8 所以当x 时，取到最小值，此时P， 9 4 PM PN ( 9 4， 3 4) 所以k . PC BC 1 4 答案：C 6在ABC中，三个顶点的坐标分别为A(3，t)，B(t，1)，C(3，1)，若ABC 是以B为直角顶点的直角三角形，则t_ 解析：由已知，得0，BA BC 即(3t，t1)(3t，0)0， 所以(3t)(3t)0，解得t3 或t3， 当t3 时，点B与点C重合，舍去故t3. 答案：3 7 一题多解(2017全国
5、卷)已知向量a，b的夹角为60， |a|2， |b|1， 则|a2b| _ 解析：法一 |a2b| （a2b）2 a24ab4b2 2 24 2 1 cos 604 12 2.123 法二(数形结合法) 由|a|2b|2， 知以a与 2b为邻边可作出边长为 2 的菱形OACB， 如图， 则|a2b| |.OC 又AOB60， 所以|a2b|2.3 答案：2 3 8 (2017天津卷)在ABC中， A60，AB3，AC2.若2，(BD DC AE AC AB R)，且4，则的值为_AD AE 解析：由2得，BD DC AD 1 3AB 2 3AC 所以() 2 2 ，AD AE ( 1 3AB
6、2 3AC ) AC AB 1 3 AB AC 1 3AB 2 3 AC 2 3AB AC 又32cos 603， 29，24， AB AC AB AC 所以3254，解得.AD AE 8 3 11 3 3 11 答案： 3 11 9在平面直角坐标系xOy中，点A(1，2)，B(2，3)，C(2，1) (1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长 (2)设实数t满足(t)0，求t的值AB OC OC 解：由题意知(3，5)，(1，1)，则(2，6)，(4，4)AB AC AB AC AB AC 所以|2，|4.AB AC 10AB AC 2 故所求的两条对角线的长分别为 4，2.2
7、10 (2)由题设知，(2，1)，t(32t，5t)OC AB OC 由(t)0，得AB OC OC (32t，5t)(2，1)0， 从而 5t11，所以t. 11 5 10(2017江苏卷)已知向量a(cos x，sin x)，b(3，)，x0，3 (1)若ab，求x的值； (2)记f(x)ab，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值 解：(1)因为a(cos x，sin x)，b(3，)，ab，3 所以cos x3sin x.3 若 cos x0，则 sin x0，与 sin2xcos2x1 矛盾， 故 cos x0.于是 tan x. 3 3 又x0，所以x. 5 6 (2)f(x)
8、ab(cos x，sin x)(3，)3 3cos xsin x2cos .33 (x 6) 因为x0，所以x， 6 6 ，7 6 从而1cos， (x 6) 3 2 于是，当x，即x0 时，f(x)取得最大值 3； 6 6 当x，即x时，f(x)取得最小值2. 6 5 6 3 B 组 素养提升 11 (2019广雅中学联考)已知a(2， 1)，b(k， 3)，c(1， 2)， 若(a2b)c， 则|b|( ) A3 B3 C2 D.52510 解析：由题意得a2b(22k，7)，因为(a2b)c， 所以(a2b)c0，即(22k，7)(1，2)0，即22k140，解得k6， 所以|b|3.6
9、2（3）25 答案：A 12(2019“超级全能生”全国联考)在ABC 中，AB4，BC6，ABC，D是 2 AC的中点，E在BC上，且AEBD，则等于( )AE BC A16 B12 C8 D4 解析 ： 以B为原点，BA，BC所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系(图略)， 则A(4， 0)， B(0， 0)，C(0， 6)，D(2， 3) 设E(0，t)， 因为AEBD， 所以(2， 3)(4，t)83tBD AE 0， 所以t ，即E. 8 3(0， 8 3) (0，6)16.AE BC (4， 8 3) 答案：A 13 (2019长郡中学联考)已知非零向量a，b满足|ab|ab|a
10、|， 则向量ab 2 3 3 与ab的夹角为_ 解析：由|ab|ab|，知ab，则ab0， 将|ab|a|两边平方，得a2b22aba2，所以b2a2. 2 3 3 4 3 1 3 设ab与ab的夹角为， 所以 cos （ab）（ab） |ab|ab| . a2b2 2 3 3 |a| 2 3 3 |a| 2 3a 2 4 3a 2 1 2 又因为0，所以. 3 答案： 3 14 已知A，B，C分别为ABC的三边a，b，c所对的角， 向量m(sin A， sin B)，n(cos B，cos A)，且mnsin2C. (1)求角C的大小； (2)若 sin A，sin C，sin B成等差数列，且()18，求边c的长CA AB AC 解：(1)由已知得mnsin Acos Bcos Asin Bsin(AB)， 因为ABC， 所以 sin(AB)sin(C)sin C， 所以mnsin C， 又mnsin 2C， 所以 sin 2Csin C，所以 cos C . 1 2 又 0C，所以C. 3 (2)由已知得 2sin Csin Asin B，由正弦定理得 2cab. 因为()18，CA AB AC CA CB 所以abcos C18，所以ab36. 由余弦定理得c2a2b22abcos C(ab)23ab， 所以c24c2336， 所以c236，所以c6.