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1、课时跟踪练(四十二)课时跟踪练(四十二) A 组 基础巩固 1.如图所示，某空间几何体的正视图与侧视图相同，则此几何体的表面积为( ) A6 B. 2 3 3 C4 D2 3 解析：此几何体为一个组合体，上为一个圆锥，下为一个半球组合而成表面积为S 224. 4 2 1 2 答案：C 2(2019漳州模拟)如图，在边长为 1 的正方形组成的网格中，画出的是一个几何体 的三视图，则该几何体的体积是( ) A9 B. C18 D27 27 2 解析：根据三视图可知该几何体是一个三棱锥，将三棱锥A-BCD还原到长方体中， 长方体的长、宽、高分别为 6、3、3， 所以该几何体的体积V 6339， 1
2、3 1 2 故选 A. 答案：A 3 某几何体的三视图如图所示， 且该几何体的体积是 3， 则正视图中的x的值是( ) A2 B. C. D3 9 2 3 2 解析：由三视图知，该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，且S底 (12)23.所 1 2 以Vx33，解得x3. 1 3 答案：D 4一块硬质材料的三视图如图所示，正视图和俯视图都是边长为 10 cm 的正方形，将 该材料切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径最接近( ) A3 cm B4 cm C5 cm D6 cm 解析 ： 由题意，知该硬质材料为三棱柱(底面为等腰直角三角形)，所以最大球的半径等 于侧视图直角三角形内切圆的半径，
3、设为r cm，则 10r10r10，2 所以r1053.2 答案：A 5(2019佛山一模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A. B15 C. D18 21 2 33 2 解析：由题意可知该几何体的直观图是如图所示的多面体ABC-ABCD， 将几何体补成四棱柱ABCD-ABCD，其底面是直角梯形(上底长为 1，高为 3，下 底长为 3)， 故该几何体的体积为V棱柱ABCD-ABCDV棱锥D-ACD33 313 13 2 1 3 1 2 18 .故选 C. 3 2 33 2 答案：C 6(2017全国卷)长方体的长、宽、高分别为 3，2，1，其顶点都在球O的球面上， 则球O的
4、表面积为_ 解析：因为长方体的顶点都在球O的球面上， 所以长方体的体对角线的长度就是其外接球的直径 设球的半径为R，则 2R.32221214 所以球O的表面积为S4R2414. ( 14 2) 2 答案：14 7(2018天津卷)如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，则四棱锥A1BB1D1D的 体积为_ 解析：因为正方体棱长为 1， 所以矩形BB1D1D的长和宽分别为 1，.2 因为四棱锥A1BB1D1D的高是正方形A1B1C1D1对角线长的一半，即为， 2 2 所以V四棱锥A1BB1D1DSh (1) . 1 3 1 3 2 2 2 1 3 答案：1 3 8已知一个正方体的
5、所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18，则这个球 的体积为_ 解析：设正方体的棱长为a，则 6a218，所以a.3 设球的半径为R，则由题意知 2R3，a2a2a2 所以R . 3 2 故球的体积V R3 . 4 3 4 3( 3 2) 3 9 2 答案：9 2 9.现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P-A1B1C1D1，下 部的形状是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如图所示)， 并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1 的 4 倍若AB6 m，PO12 m，则仓库的容积 解：由PO12 m，知O1O4PO18 m. 因为A1B1AB6 m， 所以
6、正四棱锥PA1B1C1D1的体积 V锥 A1BPO1 62224 m3； 1 3 2 1 1 3 正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积 V柱AB2O1O628288 m3. 所以仓库的容积VV锥V柱24288312 m3. 故仓库的容积是 312 m3. 10.如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB16，BC10，AA18，点E，F分别在A1B1，D1C1 上，A1ED1F4.过点E，F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形 (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求平面把该长方体分成的两部分体积的比值 解：(1)交线围成的正方形EHGF如图所示 (2)如图，
7、作EMAB，垂足为M，则AMA1E4，EB112， EMAA18. 因为四边形EHGF为正方形，所以EHEFBC10. 于是MH6，AH10，HB6.EH2EM2 故S四边形A1EHA (410)856， 1 2 S四边形EB1BH (126)872. 1 2 因为长方体被平面分成两个高为 10 的直棱柱， 所以其体积的比值为. 9 7( 7 9也正确) B 组 素养提升 11(2019云南民族大学附中月考)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名 著书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马” ，若某“阳马”的 三视图如图所示(单位：cm)，则该阳马的外接球的体积为( ) A1
8、00 cm3 B. cm3 500 3 C400 cm3 D. cm3 4 000 3 解析 ： 由三视图可知该“阳马”的底面是邻边长为 6 cm，2 cm 的长方形，垂直于该底7 面的侧棱长为 6 cm，则该“阳马”的外接球的半径R5 cm，其外接球 36（2 7）236 2 的体积V 53 cm3.故选 B. 4 3 500 3 答案：B 12 (2019东莞模拟)已知三棱锥D-ABC的外接球的球心O恰好是线段AB的中点， 且AC BCBDADCD2，则三棱锥D-ABC的体积为( )2 A. B. 6 3 3 3 C. D. 2 3 1 3 解析 ： 因为三棱锥D-ABC的外接球的球心O恰
9、好是线段AB的中点， 且ACBCBDAD CD2，2 所以ODOAOCOBCD，2 易知ODAB，OCAB， 因为ODOCO，所以AB平面COD， 过D作DEOC，交OC于E， 因为DE平面COD，所以ABDE， 又OCABO， 所以DE平面ABC. 因为SABCABOC 22， 1 2 1 2 22 DE，OD2(OC 2) 2 21 2 6 2 所以三棱锥D-ABC的体积VSABCDE 2.故选 A. 1 3 1 3 6 2 6 3 答案：A 13球O为正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球，AB2，E，F分别为棱AD，CC1的中点，则 直线EF被球O截得的线段长为_ 解析 ： 设EF与
10、球面交于M，N两点，过球心与E，F的截面如图所示因为AB2，E，F 分别为棱AD，CC1的中点，所以EF，OF，根据正方体的性质可得OF，所以6 6 2 2 OO.由球O为正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球，可得ON1，由勾股（ 2）2( 6 2) 2 2 2 定理得ON，故MN.所以直线EF被球O截得的线段长为. 2 2 22 答案： 2 14.(2019河南六市模拟)已知空间几何体ABCDE中， BCD与CDE均是边长为 2 的等 边三角形，ABC是腰长为 3 的等腰三角形，平面CDE平面BCD，平面ABC平面BCD. (1)试在平面BCD内作一条直线， 使得直线上任意一点F与E的连
11、线EF均与平面ABC平 行，并给出证明； (2)求三棱锥E-ABC的体积 解：(1)如图所示，取DC的中点N，取BD的中点M，连接MN，则MN即为所求 证明：连接EM，EN，取BC的中点H，连接AH， 因为ABC是腰长为 3 的等腰三角形，H为BC的中点， 所以AHBC，又平面ABC平面BCD，平面ABC平面BCDBC，AH平面ABC， 所以AH平面BCD，同理可证EN平面BCD. 所以ENAH. 因为EN平面ABC，AH平面ABC， 所以EN平面ABC. 又M、N分别为BD，DC的中点， 所以MNBC， 因为MN平面ABC，BC平面ABC， 所以MN平面ABC. 又MNENN，MN平面EMN
12、，EN平面EMN， 所以平面EMN平面ABC， 又EF平面EMN， 所以EF平面ABC， 即直线MN上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行 (2)连接DH，取CH的中点G，连接NG，则NGDH， 由(1)可知EN平面ABC， 所以点E到平面ABC的距离与点N到平面ABC的距离相等， 又BCD是边长为 2 的等边三角形， 所以DHBC， 又平面ABC平面BCD，平面ABC平面BCDBC，DH平面BCD， 所以DH平面ABC， 所以NG平面ABC， 因为DH，N为CD的中点，3 所以NG， 3 2 又SABC BCAH 22， 1 2 1 2 32122 所以VEABC SABCNG. 1 3 6 3