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1、课时跟踪练课时跟踪练(二十九二十九) A 组 基础巩固组 基础巩固 1 (2019开封一模开封一模)已知向量已知向量 a(m1， 1)， b(m， ， 2)， 则 “， 则 “m 2”是“”是“ab”的”的( ) A充分不必要条件充分不必要条件 B必要不充分条件必要不充分条件 C充要条件充要条件 D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 解析：解析：当当 m2 时，时，a(1，1)，b(2，2)， 所以所以 ab(1，1)(2，2)220， 所以充分性成立；所以充分性成立； 当当 ab 时，时， ab(m1，1)(m，2)m(m1)20， 解得解得 m2 或或 m1，必要性不成立，必要性不成
2、立， 所以“所以“m2”是“”是“ab”的充分不必要条件”的充分不必要条件 答案：答案：A 2设向量设向量 a，b 满足满足|ab|4，ab1，则，则|ab|( ) A2 B2 C3 D235 解析：解析：由由|ab|4，ab1，得，得 a2b216214， 所以所以|ab|2a22abb2142112， 所以所以|ab|2 . 3 答案：答案：B 3(2019唐山质检唐山质检)若向量若向量 a，向量，向量 b (tan 67.5， ， 1 cos 157.5) (1，sin 22.5)，则，则 ab( ) A2 B2 C. D22 解析：解析：由题意知由题意知 abtan 67.5 sin
3、22.5 cos 157.5 sin 67.5 cos 67.5 sin 22.5 cos 22.5 sin（ （67.522.5） cos 67.5cos 22.5 2. sin 45 sin 22.5cos 22.5 2sin 45 sin 45 答案：答案：A 4(2019石家庄二模石家庄二模)若两个非零向量若两个非零向量 a，b 满足满足|ab|ab| 2|b|，则向量，则向量 ab 与与 a 的夹角为的夹角为( ) A. B. C. D. 3 2 3 5 6 6 解析：解析：设设|b|1，则，则|ab|ab|2. 由由|ab|ab|，得，得 ab0， 故以故以 a、b 为邻边的平行四
4、边形是矩形，且为邻边的平行四边形是矩形，且|a|，3 设向量设向量 ab 与与 a 的夹角为的夹角为 ， 则则 cos ， a（ab） |a|ab| a2ab |a|ab| |a| |ab| 3 2 因为因为 0，所以，所以 . 6 答案：答案：D 5 (2019九江二模九江二模)在在 RtABC 中，中， ABAC， 点， 点 M、 N 是线段是线段 AC 的三等分点，点的三等分点，点 P 在线段在线段 BC 上运动且满足上运动且满足k，当，当取取 PC BC PM PN 得最小值时，实数得最小值时，实数 k 的值为的值为( ) A. B. C. D. 1 2 1 3 1 4 1 8 解析：
5、解析：建立平面直角坐标系，如图所示，建立平面直角坐标系，如图所示， 设设 ABAC3，P(x，3x)(0x3)， 则则 M(1，0)，N(2，0)， 则则2x29x112 ， ， PM PN (x 9 4) 2 7 8 所以当所以当 x 时， 时，取到最小值，此时取到最小值，此时 P， 9 4 PM PN ( 9 4， ，3 4) 所以所以 k . PC BC 1 4 答案：答案：C 6 在 在ABC 中， 三个顶点的坐标分别为中， 三个顶点的坐标分别为 A(3， t)， B(t， ， 1)， C(3， ， 1)，若，若ABC 是以是以 B 为直角顶点的直角三角形，则为直角顶点的直角三角形，则
6、 t_ 解析：解析：由已知，得由已知，得0， BA BC 即即(3t，t1)(3t，0)0， 所以所以(3t)(3t)0，解得，解得 t3 或或 t3， 当当 t3 时，点时，点 B 与点与点 C 重合，舍去故重合，舍去故 t3. 答案：答案：3 7 一题多解一题多解(2017全国卷全国卷)已知向量已知向量 a， b 的夹角为的夹角为 60， |a|2， |b|1，则，则|a2b|_ 解析：解析：法一 法一 |a2b| （a2b）2 a24ab4b2 224 2 1 cos 604 12 2.123 法二法二(数形结合法数形结合法) 由由|a|2b|2， 知以， 知以a与与2b为邻边可作出边长
7、为为邻边可作出边长为2的菱形的菱形OACB， 如图，则 ， 如图，则|a2b|. OC 又又AOB60， 所以所以|a2b|2 . 3 答案：答案：2 3 8 (2017天津卷天津卷)在在ABC 中， 中， A60， AB3， AC2.若若2 BD ，(R)，且，且4，则，则 的值为的值为_ DC AE AC AB AD AE 解析：解析：由由2得，得， BD DC AD 1 3AB 2 3AC 所以所以() 2 AD AE ( 1 3AB 2 3AC ) AC AB 1 3 AB AC 1 3AB 2 3 2 ， AC 2 3AB AC 又又32cos 603， 2 9， 2 4， AB A
8、C AB AC 所以所以3 254，解得，解得 . AD AE 8 3 11 3 3 11 答案：答案： 3 11 9 在平面直角坐标系 在平面直角坐标系xOy中， 点中， 点A(1， ， 2)， B(2， 3)， C(2， ， 1) (1)求以线段求以线段 AB，AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长为邻边的平行四边形两条对角线的长 (2)设实数设实数 t 满足满足(t)0，求，求 t 的值的值 AB OC OC 解：解：由题意知由题意知(3，5)，(1，1)，则，则(2，6)， AB AC AB AC (4，4) AB AC 所以所以|2，|4. AB AC 10AB AC 2 故所求的两
9、条对角线的长分别为故所求的两条对角线的长分别为 4，2.210 (2)由题设知，由题设知，(2，1)，t(32t，5t) OC AB OC 由由(t)0，得，得 AB OC OC (32t，5t)(2，1)0， 从而从而 5t11，所以，所以 t. 11 5 10 (2017江苏卷江苏卷)已知向量已知向量 a(cos x， sin x)， b(3， ， )， x0，3 (1)若若 ab，求，求 x 的值；的值； (2)记记 f(x)ab，求，求 f(x)的最大值和最小值以及对应的的最大值和最小值以及对应的 x 的值的值 解：解：(1)因为因为 a(cos x，sin x)，b(3，)，ab，3
10、 所以所以cos x3sin x.3 若若 cos x0，则，则 sin x0，与，与 sin2xcos2x1 矛盾，矛盾， 故故 cos x0.于是于是 tan x. 3 3 又又 x0，所以，所以 x. 5 6 (2)f(x)ab(cos x，sin x)(3，)3 3cos xsin x2cos .33 (x 6) 因为因为 x0，所以，所以 x ， ， 6 6， ，7 6 从而从而1cos， (x 6) 3 2 于是，当于是，当 x ，即 ，即 x0 时，时，f(x)取得最大值取得最大值 3； 6 6 当当 x ，即，即 x时，时，f(x)取得最小值取得最小值2. 6 5 6 3 B
11、组 素养提升组 素养提升 11 (2019广雅中学联考广雅中学联考)已知已知 a(2， 1)， b(k， ， 3)， c(1， 2)， 若 ， 若(a2b)c，则，则|b|( ) A3 B3 C2 D.52510 解析：解析：由题意得由题意得 a2b(22k，7)，因为，因为(a2b)c， 所以所以(a2b)c0， 即， 即(22k， 7)(1， 2)0， 即， 即22k140， 解得 ， 解得 k6，所以，所以|b|3.62（3）25 答案：答案：A 12 (2019“超级全能生” 全国联考“超级全能生” 全国联考)在在ABC 中，中， AB4， BC6， ， ABC ， ，D 是是 AC
12、的中点，的中点，E 在在 BC 上，且上，且 AEBD，则，则等等 2 AE BC 于于( ) A16 B12 C8 D4 解析：解析：以以 B 为原点，为原点，BA，BC 所在直线分别为所在直线分别为 x，y 轴建立平面 直角坐标系 轴建立平面 直角坐标系(图略图略)， 则， 则 A(4， 0)， B(0， 0)， C(0， 6)， D(2， 3) 设 设 E(0， t)， 因为 ， 因为 AEBD，所以，所以(2，3)(4，t)83t0， BD AE 所以所以 t ，即 ，即 E. 8 3 (0， ，8 3) (0，6)16. AE BC ( 4，8 3) 答案：答案：A 13 (2019
13、长郡中学联考长郡中学联考)已知非零向量已知非零向量 a， b 满足满足|ab|ab| |a|，则向量，则向量 ab 与与 ab 的夹角为的夹角为_ 2 3 3 解析：解析：由由|ab|ab|，知，知 ab，则，则 ab0， 将将|ab|a|两边平方，得两边平方，得 a2b22ab a2，所以，所以 b2 a2. 2 3 3 4 3 1 3 设设 ab 与与 ab 的夹角为的夹角为 ， 所以所以 cos （ （ab）（ab） |ab|ab| . a2b2 2 3 3 |a| 2 3 3 |a| 2 3a 2 4 3a 2 1 2 又因为又因为 0，所以，所以 . 3 答案：答案： 3 14已知已
14、知 A，B，C 分别为分别为ABC 的三边的三边 a，b，c 所对的角，向 量 所对的角，向 量 m(sin A，sin B)，n(cos B，cos A)，且，且 mnsin2C. (1)求角求角 C 的大小；的大小； (2)若若 sin A，sin C，sin B 成等差数列，且成等差数列，且()18，求，求 CA AB AC 边边 c 的长的长 解：解：(1)由已知得由已知得 mnsin Acos Bcos Asin Bsin(AB)， 因为因为 ABC， 所以所以 sin(AB)sin(C)sin C， 所以所以 mnsin C， 又又 mnsin 2C， 所以所以 sin 2Csin C，所以，所以 cos C . 1 2 又又 0C，所以，所以 C . 3 (2)由已知得由已知得 2sin Csin Asin B，由正弦定理得，由正弦定理得 2cab. 因为因为()18， CA AB AC CA CB 所以所以 abcos C18，所以，所以 ab36. 由余弦定理得由余弦定理得 c2a2b22abcos C(ab)23ab， 所以所以 c24c2336， 所以所以 c236，所以，所以 c6.