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1、课时跟踪练课时跟踪练(五十六五十六) A 组 基础巩固组 基础巩固 1 设 设 F1， F2分别是椭圆分别是椭圆 C：1(ab0)的左、 右焦点，的左、 右焦点， M x2 a2 y2 b2 是是 C 上一点且上一点且 MF2与与 x 轴垂直，直线轴垂直，直线 MF1与与 C 的另一个交点为的另一个交点为 N. (1)若直线若直线 MN 的斜率为 ，求的斜率为 ，求 C 的离心率；的离心率； 3 4 (2)若直线若直线 MN 在在 y 轴上的截距为轴上的截距为 2，且，且|MN|5|F1N|，求，求 a，b. 解：解：(1)根据根据 c及题设知及题设知 M， ， ，2b23ac.a2b2 (c
2、， ，b 2 a) b2 a 2c 3 4 将将 b2a2c2代入代入 2b23ac， 解得 ， 解得 ， 2(舍去舍去) c a 1 2 c a 故故 C 的离心率为的离心率为 . 1 2 (2)由题意，原点由题意，原点 O 为为 F1F2的中点，的中点，MF2y 轴，轴， 所以直线所以直线 MF1与与 y 轴的交点轴的交点 D(0，2)是线段是线段 MF1的中点，的中点， 故故4，即，即 b24a. b2 a 由由|MN|5|F1N|得得|DF1|2|F1N|. 设设 N(x1，y1)，由题意知，由题意知 y10，则，则 即即 2（cx1）c， 2y12，) x13 2c， ， y11.
3、) 代入代入 C 的方程，得的方程，得1. 9c2 4a2 1 b2 将及将及 c代入得代入得1.a2b2 9（a24a） 4a2 1 4a 解得解得 a7，b24a28，故，故 a7，b2 . 7 2 (2019郑州模拟郑州模拟)已知动圆已知动圆 E 经过点经过点 F(1， 0)， 且和直线， 且和直线 l： x 1 相切相切 (1)求该动圆圆心求该动圆圆心 E 的轨迹的轨迹 G 的方程；的方程； (2)已知点已知点 A(3，0)，若斜率为，若斜率为 1 的直线的直线 l与线段与线段 OA 相交相交(不经过 坐标原点 不经过 坐标原点 O 和点和点 A)，且与曲线，且与曲线 G 交于交于 B
4、、C 两点，求两点，求ABC 面积的 最大值 面积的 最大值 解：解：(1)由题意可知点由题意可知点 E 到点到点 F 的距离等于点的距离等于点 E 到直线到直线 l 的距离， 所以动点 的距离， 所以动点 E 的轨迹是以的轨迹是以 F(1， 0)为焦点， 直线为焦点， 直线 x1 为准线的抛物线，为准线的抛物线， 故轨迹故轨迹 G 的方程是的方程是 y24x. (2)设直线设直线 l的方程为的方程为 yxm，其中，其中30) (1)证明：证明：kb0)的一的一 x2 a2 y2 b2 个焦点与上、下顶点两两相连构成直角三角形，以椭圆个焦点与上、下顶点两两相连构成直角三角形，以椭圆 C 的长轴
5、长 为直径的圆与直线 的长轴长 为直径的圆与直线 xy20 相切相切 (1)求椭圆求椭圆 C 的标准方程；的标准方程； (2)设过椭圆右焦点且不重合于设过椭圆右焦点且不重合于 x 轴的动直线与椭圆轴的动直线与椭圆 C 相交于相交于 A、 B 两点， 探究在两点， 探究在 x 轴上是否存在定点轴上是否存在定点 E， 使得， 使得为定值？若存在，为定值？若存在， EA EB 试求出定值和点试求出定值和点 E 的坐标；若不存在，请说明理由的坐标；若不存在，请说明理由 解：解：(1)由题意知，解得由题意知，解得 bc， a|0 02| 2 ， b2c2a2， ) a 2， b1， c1，) 则椭圆则椭
6、圆 C 的标准方程为的标准方程为y21. x2 2 (2)当直线的斜率存在时， 设直线方程为当直线的斜率存在时， 设直线方程为 yk(x1)(k0)， A(xA， yA)，B(xB，yB)， 联立直线方程与椭圆方程得消去联立直线方程与椭圆方程得消去y得得(12k2)x2 x2 2 y21， yk（x1），) 4k2x2k220，8k280， 所以所以 xAxB，xAxB. 4k2 12k2 2k22 12k2 假设在假设在 x 轴上存在定点轴上存在定点 E(x0，0)，使得，使得为定值为定值 EA EB 则则(xAx0，yA)(xBx0，yB)xAxBx0(xAxB)x EA EB 2 0 y
7、AyBxAxBx0(xAxB)x k2(xA1)(xB1) 2 0 (1k2)xAxB(x0k2)(xAxB)x k2 2 0 . （2x4x01）k2（x2） 12k2 因为因为为定值，所以为定值，所以的值与的值与 k 无关，无关， EA EB EA EB 所以所以 2x 4x012(x 2)， 2 02 0 解得解得 x0 ，此时 ，此时为定值，定点为，为定值，定点为， 5 4 EA EB 7 16 ( 5 4， ，0) 当直线的斜率不存在时， 也满足当直线的斜率不存在时， 也满足为定值， 且定点为为定值， 且定点为 EA EB 7 16 . ( 5 4， ，0) 综上，存在点综上，存在点
8、 E，使得，使得为定值，且定值为为定值，且定值为. ( 5 4， ，0)EA EB 7 16 5(2019石家庄质检石家庄质检)已知椭圆已知椭圆 C：1(ab0)的左、右的左、右 x2 a2 y2 b2 顶点分别为顶点分别为 A，B，且长轴长为，且长轴长为 8，T 为椭圆上一点，直线为椭圆上一点，直线 TA，TB 的斜率之积为的斜率之积为 . 3 4 (1)求椭圆求椭圆 C 的方程；的方程； (2)设设 O 为原点， 过点为原点， 过点 M(0， 2)的动直线与椭圆的动直线与椭圆 C 交于交于 P， Q 两点， 求 两点， 求的取值范围的取值范围 OP OQ MP MQ 解：解：(1)设设 T
9、(x，y)，则直线，则直线 TA 的斜率为的斜率为 k1， y x4 直线直线 TB 的斜率为的斜率为 k2. y x4 于是由于是由 k1k2 ，得 ，得 ， ， 3 4 y x4 y x4 3 4 整理得整理得1. x2 16 y2 12 (2)当直线当直线 PQ 的斜率存在时，设直线的斜率存在时，设直线 PQ 的方程为的方程为 ykx2， 点 ， 点 P，Q 的坐标分别为的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，联立直线，联立直线 PQ 的方程与椭 圆方程得消去 的方程与椭 圆方程得消去 y 得得(4k23)x216kx320， x2 16 y2 12 1， ykx2，) 所以所以 x
10、1x2，x1x2. 16k 4k23 32 4k23 从而，从而，x1x2y1y2x1x2(y12)(y22) OP OQ MP MQ 2(1k2)x1x22k(x1x2)420. 80k252 4k23 8 4k23 所以所以20. OP OQ MP MQ 52 3 当直线当直线 PQ 斜率不存在时，斜率不存在时， 易得易得 P，Q 两点的坐标为两点的坐标为(0，2)，(0，2)，33 所以所以的值为的值为20. OP OQ MP MQ 综上所述，综上所述，的取值范围为的取值范围为. OP OQ MP MQ 20，52 3 6 (2019陕西质检陕西质检)已知已知 F1， F2为椭圆为椭圆
11、E：1(ab0)的左、的左、 x2 a2 y2 b2 右焦点，点右焦点，点 P在椭圆上，且在椭圆上，且|PF1|PF2|4. (1， ，3 2) (1)求椭圆求椭圆 E 的方程；的方程； (2)过过 F1的直线的直线 l1，l2分别交椭圆分别交椭圆 E 于于 A，C 和和 B，D，且，且 l1l2， 问是否存在常数 ， 问是否存在常数 ，使得，使得，成等差数列？若存在，求出，成等差数列？若存在，求出 1 |AC| 1 |BD| 的值，若不存在，请说明理由的值，若不存在，请说明理由 解：解：(1)因为因为|PF1|PF2|4，所以，所以 2a4，a2. 所以椭圆所以椭圆 E 的方程为的方程为1.
12、 x2 4 y2 b2 将将 P代入可得代入可得 b23， (1， ，3 2) 所以椭圆所以椭圆 E 的方程为 的方程为 1. x2 4 y2 3 (2)存在 当存在 当 AC 的斜率为零或斜率不存在时， 的斜率为零或斜率不存在时， 1 |AC| 1 |BD| 1 3 ； 1 4 7 12 当当 AC 的斜率的斜率 k 存在且存在且 k0 时，时， 设设 AC 的方程为的方程为 yk(x1)， 代入椭圆方程 代入椭圆方程 1，并化简得，并化简得 x2 4 y2 3 (34k2)x28k2x4k2120. 设设 A(x1，y1)，C(x2，y2)， 则则 x1x2，x1x2， 8k2 34k2 4k212 34k2 |AC|x1x2|1k2 .（1k2）（x1x2）24x1x2 12（1k2） 34k2 同理，因为直线同理，因为直线 BD 的斜率为 ，的斜率为 ， 1 k 所以所以|BD|. 121(1 k) 2 34(1 k) 2 12（1k2） 3k24 所以所以. 1 |AC| 1 |BD| 34k2 12（1k2） 3k24 12（1k2） 7 12 综上，综上，2， 1 |AC| 1 |BD| 7 12 所以所以 . 7 24 所以存在常数所以存在常数 ，使得，使得，成等差数列，成等差数列 7 24 1 |AC| 1 |BD|