2020版高考人教A版文科数学一轮复习文档：第七章 第三节　空间点、直线、平面之间的位置关系 Word版含答案.pdf

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1、第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系 2019 考纲考题考情 1平面的基本性质 2.空间两直线的位置关系 (2)平行公理： 公理 4：平行于同一直线的两条直线互相平行空间平行 线的传递性。 (3)等角定理： 空间中如果两个角的两边分别对应平行， 那么这两个角相等 或互补。 (4)异面直线所成的角： 定义：设 a、b 是两条异面直线，经过空间任一点 O 作直 线 aa，bb，把 a与 b所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角)。 范围：。 ( 0， 2 3直线与平面的位置关系 1公理 2 的三个推论 推论1： 经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面 ； 推论 2

2、：经过两条相交直线有且只有一个平面； 推论 3：经过两条平行直线有且只有一个平面。 2异面直线判定的一个定理 过平面外一点和平面内一点的直线， 与平面内不过该点的直 线是异面直线。 3两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易 忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角， 也可能等 于其补角。 一、走进教材 1(必修 2P43练习 T1改编)下列命题中正确的是( ) A过三点确定一个平面 B四边形是平面图形 C三条直线两两相交则确定一个平面 D两个相交平面把空间分成四个区域 解析 对于 A， 过不在同一条直线上的三点有且只有一个平 面，故 A 错误 ； 对于 B，四边形也可能是空间四

3、边形，不一定是 平面图形，故 B 错误；对于 C，三条直线两两相交，可以确定一 个平面或三个平面，故 C 错误 ； 对于 D，平面是无限延展的，两 个相交平面把空间分成四个区域，故 D 正确。 答案 D 2(必修 2P49练习题)若直线 a 不平行于平面 ，且 a，则 下列结论成立的是( ) A 内的所有直线与 a 异面 B 内不存在与 a 平行的直线 C 内存在唯一的直线与 a 平行 D 内的直线与 a 都相交 解析 若直线 a 不平行于平面 ，且 a，则线面相交，A 选项不正确， 内存在直线与 a 相交；B 选项正确， 内的直线 与直线 a 的位置关系是相交或者异面，不可能平行；C 选项不

4、正 确，因为 内的直线与直线 a 的位置关系是相交或者异面，不可 能平行；D 选项不正确， 内只有过直线 a 与平面的交点的直线 与 a 相交。故选 B。 答案 B 二、走近高考 3(2018全国卷)在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为棱 CC1的中点，则异面直线 AE 与 CD 所成角的正切值为( ) A B 2 2 3 2 C D 5 2 7 2 解析 在正方体 ABCDA1B1C1D1中，CDAB，所以异面 直线 AE 与 CD 所成角为EAB，设正方体棱长为 2a，则由 E 为 棱 CC1的中点，可得 CEa，所以 BEa。又由 AB平面5 BCC1B1， 可得 ABBE， 所

5、以 tanEAB。 故选 C。 BE AB 5a 2a 5 2 答案 C 4(2016全国卷)平面 过正方体 ABCDA1B1C1D1的顶 点 A， 平面 CB1D1， 平面 ABCDm， 平面 ABB1A1n， 则 m，n 所成角的正弦值为( ) A B 3 2 2 2 C D 3 3 1 3 解析 在正方体 ABCDA1B1C1D1外依次再作两个一样的 正方体， 如图所示， 易知 AEB1D1， AFCD1， 所以平面 AEF 平面 CB1D1， 即平面 AEF 就是过点 A 的平面 ， 所以 AE 为平面 与平面 ABCD 的交线， 即为 m， AF 为平面 与平面 ABB1A1的交 线

6、，即为 n，所以 m，n 所成角即为 AE 与 AF 所成角，也是 B1D1 与 CD1所成角，为CD1B1。而CD1B1为等边三角形，因此 CD1B1 ，所以 sinCD1B1。 3 3 2 答案 A 三、走出误区 微提醒：对等角定理条件认识不清致误；缺乏空间想象 能力致误。 5若AOBA1O1B1，且 OAO1A1，OA 与 O1A1的方向 相同，则下列结论中正确的是( ) AOBO1B1且方向相同 BOBO1B1 COB 与 O1B1不平行 DOB 与 O1B1不一定平行 解析 两角相等，角的一边平行且方向相同，另一边不一定 平行，故选 D。 答案 D 6 已知直线 a 和平面 ， ，

7、l， a， a， 且 a 在 ， 内的射影分别为直线 b 和 c，则直线 b 和 c 的位置关系是( ) A相交或平行 B相交或异面 C平行或异面 D相交、平行或异面 解析 依题意，直线 b 和 c 的位置关系可能是相交、平行或 异面。故选 D。 答案 D 7如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 上， 且 ABCD，则直线 EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平 面个数为_。 解析 EF 与正方体左、右两侧面均平行。所以与 EF 相交 的平面有 4 个。 答案 4 考点一 平面的基本性质 【例 1】 在正方体 ABCDA1B1C1D1中，判断下列说法是 否正确，并说明理由。 (1)直

8、线 AC1在平面 CC1B1B 内； (2)设正方形 ABCD 与正方形 A1B1C1D1的中心分别为 O， O1， 则平面 AA1C1C 与平面 BB1D1D 的交线为 OO1； (3)由点 A，O，C 可以确定一个平面； (4)由 A，C1，B1确定的平面是 ADC1B1； (5)设直线 l 是平面 ABCD 内的直线， 直线 m 是平面 DD1C1C 内的直线，若 l 与 m 相交，则交点一定在直线 CD 上。 解 (1)错误。若 AC1平面 CC1B1B，又 BC平面 CC1B1B， 则 A平面 CC1B1B， 且 B平面 CC1B1B， 所以 AB平面 CC1B1B， 与 AB平面

9、CC1B1B 矛盾，故(1)中说法错误。 (2)正确。因为 O，O1是两平面的两个公共点，所以平面 AA1C1C 与平面 BB1D1D 的交线为 OO1。 (3)错误。因为 A，O，C 三点共线，所以不能确定一个平面。 (4)正确。因为 A，C1，B1不共线，所以 A，C1，B1三点可确 定平面 ， 又四边形 AB1C1D 为平行四边形， AC1， B1D 相交于 O2 点，而 O2，B1，所以 B1O2，又 DB1O2，所以 D。 (5)正确。 若l与m相交， 则交点是两平面的公共点， 而直线CD 为两平面的交线，所以交点一定在直线 CD 上。 1三个公理是立体几何的基础。公理 1 是确定直

10、线在平面 内的依据；公理 2 是利用点或直线确定平面的依据；公理 3 是确 定两个平面有一条交线的依据，同时也是证明多点共线、多线共 点的依据。 2证明点共线或线共点的问题，关键是转化为证明点在直 线上，也就是利用公理 3，证明点在两个平面的交线上，或者选 择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在该直线上。 【变式训练】 (1)在空间四边形 ABCD 各边 AB，BC，CD， DA 上分别取 E，F，G，H 四点，如果 EF，GH 相交于点 P，那 么( ) A点 P 必在直线 AC 上 B点 P 必在直线 BD 上 C点 P 必在平面 DBC 内 D点 P 必在平面 ABC 外 (2)如图

11、是正方体或四面体，P，Q，R，S 分别是所在棱的中 点，则这四个点不共面的一个图是( ) 解析 (1)如图，因为 EF平面 ABC，而 GH平面 ADC， 且 EF 和 GH 相交于点 P，所以 P 在两面的交线上，因为 AC 是 两平面的交线，所以点 P 必在直线 AC 上。 (2)A、B、C 图中四点一定共面，D 中四点不共面。 答案 (1)A (2)D 考点二 空间两条直线的位置关系微点小专题 方向 1：异面直线的判定 【例 2】 (2019益阳、 湘潭调研考试)下图中， G， N， M， H 分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的 中点，则表示直线 GH，MN 是异

12、面直线的图形有( ) A B C D 解析 由题意， 可知题图中， GHMN， 因此直线GH与MN 共面；题图中，G，H，N 三点共面，但 M平面 GHN，因此 直线 GH 与 MN 异面；题图中，连接 MG，则 GMHN，因此 直线 GH 与 MN 共面 ； 题图中，连接 GN，G，M，N 三点共面， 但 H平面 GMN，所以直线 GH 与 MN 异面。故选 C。 答案 C 异面直线的判定方法 1反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平 行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定 假设，肯定两条直线异面。此法在异面直线的判定中经常用到。 2定理：平面外一点 A 与平面内

13、一点 B 的连线和平面内不 经过点 B 的直线是异面直线。 方向 2：平行垂直的判定 【例 3】 如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N 分 别是 BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是( ) AMN 与 CC1垂直 BMN 与 AC 垂直 CMN 与 BD 平行 DMN 与 A1B1平行 解析 如图， 连接 C1D， 则 C1D 过点 N， 在C1DB 中， MN BD， 故 C 正确 ； 因为 CC1平面 ABCD， 所以 CC1BD， 所以 MN 与 CC1垂直，故 A 正确；因为 ACBD，MNBD，所以 MN 与 AC 垂直， 故 B 正确 ； 因为 A1B1与 BD

14、异面， MNBD， 所以 MN 与 A1B1不可能平行，故 D 错误。 答案 D 线线平行或垂直的判定方法 1 对于平行直线， 可利用三角形(梯形)中位线的性质、 公理 4 及线面平行与面面平行的性质定理来判断。 2对于线线垂直，往往利用线面垂直的定义，由线面垂直 得到线线垂直。 【题点对应练】 1(方向 1)如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N 分 别为棱 C1D1，C1C 的中点，有以下四个结论： 直线 AM 与 CC1是相交直线； 直线 AM 与 BN 是平行直线； 直线 BN 与 MB1是异面直线； 直线 AM 与 DD1是异面直线。 其中正确的结论为_(注 ： 把正确结

15、论的序号都填上)。 解析 A，M，C1三点共面，且在平面 AD1C1B 中，但 C平 面 AD1C1B，因此直线 AM 与 CC1是异面直线，同理 AM 与 BN 也是异面直线， AM 与 DD1也是异面直线 ； 错误， 正确 ； M， B，B1三点共面，且在平面 MBB1中，但 N平面 MBB1，因此直 线 BN 与 MB1是异面直线，正确。 答案 2(方向 2)若 m，n 为两条不重合的直线， 为两个不重 合的平面，则下列命题中正确的是( ) 若直线 m， n 都平行于平面 ， 则 m， n 一定不是相交直线 ； 若直线 m，n 都垂直于平面 ，则 m，n 一定是平行直线； 已知平面， 互

16、相垂直， 且直线m， n也互相垂直， 若m， 则 n； 若直线 m，n 在平面 内的射影互相垂直，则 mn。 A B C D 解析 对于， m 与 n 可能平行， 可能相交， 也可能异面， 错误；对于，由线面垂直的性质定理可知，m 与 n 一定平行， 故正确；对于，还有可能 n 或 n 与 相交，错误；对 于，把 m，n 放入正方体中，如图，取 A1B 为 m，B1C 为 n， 平面 ABCD 为平面 ，则 m 与 n 在 内的射影分别为 AB 与 BC， 且 ABBC。而 m 与 n 所成的角为 60，故错误。 答案 A 考点三 异面直线所成的角 【例 4】 如图所示， 三棱锥 PABC 中

17、， PA平面 ABC， BAC60，PAABAC2，E 是 PC 的中点。 (1)求证：AE 与 PB 是异面直线； (2)求异面直线 AE 与 PB 所成角的余弦值。 解 (1)证明 ： 假设AE与PB共面， 设平面为， 因为A， B ，E， 所以平面 即为平面 ABE， 所以 P平面 ABE，这与 P平面 ABE 矛盾， 所以 AE 与 PB 是异面直线。 (2)取 BC 的中点 F，连接 EF，AF，则 EFPB， 所以AEF(或其补角)就是异面直线 AE 与 PB 所成的角。 因为BAC60，PAABAC2， PA平面 ABC，所以 AF，AE，32 EF，cosAEF ，2 AE2E

18、F2AF2 2AEEF 223 2 2 2 1 4 故异面直线 AE 与 PB 所成角的余弦值为 。 1 4 用平移法求异面直线所成的角的 3 步骤 1一作：即据定义作平行线，作出异面直线所成的角； 2二证：即证明作出的角是异面直线所成的角或其补角。 3三求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角 或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角 才是要求的角。 【变式训练】 (1)在正三棱柱 ABCA1B1C1中，若 AB BB1，D 是 CC1的中点，则 CA1与 BD 所成角的大小是( ) A B 3 5 12 C D 2 7 12 (2)如图， E， F 分别是三棱锥 PA

19、BC 棱的 AP， BC 的中点， PC 10， AB6， EF7， 则异面直线AB与PC所成的角为_。 解析 (1)如图， 取 A1C1的中点 E， 连接 BE， DE， 则 DEA1C， 所以BDE 或其补角即为 CA1与 BD 所成的角，设为 。由几何 体 ABCA1B1C1是正三棱柱且 ABBB1，可设其棱长为 2。在 BDE 中，BD，BE，DE，由余弦定理可得 cos572 0，所以 。故选 C。 BD2DE2BE2 2BDDE 2 (2)取 AC 的中点 M， 连接 EM， MF。 因为 E， F 分别是 AP， BC 的中点， 所以 MFAB， MF AB3， MEPC， ME

20、 PC5， 1 2 1 2 所以 MF 与 ME 所成的角即为 AB 与 PC 所成的角(或其补角)。 在 三角形 MEF 中，cosEMF ，所以EMF120，所以异面 523272 2 5 3 15 30 1 2 直线 AB 与 PC 所成的角为 60。 答案 (1)C (2)60 Error!Error! 1 (配合例 1 使用)(1)如图所示， 平面 平面 l， A， B ，ABlD，C，Cl，则平面 ABC 与平面 的交线是( ) A直线 AC B直线 AB C直线 CD D直线 BC (2)给出下列四个说法： 平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点； 若平面 内的一条直线 a

21、与平面 内的一条直线 b 相交， 则 与 相交； 若一条直线和两条平行线都相交，则这三条直线共面； 若三条直线两两相交，则这三条直线共面。 其中正确说法的序号是_。 解析 (1)由题意知，Dl，l，所以 D。又 DAB， 所以 D平面 ABC，所以点 D 在平面 ABC 与平面 的交线上。 又 C平面 ABC，C，所以点 C 在平面 与平面 ABC 的交线 上，所以平面 ABC平面 直线 CD。故选 C。 (2)中说法正确， 因为直线在平面外， 即直线与平面相交或 直线平行于平面，所以最多有一个公共点 ； 中说法正确，a，b 有交点，则两平面有公共点，则两平面相交；中说法正确，两 条平行直线可

22、确定一个平面， 又直线与两条平行直线的两个交点 在这两条平行直线上，所以过这两个交点的直线也在平面内，即 三线共面；中说法错误，这三条直线可能交于同一点，但不在 同一平面内。 答案 (1)C (2) 2 (配合例 2 使用)如图所示， 在正方体 ABCDA1B1C1D1中， M，N 分别是 A1B1，B1C1的中点。 (1)AM 和 CN 是否是异面直线？说明理由。 (2)D1B 和 CC1是否是异面直线？说明理由。 解 (1)AM 和 CN 不是异面直线。 理由如下：连接 MN，A1C1，AC。 因为 M，N 分别是 A1B1，B1C1的中点，所以 MNA1C1。 又因为 A1A 綊 C1C

23、， 所以四边形 A1ACC1为平行四边形， 所以 A1C1AC，所以 MNAC， 所以 A，M，N，C 在同一平面内， 故 AM 和 CN 不是异面直线。 (2)D1B 和 CC1是异面直线。 理由如下： 因为几何体 ABCDA1B1C1D1是正方体， 所以 B，C，C1，D1不共面。 假设 D1B 与 CC1不是异面直线， 则存在平面 ，使 D1B平面 ，CC1平面 ， 所以 D1，B，C，C1， 这与 B，C，C1，D1不共面矛盾， 所以假设不成立， 即 D1B 和 CC1是异面直线。 3 (配合例 4 使用)已知ABC 与BCD 均为正三角形， 且 AB 4。若平面 ABC平面 BCD，

24、且异面直线 AB 和 CD 所成的角 为 ，则 cos( ) A B 15 4 15 4 C D 1 4 1 4 解析 过点 B 作 BECD，过 D 作 DECB 交 BE 于点 E， 则ABE是异面直线AB和CD所成角或其补角， 因为ABC与 BCD 均为正三角形，且 AB4，平面 ABC 与平面 BCD 垂直，所 以取 BC 中点 O， 连接 OD， OA， 则 ODOA， 因为 ODBC， OA BC， 所以 BC平面 OAD， 所以 BCAD， 则 ADDE。 所以 AD OD2OA2 DC 2OC2AC2OC2 164164 2，AE2，所以 cosABE6AD2DE2241610 。因为异面直线 AB 和 CD 所成的角为 ，所 161640 2 4 4 1 4 以 cos ，故选 D。 1 4 答案 D