2020版高考人教A版文科数学一轮复习文档：第八章 第五节　椭 圆 Word版含答案.pdf

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1、第五节 椭 圆 2019 考纲考题考情 1椭圆的概念 平面内与两定点 F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的 点的轨迹叫椭圆。这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫 做焦距。 集合 PM|MF1|MF2|2a， |F1F2|2c， 其中 a0， c0， 且 a，c 为常数。 (1)若 ac，则 M 点的轨迹为椭圆。 (2)若 ac，则 M 点的轨迹为线段 F1F2。 (3)若 ac，则 M 点不存在。 2椭圆的标准方程和几何性质 1椭圆方程中的 a，b，c (1)a，b，c 关系：a2b2c2。 (2)e与 ： 因为e ， 所以离心率e越大， b a c a a2b2 a 1 (

2、 b a) 2 则 越小，椭圆就越扁；离心率 e 越小，则 越大，椭圆就越圆。 b a b a 2在求焦点在 x 轴上椭圆的相关量的范围时，要注意应用 以下不等关系：axa，byb,0|F1F2| 6， 所以点P的轨迹是以F1， F2为焦点的椭圆， 其中a5， c3， b 4，故点 P 的轨迹方程为1。故选 A。a2c2 x2 25 y2 16 答案 A 2(选修 11P42A 组 T4改编)设椭圆的两个焦点分别为 F1， F2，过点 F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若F1PF2为等腰 直角三角形，则椭圆的离心率是( ) A B 2 2 21 2 C2 D122 解析 设椭圆方程为1，依题

3、意，显然有|PF2| x2 a2 y2 b2 |F1F2|，则2c，即2c，即 e22e10，又 0m20,10m(m2) 4， 所以 m4。 当焦点在 y 轴上时， m210m0， m2(10 m)4，所以 m8。所以 m4 或 8。 答案 C 7已知点 P 是椭圆 1 上 y 轴右侧的一点，且以点 P x2 5 y2 4 及焦点 F1，F2为顶点的三角形的面积等于 1，则点 P 的坐标为 _。 解析 设 P(x， y)， 由题意知 c2a2b2541， 所以 c1， 则 F1(1,0)， F2(1,0)。 由题意可得点 P 到 x 轴的距离为 1， 所以 y 1， 把 y1 代入 1， 得

4、 x， 又 x0， 所以 x， x2 5 y2 4 15 2 15 2 所以 P 点坐标为或。 ( 15 2 ，1) ( 15 2 ，1) 答案 或 ( 15 2 ，1) ( 15 2 ，1) 第 1 课时 椭圆的定义及简单几何性质 考点一 椭圆的定义及应用 【例 1】 (1)过椭圆 y21 的左焦点 F1作直线 l 交椭圆 x2 4 于 A，B 两点，F2是椭圆右焦点，则ABF2的周长为( ) A8 B4 2 C4 D2 2 (2)在平面直角坐标系 xOy 中，P 是椭圆 1 上的一个 y2 4 x2 3 动点，点 A(1,1)，B(0，1)，则|PA|PB|的最大值为( ) A5 B4 C

5、3 D2 解析 (1)因为 y21， 所以 a2。 由椭圆的定义可得|AF1| x2 4 |AF2|2a4， 且|BF1|BF2|2a4， 所以ABF2的周长为|AB| |AF2|BF2|(|AF1|AF2|)(|BF1|BF2|)4a8。故选 A。 (2)因为椭圆方程为1，所以焦点为 B(0，1)和 x2 3 y2 4 B(0,1)，连接 PB，AB，根据椭圆的定义，得|PB|PB|2a4， 可得|PB|4|PB|， 因此|PA|PB|PA|(4|PB|)4(|PA| |PB|)。因为|PA|PB|AB|，所以|PA|PB|4|AB|41 5，当且仅当 P 在 AB延长线上时，等号成立。故|

6、PA|PB|的最 大值为 5。 答案 (1)A (2)A 椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点 有关的轨迹是否为椭圆 ； 二是当 P 在椭圆上时，与椭圆的两焦点 F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形” ，利用定义可求其 周长，利用定义和余弦定理可求|PF1|PF2|，通过整体代入可求 其面积等。面积公式 SPF1F2b2tan (其中 F1PF2)。 2 【变式训练】 (1)(2019惠州调研)设 F1， F2为椭圆 x2 9 y2 5 1 的两个焦点，点 P 在椭圆上，若线段 PF1的中点在 y 轴上，则 的值为( ) |PF2| |PF1| A B 5 14 5 9

7、C D 4 9 5 13 (2)已知椭圆1 上一点 P 与椭圆的两焦点 F1，F2的 x2 49 y2 24 连线夹角为直角，则|PF1|PF2|_。 解析 (1)如图，设线段 PF1的中点为 M，因为 O 是 F1F2的 中点， 所以 OMPF2， 可得 PF2x 轴， 可求得|PF2| ， |PF1|2a 5 3 |PF2|，。故选 D。 13 3 |PF2| |PF1| 5 13 (2)依题意 a7，b2，c5，|F1F2|2c10，64924 由于PF1PF2， 所以由勾股定理得|PF1|2|PF2|2|F1F2|2， 即|PF1|2 |PF2|2100。 又由椭圆定义知|PF1|PF

8、2|2a14， 所以(|PF1| |PF2|)2 2|PF1|PF2| 100， 即 196 2|PF1|PF2| 100。 解 得 |PF1|PF2|48。 答案 (1)D (2)48 考点二 椭圆的标准方程 【例 2】 (1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴， 且经过两点，(，)，则椭圆的标准方程为_。 ( 3 2， 5 2) 35 (2)设 F1、F2为椭圆 C：1(ab0)的左、右焦点，经 x2 a2 y2 b2 过 F1的直线交椭圆 C 于 A，B 两点，若F2AB 是面积为 4的3 等边三角形，则椭圆 C 的方程为_。 解析 (1)设椭圆方程为mx2ny21(m， n0， m

9、n)。 由Error!Error! 解得 m ，n，故椭圆的标准方程为 1。 1 6 1 10 y2 10 x2 6 (2)因为F2AB 是面积为 4的等边三角形， 所以 ABx 轴，3 所以 A， B 两点的横坐标为c， 代入椭圆方程， 可求得|F1A|F1B| 。 又|F1F2|2c， F1F2A30， 所以2c 。 又SF2AB b2 a b2 a 3 3 2c4 ， a2b2c2 ， 由解得 a29， b2 1 2 2b2 a 3 6，c23，所以椭圆 C 的方程为 1。 x2 9 y2 6 答案 (1) 1 (2) 1 y2 10 x2 6 x2 9 y2 6 1求椭圆方程的基本方法

10、是待定系数法，先定位，再定量， 即首先确定焦点所在位置，然后根据条件建立关于 a，b 的方程 组。 2 如果焦点位置不确定， 可设椭圆方程为 mx2ny21(m0， n0，mn)，求出 m，n 的值即可。 3椭圆的通径(过焦点且与长轴垂直的弦)长为。 2b2 a 【变式训练】 (1)已知两圆 C1： (x4)2y2169， C2： (x 4)2y29，动圆 M 在圆 C1内部且和圆 C1相内切，和圆 C2相外 切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为( ) A1 B1 x2 64 y2 48 x2 48 y2 64 C1 D1 x2 48 y2 64 x2 64 y2 48 (2)设 F1， F2分别

11、是椭圆 E： 1(01)， 与直线l的方程联立得Error!Error!消去y得(2a21)x2 y2 a21 6a2x10a2a40，由题意易知 36a44(2a21)(10a2 a4)0，解得 a，所以 e ，所以 e 的最大值为。5 c a 1 a 5 5 5 5 故选 A。 答案 (1)C (2)A 求椭圆离心率的三种方法 1 直接求出 a， c 来求解 e。 通过已知条件列方程组， 解出 a， c 的值。 2构造 a，c 的齐次式，解出 e。由已知条件得出关于 a，c 的二元齐次方程，然后转化为关于离心率 e 的一元二次方程求 解。 3通过取特殊值或特殊位置，求出离心率。 提醒：在解

12、关于离心率 e 的二次方程时，要注意利用椭圆的 离心率 e(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根。 方向 2：最值问题 【例 4】 (2018浙江高考)已知点 P(0,1)，椭圆y2 x2 4 m(m1)上两点 A，B 满足2，则当 m_时，点 B AP PB 横坐标的绝对值最大。 解析 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 由2， 得Error!Error!即 x1 AP PB 2x2，y132y2。因为点 A，B 在椭圆上，所以Error!Error!得 y2 m 1 4 ，所以 y1，x m(32y2)2 m2 m (m 3 4 3m 2 2 2 1 4 5 2 9 4 1 4

13、 5)244，所以当 m5 时，点 B 横坐标的绝对值最大，最大值 为 2。 答案 5 与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法 1利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质，求最值 或取值范围。 2利用函数，尤其是二次函数求最值或取值范围。 3利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围。 4利用一元二次方程的根的判别式求最值或取值范围。 【题点对应练】 1 (方向 1)P 是椭圆1(ab0)上的一点， A 为左顶点， x2 a2 y2 b2 F 为右焦点，PFx 轴，若 tanPAF ，则椭圆的离心率 e 为 1 2 ( ) A B 2 3 2 2 C D 3 3 1 2 解析 如图，不妨设点

14、P 在第一象限，因为 PFx 轴，所 以xPc， 将xPc代入椭圆方程得yP， 即|PF|， 则tanPAF b2 a b2 a ，结合 b2a2c2，整理得 2c2aca20， 两边 |PF| |AF| b2 a ac 1 2 同时除以 a2得 2e2e10， 解得 e 或 e1(舍去)。 故选 D。 1 2 答案 D 2(方向 1)若椭圆上存在点 P，使得点 P 到两个焦点的距离 之比为 21，则此椭圆离心率的取值范围是( ) A B 1 4， 1 3 1 3， 1 2 C D ( 1 3，1) 1 3，1) 解析 设 P 到两个焦点的距离分别为 2k，k，根据椭圆定义 可知：3k2a，又

15、结合椭圆的性质可知，椭圆上的点到两个焦点 距离之差的最大值为 2c，即 k2c，所以 2a6c，即 e 。又 1 3 因为 0b0)。由题设知 x2 a2 y2 b2 抛物线的焦点为(0,2)，所以椭圆中 b2。因为 e ，所33 c a 1 2 以 a2c，又 a2b2c2，联立解得 c2，a4，所以椭圆 C 的 标准方程为1。 x2 16 y2 12 答案 1 x2 16 y2 12 3(配合例 3 使用)已知椭圆1(ab0)的左顶点和上 x2 a2 y2 b2 顶点分别为 A，B，左、右焦点分别是 F1，F2，在线段 AB 上有 且只有一个点 P 满足 PF1PF2， 则椭圆的离心率的平

16、方为( ) A B 3 2 3 5 2 C D 1 5 2 31 2 解析 由题意得，A(a,0)，B(0，b)，由在线段 AB 上有且 只有一个点P满足PF1PF2， 得点P是以点O为圆心， 线段F1F2 为直径的圆 x2y2c2与线段 AB 的切点， 连接 OP， 则 OPAB， 且 OPc， 即点 O 到直线 AB 的距离为 c。 又直线 AB 的方程为 y xb， 整理得bxayab0， 点O到直线AB的距离d b a ab b2a2 c，两边同时平方整理得，a2b2c2(a2b2)(a2b2)(a2b2) a4b4， 可得 b4a2b2a40， 两边同时除以 a4， 得 2 1 (

17、b2 a2) b2 a2 0，可得，则 e211 b2 a2 1 5 2 c2 a2 a2b2 a2 b2 a2 1 5 2 。故选 B。 3 5 2 答案 B 4 (配合例4使用)已知椭圆C： y21的两焦点为F1， F2， x2 2 点 P(x0， y0)满 足 0b0) x2 a2 y2 b2 的离心率为，焦距为 2。斜率为 k 的直线 l 与椭圆 M 有两个 6 3 2 不同的交点 A，B。 (1)求椭圆 M 的方程； (2)若 k1，求|AB|的最大值。 解 (1)由题意得Error!Error! 解得 a，b1。3 所以椭圆 M 的方程为 y21。 x2 3 (2)设直线 l 的方

18、程为 yxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)。 由Error!Error!得 4x26mx3m230。 4812m20m20 即 t2b0)的一 x2 a2 y2 b2 条弦所在的直线方程是 xy50，弦的中点坐标是 M(4,1)， 则椭圆的离心率是( ) A B 1 2 2 2 C D 3 2 5 5 解析 设直线 xy50 与椭圆1 相交于 A(x1， y1)， x2 a2 y2 b2 B(x2，y2)两点，因为 AB 的中点 M(4,1)，所以 x1x28，y1y22。 易知直线 AB 的斜率 k1。由Error!Error!两式相减得， y2y1 x2x1 0，所以， x 1x2

19、x 1x2 a2 y 1y2 y 1y2 b2 y1y2 x1x2 b2 a2 x1x2 y1y2 所以 ，于是椭圆的离心率 e 。故选 C。 b2 a2 1 4 c a 1b 2 a2 3 2 答案 C 弦及弦中点问题的解决方法 1根与系数的关系：直线与椭圆方程联立，消元，利用根 与系数关系表示中点。 2点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、 斜率。 【变式训练】 已知椭圆： x21，过点 P的直线 y2 9 ( 1 2， 1 2) 与椭圆相交于 A，B 两点，且弦 AB 被点 P 平分，则直线 AB 的 方程为( ) A9xy40 B9xy50 C2xy20 Dxy50 解析 设

20、 A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为 A，B 在椭圆 x21 y2 9 上， 所以Error!Error!两式相减得x x 0， 即 y2 1y2 2 9 2 12 2 y 1y2 y 1y2 9 (x1x2)(x1x2)0，又弦AB被点P平分，所以x1x21，y1y2 ( 1 2， 1 2) 1， 将其代入上式得x1x20， 即9， 即直线 AB y1y2 9 y1y2 x1x2 的斜率为9， 所以直线AB的方程为y 9，即9xy5 1 2 ( x1 2) 0。 答案 B 考点三 证明问题 【例 3】 已知 A 是椭圆 E： 1 的左顶点，斜率为 x2 4 y2 3 k(k0)的直线交

21、 E 于 A，M 两点，点 N 在 E 上，MANA。 (1)当|AM|AN|时，求AMN 的面积； (2)当 2|AM|AN|时，证明：0。 由已知及椭圆的对称性知，直线 AM 的倾斜角为 。 4 又 A(2,0)，因此直线 AM 的方程为 yx2。 将 xy2 代入 1 得 7y212y0。 x2 4 y2 3 解得 y0 或 y，所以 y1。 12 7 12 7 因此AMN 的面积 SAMN2 。 1 2 12 7 12 7 144 49 (2)证明：将直线 AM 的方程 yk(x2)(k0)代入1 x2 4 y2 3 得(34k2)x216k2x16k2120。 由 x1(2)得 x1

22、， 16k212 34k2 234k2 34k2 故|AM|x12|。1k2 12 1k2 34k2 由题设，直线 AN 的方程为 y (x2)， 1 k 故同理可得|AN|。 12k 1k2 3k24 由 2|AM|AN|得， 2 34k2 k 3k24 即 4k36k23k80。 设 f(t)4t36t23t8，则 k 是 f(t)的零点， f(t)12t212t33(2t1)20， 所以 f(t)在(0，)内单调递增。 又 f()15260，因此 f(t)在(0，)内有33 唯一的零点，且零点 k 在(，2)内，所以b0)的 x2 a2 y2 b2 左、 右焦点分别为 F1， F2， 点

23、 P在椭圆上， 且有|PF1|PF2| ( 1， 2 2 ) 2。2 (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)过 F2的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，求AOB(O 为 坐标原点)面积的最大值。 解 (1)由|PF1|PF2|2，得 2a2，所以 a。222 将 P代入 1，得 b21。 ( 1， 2 2 ) x2 2 y2 b2 所以椭圆 C 的标准方程为 y21。 x2 2 (2)由已知，直线 l 的斜率为零时，不合题意， 设直线 l 的方程为 x1my，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立，得Error!Error!消去 x 化简整理得(m22)y22my10， 由根与系数

24、的关系，得Error!Error! SAOB |OF2|y1y2| 1 2 1 2 y 1y224y1y2 1 2 ( 2m m22) 24 ( 1 m22) 2 m21 m44m24 2 m21 m 2 1 22m211 2 1 m21 1 m212 2 1 2 m21 1 m212 ， 2 2 当且仅当 m21，即 m0 时，等号成立， 1 m21 所以AOB 面积的最大值为。 2 2 圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上 主要有两种方法：一是几何法，即利用圆锥曲线的定义、几何性 质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是代数法，即把 要求最值的代数表达式表示为某个(些)

25、参数的函数，然后利用导 数、不等式等进行求解。 【变式训练】 (2019长春质监)已知椭圆 C 的两个焦点为 F1(1,0)，F2(1,0)，且经过点 E。 ( 3， 3 2 ) (1)求椭圆 C 的方程； (2)过点 F1的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点(点 A 位于 x 轴 上方)， 若， 且 2b0)， x2 a2 y2 b2 由Error!Error!解得Error!Error! 所以椭圆 C 的方程为 1。 x2 4 y2 3 (2)由题意得直线 l 的方程为 yk(x1)(k0)， 联立方程，得Error!Error! 整理得y2 y90， ( 3 k24) 6 k 14

26、40， 144 k2 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 y1y2，y1y2， 6k 34k2 9k2 34k2 又，所以 y1y2， AF1 F1B 所以 y1y2(y1y2)2， 12 则， 2， 12 4 34k2 1 4 34k2 因为 20，解得 0b0)的右焦点 x2 a2 y2 b2 F(1,0)，椭圆 的左、右顶点分别为 M，N。过点 F 的直线 l 与 椭圆交于 C， D 两点， 且MCD 的面积是NCD 的面积的 3 倍。 (1)求椭圆 的方程； (2)若 CD 与 x 轴垂直，A，B 是椭圆 上位于直线 CD 两侧 的动点，且满足ACDBCD，试问直线 AB 的

27、斜率是否为定 值，请说明理由。 解 (1)因为MCD 的面积是NCD 的面积的 3 倍， 所以|MF|3|NF|，即 ac3(ac)，所以 a2c2。 又 a2b2c2，所以 b23。 故椭圆 的方程为 1。 x2 4 y2 3 (2)当ACDBCD 时，kACkBC0。 设直线 AC 的斜率为 k，则直线 BC 的斜率为k， 不妨设点 C 在 x 轴上方，C， ( 1，3 2) 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则直线 AC 的方程为 y k(x1)， 3 2 代入 1 中整理， x2 4 y2 3 得(34k2)x24k(2k3)x4k212k30， 1x1。 4k2k3 34k2

28、 同理 1x2。 4k2k3 34k2 所以 x1x2，x1x2， 8k26 34k2 24k 34k2 则 kAB ， y1y2 x1x2 kx1x22k x1x2 1 2 因此直线 AB 的斜率是定值 。 1 2 2(配合例 4 使用)已知点 M 是圆 E： (x)2y216 上的3 动点，点 F(，0)，线段 MF 的垂直平分线交线段 EM 于点 P。3 (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程； (2)矩形 ABCD 的边所在直线与轨迹 C 均相切， 设矩形 ABCD 的面积为 S，求 S 的取值范围。 解 (1)依题意，得|PM|PF|， 所以|PE|PF|PE|PM|ME|4(为定值)

29、，|EF|2，3 42， 所以点P的轨迹是以 E， F为焦点的椭圆， 其中2a4,2c3 2，3 所以 P 点的轨迹 C 的方程是 y21。 x2 4 (2)当矩形的边与坐标轴垂直或平行时，易得 S8。 当矩形的边均不与坐标轴垂直或平行时， 其四边所在直线 的斜率存在且不为 0， 设直线 AB 的方程为 yk1xm， 直线 BC 的方程为 yk2x n， 则直线 CD 的方程为 yk1xm， 直线 AD 的方程为 yk2xn， 其中 k1k21， 直线 AB 与 CD 间的距离 d1， |mm| 1k2 1 2|m| 1k2 1 同理直线 BC 与 AD 间的距离 d2， |nn| 1k2 2

30、 2|n| 1k2 2 所以 Sd1d2。 2|m| 1k2 1 2|n| 1k2 2 由Error!Error!得x22k1mxm210。 ( 1 4k 2 1 ) 因为直线 AB 与椭圆相切，所以 4k 1m20， 2 1 所以|m|，同理|n|， 4k2 114k2 21 所以 S4 4k 2 11 4k2 21 1k2 1 1k2 2 4 16k 2 1k2 24k2 1k2 21 k2 1k2 2k2 1k2 21 4 174k 2 1k2 2 2k2 1k2 2 4 9 2k2 1k2 24 4， 9 2 ( k2 1 1 k2 1) 4 因为 k 2(当且仅当 k11 时，不等式取等号)， 2 1 1 k2 1 所以 4S4，即 8S10。4 9 224 由可知，8S10。