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1、第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第一节 平面向量的概念及其线性运算第一节 平面向量的概念及其线性运算 2019 考纲考题考情 1向量的有关概念 名称定义备注 向量 既有大小又有方向的量；向量的大 小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量 零向量长度为零的向量，其方向是任意的 记作 0 单位向量长度等于 1 个单位的向量 非零向量 a 的单位向量为 a |a| 平行向量方向相同或相反的非零向量 共线向量 方向相同或相反的非零向量，又叫 做共线向量 0 与任一向量平行或共线 相等向量长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等， 不 能比较大小 相反向量长度相等且方向相反的向量0
2、 的相反向量为 0 2.向量的线性运算 向量 运算 定义 法则 (或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运 算 三角形法则 平行四边形法则 (1)交换律： abba。 (2)结合律： (ab)ca (bc)。 减法 求 a 与 b 的相反向 量b 的和的运算 叫做 a 与 b 的差 三角形法则 aba(b) 数乘 求实数 与向量 a 的积的运算 (1)|a|a|； (2)当0时， a的方向与a 的方向相同 ； 当 0 时，a 与 b 同向； (2)当 0， n0)， 则 m2n 的最小值为( ) AM AB AN AC A3 B4 C D 8 3 10 3 解析 因为2， 所以2()， 所
3、以 BP PC AP AB AC AP AP ，又因为m，n，所以 1 3AB 2 3AC AM AB AN AC AP 1 3mAM 2 3n 。 因为 M， P， N 三点共线， 所以1， 所以 m2n(m AN 1 3m 2 3n 2n) 2 3，当且 ( 1 3m 2 3n) 1 3 4 3 2 3( n m m n) 5 3 2 3 n m m n 5 3 4 3 仅当Error!Error!即 mn1 时等号成立。所以 m2n 的最小值为 3。 故选 A。 答案 A Error!Error! 1 (配合例2使用)已知P为ABC所在平面内一点， AB PB 0，|2，则ABC 的面积
4、等于( ) PC AB PB PC A B2 33 C3 D433 解析 由|得，PBC 是等腰三角形，取 BC 的中 PB PC 点为 D， 则 PDBC， 又0， 所以() AB PB PC AB PB PC 2， 所以 PD AB1， 且 PDAB， 故 ABBC， 即ABC PD 1 2 是直角三角形，由|2，PD1 可得|，则|2， PB BD 3BC 3 所以ABC 的面积为 222。故选 B。 1 2 33 答案 B 2(配合例 3 使用)如图所示，BAC，圆 M 与 AB，AC 2 3 分别相切于点 D，E，AD1，点 P 是圆 M 内任意一点(含边界)， 且xy(x，yR)，
5、则 xy 的取值范围为( ) AP AD AE A1,42 B42，42333 C1,22 D2，2333 解析 连接 AM 并延长，线段 AM 及其延长线分别交圆 M 于 Q，T 两点，连接 DE，与 AM 交于点 R，显然， AR 1 2AD 1 2AE 此时 xy1。 由于 ADAE1， BAC， 所以 AM2， DM 2 3 。 因为点 P 是圆 M 内任意一点(含边界)， 所以 2AP233 ，且当A，P，M三点共线时xy取得最值。当P位于Q点时，AQ23 ， AR ， 则(42)(2)(23 1 2 AQ 2 3 1 2 AR 3 AR 3 AD 3 )，此时 xy 取得最小值 4
6、2；同理可得，当点 P 位于 T AE 3 点时，(2)(2)， 此时 xy 取得最大值 42 AT 3 AD 3 AE 。故选 B。3 答案 B 3(配合例 4 使用)已知 O 为ABC 内一点，且 ( AO 1 2 OB )，t，若 B，O，D 三点共线，则 t( ) OC AD AC A B 1 4 1 3 C D 1 2 2 3 解析 设 E 是 BC 边的中点， 则 ()。 由题意得 1 2 OB OC OE ， 所以 ()， 又因为B， O， AO OE AO 1 2AE 1 4 AB AC 1 4AB 1 4tAD D 三点共线，所以 1，解得 t 。故选 B。 1 4 1 4t
7、 1 3 答案 B 共线定理的推广 共线定理：已知，为平面内两个不共线的向量，设 PA PB PC xy，则 A，B，C 三点共线的充要条件为 xy1。 PA PB 推广形式 ： 如图所示， 直线 DEAB， C 为直线 DE 上任一点， 设xy(x，yR)。 PC PA PB 当直线 DE 不过点 P 时，直线 PC 与直线 AB 的交点记为 F， 因为点 F 在直线 AB 上， 所以由三点共线结论可知， 若 PF PA (，R)，则 1。由PAB 与PED 相似，知必存在 PB 一个常数 mR，使得m，则mmm。 PC PF PC PF PA PB 又xy(x，yR)， PC PA PB
8、所以 xymmm。 以上过程可逆。 因此得到结论：xy， PC PA PB 则 xym(定值)，反之亦成立。 【典例 1】 如图，在正六边形 ABCDEF 中，P 是CDE 内(包括边界)的动点，设(，R)，则 的 AP AB AF 取值范围是_。 【解析】 当 P 在CDE 内时，直线 EC 是最近的平行线， 过 D 点的平行线是最远的，所以 3,4。 AN AM， AD AM 【答案】 3,4 【典例 2】 如图所示， A， B， C 是圆 O 上的三点， 线段 CO 的延长线与 BA 的延长线交于圆 O 外的一点 D，若mn OC OA ，则 mn 的取值范围是_。 OB 【解析】 由点
9、 D 是圆 O 外的一点，可设(1)， BD BA 则(1)。因为 C、O、D OD OB BD OB BA OA OB 三点共线， 令(1)。 所以(1， OD OC OC OA 1 OB 1)。 因为mn， 所以 m ， n， 所以 mn OC OA OB 1 (1,0)。 1 1 【答案】 (1,0) 【变式训练】 如图， 在扇形 OAB 中， AOB ， C 为弧 AB 3 上的动点， 若xy， 则 x3y 的取值范围是_。 OC OA OB 解析 x3y，如图，作，则 OC OA ( OB 3 ) OB OB 3 考虑以向量，为基底。 显然， 当C在A点时， 经过m OA OB 1 的平行线，当 C 在 B 点时，经过 m3 的平行线，这两条线分 别是最近与最远的平行线，所以 x3y 的取值范围是1,3。 答案 答案 1,3