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1、第二节 排列与组合 2019 考纲考题考情 1排列与组合的概念 名称定义 排列 按照一定的顺序 排成一列 组合 从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素 合成一组 2.排列数与组合数 (1)排列数的定义：从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的 所有不同排列的个数叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排 列数，用 A 表示。 m n (2)组合数的定义：从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的 所有不同组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的 组合数，用 C 表示。 m n (3)全排列 ： 把 n 个不同元素全部取出来按照一定的顺序排列 起来，叫做 n 个不同元素
2、的全排列。用 A 表示 n 个不同元素的 n n 全排列数。 3排列数、组合数的公式及性质 公式 (1)A n(n1)(n2)(nm1) m n n！ nm！ (2)C m n Am n Am m nn1n2nm1 m！ n！ m！nm！ 性质 (1)0！1；A n! n n (2)C C；CCmnC m nnmnmn1m1n 1排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序” 。取出 元素后交换顺序，如果与顺序有关，则是排列 ； 如果与顺序无关， 则是组合。 2排列、组合问题的求解方法与技巧 特殊元素优先安排；合理分类与准确分步；排列、组 合混合问题要先选后排；相邻问题捆绑处理；不相邻问题插 空
3、处理；定序问题倍缩法处理；分排问题直排处理；“小 集团”排列问题先整体后局部；构造模型；正难则反，等价 转化。 一、走进教材 1(选修 23P10例 4 改编)用数字 1,2,3,4,5 组成无重复数字 的四位数，其中偶数的个数为( ) A8 B24 C48 D120 解析 末位数字排法有 A 种， 其他位置排法有 A 种， 共有 A 1 23 4 A 48(种)排法，所以偶数的个数为 48。故选 C。 1 23 4 答案 C 2(选修 23P28A 组 T17改编)从 4 名男同学和 3 名女同学 中选出 3 名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是( ) A18 B24 C30 D36 解
4、析 选出的 3 人中有 2 名男同学 1 名女同学的方法有 C C 2 4 18种， 选出的3人中有1名男同学2名女同学的方法有C C 1 31 42 3 12 种，故 3 名学生中男女生都有的选法有 C C C C 30 种。 2 41 31 42 3 故选 C。 解析：从 7 名同学中任选 3 名的方法数，再除去所选 3 名同 学全是男生或全是女生的方法数，即 C C C 30。故选 C。 3 73 43 3 答案 C 二、走近高考 3(2017全国卷)安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至 少完成 1 项， 每项工作由 1 人完成， 则不同的安排方式共有( ) A12 种 B18 种
5、 C24 种 D36 种 解析 4211， 由题意， 3 名志愿者中， 有两人各完成 1 项，一人完成 2 项，先将 4 项工作分成三堆，共种分组方 C2 4C1 2C1 1 A2 2 法，再把这三堆分配给 3 名志愿者，共 A 种分配方法，由分步 3 3 乘法计数原理，共A 36 种。故选 D。 C2 4C1 2C1 1 A2 2 3 3 答案 D 4(2018浙江高考)从 1,3,5,7,9 中任取 2 个数字，从 0,2,4,6 中任取 2 个数字， 一共可以组成_个没有重复数字的四位 数。(用数字作答) 解析 若取的 4 个数字不包括 0，则可以组成的四位数的个 数为 C C A ；
6、若取的 4 个数字包括 0，则可以组成的四位数的个 2 52 34 4 数为 C C C A 。综上，一共可以组成的没有重复数字的四位数 2 51 31 33 3 的个数为 C C A C C C A 7205401 260。 2 52 34 42 51 31 33 3 答案 1 260 三、走出误区 微提醒：分类不清导致出错；相邻元素看成一个整体， 不相邻问题采用插空法是解决相邻与不相邻问题的基本方法。 5从 6 台原装计算机和 5 台组装计算机中任意选取 5 台， 其中至少有原装计算机和组装计算机各 2 台，则不同的取法有 _种。 解析 分两类：第一类，取 2 台原装计算机与 3 台组装计
7、算 机，有 C C 种方法；第二类，取 3 台原装计算机与 2 台组装计 2 63 5 算机， 有 C C 种方法。 所以满足条件的不同取法有 C C C C 3 62 52 63 53 62 5 350(种)。 答案 350 6把 5 件不同产品摆成一排，若产品 A 与产品 B 相邻，且 产品 A 与产品 C 不相邻，则不同的摆法有_种。 解析 设这 5 件不同的产品分别为 A，B，C，D，E，先把 产品 A 与产品 B 捆绑有 A 种摆法，再与产品 D，E 全排列有 A 2 2 种摆法，最后把产品 C 插空有 C 种摆法，所以共有 A A C 3 31 32 23 31 3 36(种)不同
8、摆法。 答案 36 考点一 简单的排列问题 【例 1】 有 3 名男生、4 名女生，在下列不同条件下，求 不同的排列方法总数。 (1)选 5 人排成一排； (2)排成前后两排，前排 3 人，后排 4 人； (3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾； (4)全体排成一排，女生必须站在一起； (5)全体排成一排，男生互不相邻。 解 (1)从 7 人中选 5 人排列，有 A 765432 5 7 520(种)。 (2)分两步完成，先选 3 人站前排，有 A 种方法，余下 4 人 3 7 站后排，有 A 种方法，共有 A A 5 040(种)。 4 43 74 4 (3)(特殊元素优先法)先排甲，有
9、5 种方法，其余 6 人有 A 6 6 种排列方法，共有 5A 3 600(种)。 6 6 解 ： (特殊位置优先法)首尾位置可安排另6 人中的两人， 有 A 种排法，其他有 A 种排法，共有 A A 3 600(种)。 2 65 52 65 5 (4)(捆绑法)将女生看作一个整体与 3 名男生一起全排列， 有 A 种方法， 再将女生全排列， 有 A 种方法， 共有 A A 576(种)。 4 44 44 44 4 (5)(插空法)先排女生， 有 A 种方法， 再在女生之间及首尾 5 4 4 个空位中任选 3 个空位安排男生，有 A 种方法，共有 A A 1 3 54 43 5 440(种)。
10、 求解排列应用问题的 5 种主要方法 直接法把符合条件的排列数直接列式计算 优先法优先安排特殊元素或特殊位置 捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列， 同时注意 捆绑元素的内部排列 插空法 对不相邻问题， 先考虑不受限制的元素的排列， 再将不相 邻的元素插在前面元素排列的空当中 间接法正难则反、等价转化的方法 【变式训练】 (1)某国际会议结束后，中、美、俄等 21 国 领导人合影留念，他们站成两排，前排 11 人，后排 10 人，中国 领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导人也站前排并与中 国领导人相邻，如果对其他国家领导人所站位置不做要求，那么 不同的站法共有( ) AA种 B
11、A种 18182020 CA A A种 DA A种 2 33 1810102 21818 (2)甲、乙两人要在一排 8 个空座上就坐，若要求甲、乙两人 每人的两旁都有空座，则不同的坐法有( ) A10 种 B16 种 C20 种 D24 种 解析 (1)中国领导人站在前排正中间位置， 美、 俄两国领导 人站前排并与中国领导人相邻，有 A 种站法；其他 18 国领导人 2 2 可以任意站，因此有 A种站法。根据分步计数原理，共有 A A 18182 2 种站法。故选 D。 1818 (2)一排共有 8 个座位，现有两人就坐，故有 6 个空座。因为 要求每人左右均有空座， 所以在 6 个空座的中间
12、 5 个空中插入 2 个座位让两人就坐，即有 A 20 种坐法。 2 5 答案 (1)D (2)C 考点二 组合问题 【例 2】 (1)(2018全国卷)从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女生入选，则不同的选法共有 _种。(用数字作答) (2)(2019西安模拟)共享单车是指企业与政府合作， 在公共服 务区等地方提供自行车单车共享服务。 现从 6 辆黄色共享单车和 4 辆蓝色共享单车中任取 4 辆进行检查，则至少有两辆蓝色共享 单车的取法种数是_。 解析 (1)根据题意，没有女生入选有 C 4(种)选法，从 6 3 4 名学生中任意选 3 人有 C 20(种)
13、选法， 故至少有 1 位女生入选， 3 6 不同的选法共有 20416(种)。 解析：可分两种情况：第一种情况，只有 1 位女生入选，不 同的选法有 C C 12(种)； 第二种情况，有 2 位女生入选，不同 1 22 4 的选法有 C C 4(种)。根据分类加法计数原理知，至少有 1 位 2 21 4 女生入选的不同的选法有 16 种。 (2)分三种情况讨论 ： 两辆蓝色共享单车，有 C C 90 种， 2 42 6 三辆蓝色共享单车，有 C C 24 种，四辆蓝色共享单车， 3 41 6 有 C 1 种。根据分类加法计数原理可得，至少有两辆蓝色共享 4 4 单车的取法种数是 9024111
14、5。 答案 (1)16 (2)115 “至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题目 必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重 复与漏解。用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复 杂时，用间接法求解。 【变式训练】 (1)(2019开封高三定位考试)某地实行高考 改革，考生除参加语文、数学、英语统一考试外，还需从物理、 化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科。学生甲要想报 考某高校的法学专业，就必须要从物理、政治、历史三科中至少 选考一科，则学生甲的选考方法种数为( ) A6 B12 C18 D19 (2)现有 12 张不同的扑克牌，其中红桃、方片、黑桃、梅花
15、各 3 张，现从中任取 3 张，要求这 3 张牌不能是同一种且黑桃至 多一张，则不同的取法种数为_。 解析 (1)在物理、 政治、 历史中选一科的选法有 C C 9 种 ； 1 32 3 在物理、政治、历史中选两科的选法有 C C 9 种 ； 物理、政治、 2 31 3 历史三科都选的选法有 1 种。 所以学生甲的选考方法共有 99 119 种。故选 D。 解析：从六科中选考三科的选法有 C 种，其中包括了没选 3 6 物理、政治、历史中任意一科，这种选法有 1 种，因此学生甲的 选考方法共有 C 119 种，故选 D。 3 6 (2)分类完成，含有一张黑桃的不同取法有 C C 108(种)，
16、 1 32 9 不含黑桃时， 有 C 3C 81(种)不同的取法。 故共有 10881 3 93 3 189 种不同的取法。 答案 (1)D (2)189 考点三 排列与组合的综合应用微点小专题 方向 1：排列与组合应用题 【例 3】 (1)将标号为 1,2,3,4 的四个篮球分给三位小朋友， 每位小朋友至少分到一个篮球，且标号 1,2 的两个篮球不能分给 同一个小朋友，则不同的分法种数为( ) A15 B20 C30 D42 (2)从 0,2 中选一个数字，从 1,3,5 中选两个数字，组成无重 复数字的三位数，其中奇数的个数为( ) A24 B18 C12 D6 解析 (1)四个篮球中两个
17、分到一组有 C 种分法，三个篮球 2 4 进行全排列有 A 种分法，标号 1,2 的两个篮球分给同一个小朋 3 3 友有 A 种分法，所以有 C A A 36630 种分法。 3 32 43 33 3 (2)从 0,2 中选一个数字 0， 则 0 只能排在十位， 从 1,3,5 中选 两个数字排在个位与百位， 共有 A 6 种 ； 从 0,2 中选一个数字 2， 2 3 则 2 排在十位(或百位)， 从 1,3,5 中选两个数字排在百位(或十位)、 个位，共有 A A 12 种，故共有 A A A 18 种。故选 B。 1 22 32 31 22 3 答案 (1)C (2)B 解排列组合问题常
18、以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元 素(或位置)， 再考虑其他元素(或位置)。 对于排列组合的综合题目， 一般是将符合要求的元素取出或进行分组， 再对取出的元素或分 好的组进行排列。 方向 2：定序问题 【例 4】 某学校举行校庆文艺晚会，已知节目单中共有七 个节目，为了活跃现场气氛，主办方特地邀请了三位老校友演唱 经典歌曲，并要将这三个不同节目添入节目单，而不改变原来的 节目顺序，则不同的安排方式有_种。 解析 添入三个节目后共十个节目， 故该题可转化为安排十 个节目，其中七个节目顺序固定。这七个节目的不同安排方法共 有 A 种，添加三个节目后，节目单中共有十个节目，先将这十 7 7 个
19、节目进行全排列，不同的排列方法有 A种，而原先七个节目 1010 的顺序一定，故不同的安排方式共有720(种)。 A10 10 A7 7 解析：将 10 个节目看作 10 个元素排列位置。在 10 个位置 中选 7 个按一定顺序排列，有 C种排法，其余 3 个位置进行全 7 10 排列，有 A 种排法，所以共有 C A 720(种)。 3 37 103 3 答案 720 定序问题可用直接法，也可用间接法。 方向 3：分组分配问题 【例 5】 数学活动小组由 12 名同学组成，现将这 12 名同 学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课 题，并要求每组选出 1 名组长，则不同的分配
20、方案有( ) A.A 种 BC C C 34种 C 3 12C3 9C3 6 A3 3 4 43 123 93 6 C.43种 DC C C 43种 C 3 12C3 9C3 6 A4 4 3 123 93 6 解析 首先将 12 名同学平均分成四组，有种分法， C 3 12C3 9C3 6 A4 4 然后将这四组同学分配到四个不同的课题组，有 A 种分法，并 4 4 在各组中选出 1 名组长，有 34种选法，根据分步乘法计数原理， 满足条件的不同分配方案有A 34C C C 34(种)。故选 C 3 12C3 9C3 6 A4 4 4 43 123 93 6 B。 解析：根据题意可知，第一组
21、分 3 名同学有 C种分法，第 3 12 二组分 3 名同学有 C 种分法，第三组分 3 名同学有 C 种分法， 3 93 6 第四组分 3 名同学有 C 种分法。 第一组选 1 名组长有 3 种选法， 3 3 第二组选 1 名组长有 3 种选法，第三组选 1 名组长有 3 种选法， 第四组选 1 名组长有 3 种选法。根据分步乘法计数原理可知，满 足条件的不同分配方案有 C C C C 34种。故选 B。 3 123 93 63 3 答案 B 1平均分配给不同小组的分法种数等于平均分堆的分法种 数乘堆数的全排列。 2对于分堆与分配问题应注意三点：(1)处理分配问题要注 意先分堆再分配；(2)
22、被分配的元素是不同的；(3)分堆时要注意 是否均匀。 【题点对应练】 1 (方向 1)甲、 乙、 丙、 丁四位同学高考之后计划去 A、 B、 C 三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至 少一人。其中甲必须去 A 社区，乙不去 B 社区，则不同的安排 方法种数为( ) A8 B7 C6 D5 解析 根据题意， 分 2 种情况讨论 ： 乙和甲一起去 A 社区， 此时将丙丁二人安排到 B、C 社区即可，有 A 2 种情况，乙 2 2 不去 A 社区，则乙必须去 C 社区，若丙丁都去 B 社区，有 1 种 情况，若丙丁中有 1 人去 B 社区，则先在丙丁中选出 1 人，安排 到 B
23、社区，剩下 1 人安排到 A 或 C 社区，有 224 种情况， 则不同的安排方法种数有 2147 种。故选 B。 答案 B 2(方向 2)我国的第一艘航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机 起降飞行训练中，有 5 架“歼15”飞机准备着舰，规定乙机不 能最先着舰，且丙机必须在甲机之前着舰(不一定相邻)，那么不 同的着舰方法种数为( ) A24 B36 C48 D96 解析 根据题意，分 2 种情况讨论：丙机最先着舰，此时 只需将剩下的 4 架飞机全排列，有 A 24 种情况，即此时有 24 4 4 种不同的着舰方法：丙机不最先着舰，此时需要在除甲、乙、 丙之外的 2 架飞机中任选 1 架， 作为最先
24、着舰的飞机， 将剩下的 4 架飞机全排列，丙机在甲机之前和丙机在甲机之后的数目相同， 则此时有 C A 24 种情况，即此时有 24 种不同的着舰方法。 1 2 1 24 4 则一共有 242448 种不同的着舰方法。故选 C。 答案 C 3(方向 3)6 位机关干部被选调到 4 个贫困自然村进行精准 扶贫，要求每位机关干部只能参加一个自然村的扶贫工作，且每 个自然村至少有 1 位机关干部扶贫，则不同的分配方案有 _种。 解析 先将 6 位机关干部分成四组，有(1,1,1,3)和(1,1,2,2)两 种情况，所以不同的分配方案共有A 65241 ( C3 6C 2 6C2 4 2 ) 4 4
25、560(种)。 答案 1 560 分组分配问题中的易错点 分组问题是同学们学习中的难点问题，在考试中不容易得 分，在解题过程中容易掉入陷阱，本文结合一些典型问题谈谈如 何避免掉进分组问题中的陷阱。 解决这类问题的一个基本指导思想是先分组后分配。 关于分 组问题， 有整体均分、 部分均分和不等分组三种， 无论分成几组， 应注意的是只要有一些组中元素的个数相等，就存在均分现象。 一、整体均分问题 【典例 1】 国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重 点师范大学免费培养教育专业师范生， 毕业后要分到相应的地区 任教， 现有 6 个免费培养的教育专业师范毕业生， 将其平均分到 3 所学校去任教，有_
26、种不同的分配方法。 【解析】 先把6个毕业生平均分成3组， 有种方法， C2 6C2 4C2 2 A3 3 再将 3 组毕业生分到 3 所学校，有 A 6 种方法，故 6 个毕业生 3 3 平均分到 3 所学校，共有A 90 种分配方法。 C2 6C2 4C2 2 A3 3 3 3 【答案】 90 【易错提醒】 对于整体均分，解题时要注意分组后，不管 它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以 A (n n n 为均分的组数)，避免重复计数。 二、部分均分问题 【典例 2】 将并排的有不同编号的 5 个房间安排给 5 个工 作人员临时休息，假定每个人可以选择任一房间，且选择各个房 间是
27、等可能的， 则恰有 2 个房间无人选择且这 2 个房间不相邻的 安排方式的种数为_。 【解析】 先将 5 人分成三组(1,1,3 或 2,2,1 两种形式)，再 将这三组人安排到3个房间， 然后将2个房间插入前面住了人的3 个房间形成的空档中即可，故安排方式共有 A C 900 种。 ( C1 5C1 4C3 3 A2 2 C 2 5C2 3C1 1 A2 2 ) 3 32 4 【答案】 900 【易错提醒】 本题属于部分均分， 解题时注意重复的次数 是均匀分组的阶乘数，即若有 m 组元素个数相等，则分组时应 除以 m！， 一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个 这样的全排列数。 三、
28、不等分组问题 【典例 3】 将 6 本不同的书分给甲、乙、丙 3 名学生，其 中一人得 1 本，一人得 2 本，一人得 3 本，则有_种不同 的分法。 【解析】 先把书分成三组，把这三组分给甲、乙、丙 3 名 学生。先选 1 本，有 C 种选法 ； 再从余下的 5 本中选 2 本，有 C 1 6 种选法 ； 最后余下 3 本全选， 有 C 种选法。 故共有 C C C 60 2 53 31 62 53 3 种选法。由于甲、乙、丙是不同的 3 人，还应考虑再分配，故共 有 60A 360 种分配方法。 3 3 【答案】 360 【易错提醒】 对于不等分组，只需先分组，后排列，注意 分组时，任何组
29、中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列 数。 总之，在解答分组问题时，一定要注意均匀分组与不均匀分 组的区别，均匀分组不要重复计数。对于平均分组问题更要注意 顺序，避免计数的重复或遗漏，抓住了以上关键点，就能避免掉 进陷阱。 【变式训练】 某学校派出 5 名优秀教师去边远地区的三 所中学进行教学交流，每所中学至少派 1 名教师，则有_ 种不同的分配方法。 解析 有两类情况：其中一所学校 3 名教师，另两所学校 各 1 名教师的分法有 C A 60 种；其中一所学校 1 名教师， 3 53 3 另两所学校各2 名教师的分法有A 90 种。 所以共有150 C1 5C2 4C2 2 A2 2 3 3 种分配方法。 答案 150