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1、- 1 - 课后限时集训(五十七) 排列与组合课后限时集训(五十七) 排列与组合 (建议用时：40 分钟) A 组 基础达标 一、选择题 1从集合0,1,2,3,4,5,6中任取两个互不相等的数a，b组成复数abi，其中虚数的个数 是( ) A30 B42 C36 D35 C 因为abi 为虚数，所以b0，即b有 6 种取法，a有 6 种取法，由分步乘法计数原理 知可以组成 6636 个虚数 2高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践，但去何工厂可自由选择，甲 工厂必须有班级要去，则不同的分配方案有( ) A16 种 B18 种 C37 种 D48 种 C 三个班去四个工厂不同的分
2、配方案共 43种，甲工厂没有班级去的分配方案共 33种，因此 满足条件的不同的分配方案共有 433337 种故选 C. 3已知两条异面直线a，b上分别有 5 个点和 8 个点，则这 13 个点可以确定不同的平面个数 为( ) A40 B16 C13 D10 C 分两类情况 ： 第 1 类，直线a分别与直线b上的 8 个点可以确定 8 个不同的平面 ； 第 2 类， 直线b分别与直线a上的 5 个点可以确定 5 个不同的平面根据分类加法计数原理知，共可 以确定 8513 个不同的平面 4.一个旅游景区的游览线路如图所示，某人从P点处进，Q点处出，沿图中 线路游览A，B，C三个景点及沿途风景，则不
3、重复(除交汇点O外)的游览线 路有( ) A6 种 B8 种 C12 种 D48 种 D 从点P处进入后， 参观第一个景点时， 有 6 个路口可以选择， 从中任选一个， 有 C 种选法， 1 6 参观完第一个景点，参观第二个景点时，有 4 个路口可以选择，从中任选一个，有 C 种选法， 1 4 参观完第二个景点，参观第三个景点时，有 2 个路口可以选择，从中任选一个，有 C 种选法， 1 2 则共有 C C C 48(种)线路故选 D. 1 6 1 4 1 2 5某地实行高考改革，考生除参加语文、数学、英语统一考试外，还需从物理、化学、生物、 政治、历史、地理六科中选考三科学生甲要想报考某高校
4、的法学专业，就必须要从物理、 政治、历史三科中至少选考一科，则学生甲的选考方法种数为( ) A6 B12 C18 D19 - 2 - D 在物理、政治、历史中选一科的选法有 C C 9(种)；在物理、政治、历史中选两科的选 1 3 2 3 法有C C 9(种)； 物理、政治、历史三科都选的选法有1种所以学生甲的选考方法共有991 2 3 1 3 19(种)，故选 D. 6(2018南昌一模)某校毕业典礼上有 6 个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要 求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起则该校毕业典礼节目演出顺序的 编排方案共有( ) A120 种 B156 种 C188
5、种 D240 种 A 法一 ： 记演出顺序为 16 号，对丙、丁的排序进行分类，丙、丁占 1 和 2 号，2 和 3 号，3 和 4 号，4 和 5 号，5 和 6 号，其排法种数分别为 A A ，A A ，C A A ，C A A ，C A A ，故总编 2 2 3 32 2 3 31 2 2 2 3 31 3 2 2 3 31 3 2 2 3 3 排方案有 A A A A C A A C A A C A A 120(种) 2 2 3 32 2 3 31 2 2 2 3 31 3 2 2 3 31 3 2 2 3 3 法二：记演出顺序为 16 号，按甲的编排进行分类，当甲在 1 号位置时，丙
6、、丁相邻的情 况有 4 种，则有 C A A 48(种)； 当甲在 2 号位置时，丙、丁相邻的情况有 3 种，共有 C A A 1 4 2 2 3 31 3 2 2 36(种)；当甲在 3 号位置时，丙、丁相邻的情况有 3 种，共有 C A A 36(种)所以编 3 31 3 2 2 3 3 排方案共有 483636120(种) 7(2019长沙模拟)三对夫妻站成一排照相，则仅有一对夫妻相邻的站法总数是( ) A72 B144 C240 D288 D 第一类：选一对夫妻相邻捆绑，插入第二对夫妻中间，最后一对夫妻排在首尾，则有 C A 1 3 C A A 48. 2 2 1 2 2 2 2 2
7、第二类 ： 选一对夫妻相邻捆绑，插入形如BCbc(其中Aa，Bb，Cc为三对夫妻)中，共有 C A C A 1 3 1 2 1 2 A C 240 种 2 2 2 2 1 5 故共有 48240288 种排列方式 二、填空题 8由数字 2,0,1,9 组成没有重复数字的四位偶数的个数为_ 10 根据所组成的没有重复数字的四位偶数的个位是否为 0 进行分类计数 ： 第一类， 个位是 0 时，满足题意的四位偶数的个数为 A 6；第二类，个位是 2 时，满足题意的四位偶数的个数 3 3 为 C A 4.由分类加法计数原理得，满足题意的四位偶数的个数为 6410. 1 2 2 2 9国家教育部为了发展
8、贫困地区的教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕 业后要将他们分配到相应的地区去任教现要将 6 名免费培养的教育专业师范毕业生平均分 配到 3 所学校去任教，有_种不同的分配方法 90 先把这 6 名毕业生平均分成 3 组，有种方法，再将这 3 组毕业生分配到 3 所学校， C2 6C2 4C2 2 A3 3 有 A 种方法，故将这 6 名毕业生平均分配到 3 所学校去任教，共有A 90(种)分配方 3 3 C2 6C2 4C2 2 A3 3 3 3 法 1012 个相同的小球放入编号为 1,2,3,4 的盒子中，要求每个盒子中的小球个数不少于其编 号数，则不同的方法有_种 - 3
9、 - 10 先把每个盒子装上与其编号数相同的小球， 还剩 2 个小球， 2 个小球装在 4 个盒子里需 3 个隔板， 3 个隔板看成 3 个元素， 共 5 个元素， 最后从 5 个元素里选出 3 个隔板就行了， 共有 C 10 种 3 5 B 组 能力提升 1(2019日照模拟)甲、乙、丙 3 人站到共有 7 级的台阶上，若每一级台阶最多站 2 人，同 一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数为( ) A336 B84 C343 D210 A 若 3 人站在不同的台阶上共有 A 种不同的站法；若 3 人中恰有 2 人同时在一个台阶上， 3 7 则共有 C A 种不同的站法故共有 A C
10、A 336 种不同的站法，选 A. 1 32 73 71 3 2 7 2把 3 男 2 女 5 名新生分配到甲、乙两个班，每个班分到的新生不少于 2 名，且甲班至少分 配 1 名女生，则不同的分配方案种数为( ) A16 B20 C26 D40 A 把 5 名新生分配到甲、乙两个班，每个班分到的新生不少于 2 名，有 C A 种分配方案， 2 52 2 其中甲班都是男生的分配方案有(C 1)种，则不同的分配方案种数为 C A (C 1)16.故 2 32 5 2 22 3 选 A. 3.(2019衡水模拟)已知一个公园的形状如图所示，现有3种不同的植物要种在 此公园的A，B，C，D，E 这五个
11、区域内，要求有公共边界的两块相邻区域种不同的植 物，则不同的种法共有_种 18 根据题意，分两步进行分析第一步，对于 A，B，C 区域，三个区域 两两相邻，种的植物都不能相同，将 3 种不同的植物全排列，安排在 A，B，C 区域，有 A 3 3 6(种)种法 ； 第二步， 对于 D， E 区域， 若 A， E 区域种的植物相同， 则 D 区域有 1 种种法， 若 A， E 区域种的植物不同，则 E 区域有 1 种种法，D 区域有 2 种种法，则 D，E 区域共有 123(种) 不同的种法故不同的种法共有 6318(种) 4.如图，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的 两顶点异
12、色，如果只有 5 种颜色可供使用，则不同的染色方法种数是 _ 420 法一：由题设，四棱锥SABCD的顶点S，A，B所染的颜色互不相 同，不同的染色方法共有 54360(种) 当S，A，B染好时，不妨设其颜色分别为 1,2,3，其余两种颜色为 4,5，若C染 2，则D可染 3 或 4 或 5，有 3 种不同的染色方法；若C染 4，则D可染 3 或 5，有 2 种不同的染色方法；若C 染 5，则D可染 3 或 4，有 2 种不同的染色方法所以当S，A，B染好时，C，D还有 7 种不同 的染色方法，故不同染色方法有 607420(种) 法二 ： 以S，A，B，C，D的顺序分步染色第一步，S点染色，
13、有 5 种不同的方法第二步，A 点染色，与S在同一条棱上，有 4 种不同的方法第三步，B点染色，与S，A分别在同一条 棱上，有 3 种不同的方法第四步，C点染色，也有 3 种不同的方法，但考虑到D点与S，A，C 分别在同一条棱上，需要对A与C是否同色进行分类，当A与C同色时，D点有 3 种不同的染 - 4 - 色方法；当A与C不同色时，因为C与S，B也不同色，所以C点有 2 种不同的染色方法，D 点也有 2 种不同的染色方法由分步乘法、分类加法计数原理，得不同的染色方法共有 543(1322)420(种) 法三：按所用颜色种数分类第一类，5 种颜色全用，共有 A 种不同的染色方法；第二类， 5 5 只用 4 种颜色，则必有某两个顶点同色(A与C或B与D)，共有 2A 种不同的染色方法；第 4 5 三类，只用 3 种颜色，则A与C，B与D必定同色，共有 A 种不同的染色方法由分类加法计 3 5 数原理，得不同的染色方法种数为 A 2A A 420. 5 54 53 5