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1、- 1 - 课后限时集训(五) 函数的单调性与最值课后限时集训(五) 函数的单调性与最值 (建议用时：60 分钟) A 组 基础达标 一、选择题 1下列函数中，在(0，)上单调递减的是( ) Af(x) Bf(x)(x1)2 1 x Cf(x)ex Df(x)ln(x1) A f(x) 在(0，)上是单调递减函数，故选 A. 1 x 2 (2019三门峡模拟)设函数f(x)若f(a1)f(2a1)， 则实数a的取值 2x，x2， x2，x 2，) 范围是( ) A(，1 B(，2 C2，6 D2，) B 易知f(x)是定义域 R 上的增函数 2x，x2， x2，x 2) f(a1)f(2a1)
2、，a12a1，解得a2. 故实数a的取值范围是(，2，故选 B. 3若函数f(x)4x2kx8 在5,8上是单调函数，则k的取值范围是( ) A(，40 B(40,64) C(，4064，) D64，) C 由题意可知 5 或 8，即k40 或k64，故选 C. k 8 k 8 4 定义在 R 上的函数f(x)的图象关于直线x2 对称且f(x)在(， 2)上是增函数， 则( ) Af(1)f(3) Bf(0)f(3) Cf(1)f(3) Df(0)f(3) A f(x)关于直线x2 对称且f(x)在(，2)上是增函数， f(x)在(2，)上是减函数， 又f(1)f(5)，且f(3)f(5)，
3、f(3)f(1)，选 A. 5 定义在2,2上的函数f(x)满足(x1x2)f(x1)f(x2)0，x1x2， 且f(a2a)f(2a 2)，则实数a的取值范围为( ) A1,2) B0,2) C0,1) D1,1) C 由函数f(x)满足(x1x2)f(x1)f(x2)0，x1x2， 得函数f(x)在2,2上单调递增 由f(a2a)f(2a2)得 Error! 解得Error! 0a1，故选 C. - 2 - 二、填空题 6函数f(x)log2(x21)的单调递减区间为_ (， 1) 由x210 得x1 或x1， 即函数f(x)的定义域为(， 1)(1， ) 令tx21，因为ylog2t在t
4、(0，)上为增函数， tx21在x(， 1)上是减函数， 所以函数f(x)log2(x21)的单调递减区间为(， 1) 7(2019甘肃调研)已知函数f(x)ln x2x，若f(x24)2，则实数x的取值范围是 _ (，2)(2，) 因为函数f(x)ln x2x在定义域上单调递增，且f(1)ln 122，55 所以由f(x24)2 得，f(x24)f(1)， 所以 0x241， 解得x2 或 2x. 55 8(2019广州模拟)设函数f(x)Error!若函数yf(x)在区间(a，a1)上单调递增，则实 数a的取值范围是_ (，14，)作出函数f(x)的图象如图所示，由图象 可知f(x)在(a
5、，a1)上单调递增，需满足a4 或a12， 即a1 或a4. 三、解答题 9 已知函数f(x)ax (1x)(a0)， 且f(x)在0,1上的最 1 a 小值为g(a)，求g(a)的最大值 解 f(x)ax (1x)x ， 1 a(a 1 a) 1 a 当a 0，即 0a1 时， 1 a g(a)f(1)a； 当a 0，即a1 时， 1 a g(a)f(0) . 1 a 故g(a)Error! 所以g(a)的最大值为 1. 10已知f(x)(xa) x xa (1)若a2，试证f(x)在(，2)内单调递增； (2)若a0 且f(x)在(1，)内单调递减，求a的取值范围 解 (1)证明：当a2
6、时，f(x). x x2 任取x1，x2(，2)，且x1x2， 则f(x1)f(x2) x1 x12 x2 x22 . 2x1x2 x12x22 - 3 - 因为(x12)(x22)0，x1x20， 所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)， 所以f(x)在(，2)内单调递增 (2)任取x1，x2(1，)，且x1x2， 则f(x1)f(x2) x1 x1a x2 x2a . ax2x1 x1ax2a 因为a0，x2x10，又由题意知f(x1)f(x2)0， 所以(x1a)(x2a)0 恒成立，所以a1. 所以 0a1. 所以a的取值范围为(0,1 B 组 能力提升 1已知函数f(x)
7、Error!若f(2x2)f(x)，则实数x的取值范围是( ) A(，1)(2，) B(，2)(1，) C(1,2) D(2,1) D 当x0 时，两个表达式对应的函数值都为 0， 函数的图象是一条连续的曲线 又当x0 时， 函数f(x)x3为增函数， 当x0 时，f(x) ln(x1)也是增函数，函数f(x)是定义在 R 上的增函数因此，不等式f(2x2)f(x)等 价于 2x2x，即x2x20，解得2x1. 2 定义新运算 ： 当ab时，aba； 当ab时，abb2， 则函数f(x)(1x)x(2x)， x2,2的最大值等于( ) A1 B1 C6 D12 C 由题意可知f(x)Error
8、! f(x)x2 在2,1上单调递增， f(x)maxf(1)1； 又f(x)x32 在(1,2上单调递增， f(x)maxf(2)2326. 当x2,2时，f(x)max6. 3函数y与ylog3(x2)在(3，)上具有相同的单调性，则实数k的取值范围是 2xk x2 _ ( ， 4) 由 于y log3(x 2)在 (3， )上 为 增 函 数 ， 故 函 数y 2xk x2 2在(3，)上也是增函数，则有 4k0，得k4. 2x24k x2 4k x2 4已知定义在区间(0，)上的函数f(x)满足ff(x1)f(x2)，且当x1 时，f(x)0， 代入得f(1)f(x1)f(x1)0，故f(1)0. (2)证明：任取x1，x2(0，)，且x1x2，则1， x1 x2 当x1 时，f(x)0，f0， ( x1 x2) 即f(x1)f(x2)0，因此f(x1)f(x2)， 函数f(x)在区间(0，)上是单调递减函数 (3)f(x)在(0，)上是单调递减函数， f(x)在2,9上的最小值为f(9) 由ff(x1)f(x2)，得ff(9)f(3)， ( x1 x2)( 9 3) 而f(3)1，f(9)2. f(x)在2,9上的最小值为2.