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1、- 1 - 课后限时集训(七) 二次函数与幂函数课后限时集训(七) 二次函数与幂函数 (建议用时：60 分钟) A 组 基础达标 一、选择题 1(2019西安质检)函数y的图象大致是( ) 3 x2 A B C D C yx，该函数是偶函数，且在第一象限内是上凸的，故选 C. 2 3 2设，则使幂函数yx为奇函数且在(0，)上单调递 1， 1 2， 1 3， 1 2，1，2，3 增的值的个数为( ) A3 B4 C5 D6 A 因为幂函数yx在(0，)上单调递增，所以0.又幂函数yx为奇函数，可知 2.当 时，其定义域关于原点不对称，应排除当 ，1,3 时，其定义域关于原 1 2 1 3 点对
2、称，且满足f(x)f(x)故 ，1,3 时，满足条件故满足条件的的值的个 1 3 数为 3.故选 A. 3 已知幂函数f(x)x的图象过点， 则函数g(x)(2x1)f(x)在区间上的最小 (3， 1 3) 1 2，2 值是( ) A1 B0 C2 D.3 2 B 由已知得 3 ，解得1，f(x)x1， 1 3 g(x)2 在区间上单调递增，则g(x)ming0. 2x1 x 1 x 1 2，2( 1 2) 4已知二次函数f(x)满足f(2x)f(2x)，且f(x)在0,2上是增函数，若f(a)f(0)， 则实数a的取值范围是( ) A0，) B(，0 C0,4 D(，04，) - 2 - C
3、 由f(2x)f(2x)可知，函数f(x)图象的对称轴为x2，又函数f(x) 2x2x 2 在0,2上单调递增，则抛物线开口向下，且f(x)在2,4上是减函数， 所以由f(a)f(0)可得 0a4. 5若f(x)ax2ax1 在 R 上满足f(x)0 恒成立，则a的取值范围是( ) Aa0 Ba4 C4a0 D4a0 D 当a0 时，得到10，显然不等式的解集为 R； 当a0 时，二次函数yax2ax1 开口向下，由不等式的解集为 R，得二次函数的图象 与x轴没有交点，即a24a0，即a(a4)0，解得4a0； 当a0 时， 二次函数yax2ax1 开口向上， 函数值y不恒小于 0， 故解集为
4、 R 不可能 二、填空题 6 已知点在幂函数yf(x)的图象上， 点在幂函数yg(x)的图象上， 则f(2) ( 1 2，2)(2， 1 4) g(1)_. 设f(x)xm，g(x)xn，则由 2 m 得m1，由 (2)n，得n2， 3 2( 1 2) 1 4 所以f(2)g(1)21(1)2 . 3 2 7已知二次函数yx22kx32k，则其图象的顶点位置最高时对应的解析式为_ yx22x5 yx22kx32k(xk)2k22k3， 所以图象的顶点坐标为(k， k2 2k3) 因为k22k3(k1)24， 所以当k1 时， 顶点位置最高 此时抛物线的解析式为y x22x5. 8 已知函数yf
5、(x)是偶函数， 当x0 时，f(x)(x1)2， 若当x时，nf(x)m 2， 1 2 恒成立，则mn的最小值为_ 1 当x0 时，x0，f(x)f(x)(x1)2. x， 2， 1 2 f(x)minf(1)0，f(x)maxf(2)1， m1，n0，mn1，mn的最小值是 1. 三、解答题 9若函数yx22x3 在区间0，m上有最大值 3，最小值 2，求实数m的取 值范围 解 作出函数yx22x3 的图象如图 由图象可知，要使函数在0，m上取得最小值 2，则 10，m，从而m1， 当x0 时，y3；当x2 时，y3， 所以要使函数取得最大值 3，则m2， - 3 - 故所求m的取值范围为
6、1,2 10已知二次函数f(x)满足f(x1)f(x)2x，且f(0)1. (1)求f(x)的解析式； (2)当x1,1时，函数yf(x)的图象恒在函数y2xm的图象的上方，求实数m的取 值范围 解 (1)设f(x)ax2bx1(a0)， 由f(x1)f(x)2x，得 2axab2x. 所以，2a2 且ab0，解得a1，b1， 因此f(x)的解析式为f(x)x2x1. (2)因为当x1,1时，yf(x)的图象恒在y2xm的图象上方， 所以在1,1上，x2x12xm恒成立， 即x23x1m在区间1,1上恒成立 所以令g(x)x23x1 2 ， (x 3 2) 5 4 因为g(x)在1,1上的最小
7、值为g(1)1， 所以m1.故实数m的取值范围为(，1) B 组 能力提升 1设abc0，二次函数f(x)ax2bxc的图象可能是( ) A B C D D 由 A，C，D 知，f(0)c0.abc0，ab0，对称轴x0，知 A，C 错误，D b 2a 符合要求由 B 知f(0)c0，ab0，x0，B 错误故选 D. b 2a 2 (2017浙江高考)若函数f(x)x2axb在区间0,1上的最大值是M， 最小值是m， 则M m( ) A与a有关，且与b有关 B与a有关，但与b无关 C与a无关，且与b无关 D与a无关，但与b有关 B 法一 ： 设x1，x2分别是函数f(x)在0,1上的最小值点与
8、最大值点， 则mxax1b，Mx 2 1 ax2b. 2 2 Mmxxa(x2x1)，显然此值与a有关，与b无关 2 22 1 故选 B. - 4 - 法二：由题意可知，函数f(x)的二次项系数为固定值，则二次函数图象的形状一定随着b 的变动，相当于图象上下移动，若b增大k个单位，则最大值与最小值分别变为Mk，mk， 而(Mk)(mk)Mm，故与b无关随着a的变动，相当于图象左右移动，则Mm的值 在变化，故与a有关 故选 B. 3已知对于任意的x(，1)(5，)，都有x22(a2)xa0，则实数a的取值 范围是_ (1,5 4(a2)24a4a220a164(a1)(a4) (1)若0，即 1
9、a4 时，x22(a2)xa0 在 R 上恒成立，符合题意； (2)若0，即a1 或a4 时，方程x22(a2)xa0 的解为xa2， 显然当a1 时，不符合题意，当a4 时，符合题意； (3)当0，即a1 或a4 时，因为x22(a2)xa0 在(，1)(5，)上恒成 立， 所以Error!解得 3a5， 又a1 或a4，所以 4a5. 综上，a的取值范围是(1,5 4已知函数f(x)是定义在 R 上的偶函数，且当x0 时，f(x)x22x.现已画出函数f(x) 在y轴左侧的图象，如图所示 (1)请补全函数f(x)的图象并根据图象写出函数f(x)(xR)的增区间； (2)写出函数f(x)(xR)的解析式； (3)若函数g(x)f(x)2ax2(x1,2)，求函数g(x)的最小值 解 (1)f(x)在区间(1,0)，(1，)上单调递增 (2)设x0，则x0，函数f(x)是定义在 R 上的偶函数，且当x0 时，f(x)x22x， 所以f(x)f(x)(x)22(x)x22x(x0)， 所以f(x)Error! - 5 - (3)g(x)x22x2ax2，对称轴方程为xa1， 当a11，即a0 时，g(1)12a为最小值； 当 1a12，即 0a1 时，g(a1)a22a1 为最小值； 当a12，即a1 时，g(2)24a为最小值 综上，g(x)minError!