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1、课后跟踪训练(五十五) 基础巩固练 一、选择题 1直线 yx2 与椭圆 1 有两个公共点，则 m 的取值范 x2 m y2 3 围是( ) A(1，) B(1,3)(3，) C(3，) D(0,3)(3，) 解析 把 yx2 代入 1，得(3m)x24mxm0. x2 m y2 3 由 16m24m(3m)0，得 m1. 因为 m0 且 m3，所以 m 范围为(1,3)(3，)故选 B. 答案 B 2(2019安徽江南十校模拟)已知椭圆 G 的中心为坐标原点 O， 点 F，B 分别为椭圆 G 的右焦点和短轴端点点 O 到直线 BF 的距离 为，过 F 垂直于椭圆长轴的弦长为 2，则椭圆 G 的
2、方程是( )3 A. 1 B. 1 x2 4 y2 2 y2 4 x2 2 C. 1 D. 1 x2 16 y2 4 y2 16 x2 4 解析 设椭圆方程为1(ab0)，由已知可得， x2 a2 y2 b2 bc a 3 2 及 a2b2c2，知 a4，b2，故选 C. 2b2 a 答案 C 3 (2019广西南宁联考)已知椭圆1(ab0)的一条弦所在 x2 a2 y2 b2 的直线方程是 xy50， 弦的中点坐标是 M(4,1)， 则椭圆的离心 率是( ) A. B. C. D. 1 2 2 2 3 2 5 5 解析 设直线 xy50 与椭圆1 相交于 A(x1，y1)， x2 a2 y2
3、 b2 B(x2， y2)两点， 因为 AB 的中点坐标是 M(4,1)， 所以 x1x28， y1 y22.易知直线 AB 的斜率 k1. y2y1 x2x1 由Error!Error!两式相减得，0，所以 x 1x2 x 1x2 a2 y 1y2 y 1y2 b2 ， 所以 ， 于是椭圆的离心率 e . y1y2 x1x2 b2 a2 x1x2 y1y2 b2 a2 1 4 c a 1b 2 a2 3 2 故选 C. 答案 C 4 (2019昆明市高三质检)已知 F 是椭圆 E：1(ab0)的 x2 a2 y2 b2 左焦点， 经过原点 O 的直线 l 与椭圆 E 交于 P， Q 两点，
4、若|PF|2|QF|， 且PFQ120，则椭圆 E 的离心率为( ) A. B. C. D. 1 3 1 2 3 3 2 2 解析 设 F1是椭圆 E 的右焦点，如图，连接 PF1，QF1.根据对 称性，线段 FF1与线段 PQ 在点 O 处互相平分，所以四边形 PFQF1 是平行四边形，|FQ|PF1|，FPF1180PFQ60， 根据椭圆的定义，得|PF|PF1|2a，又|PF|2|QF|， 所以|PF1| a，|PF| a， 2 3 4 3 而|F1F|2c， 在F1PF 中，由余弦定理，得 (2c)2 222 a acos60， 解得 ， 所以椭圆 E ( 2 3a) ( 4 3a)
5、2 3 4 3 c2 a2 1 3 的离心率 e .故选 C. c a 3 3 答案 C 5(2019云南曲靖联考)如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，A1，A2，B1，B2为椭圆的顶点，F2为右焦点，延长 B1F2与 A2B2 交于点 P， 若B1PB2为钝角， 则该椭圆的离心率的取值范围是( ) A. B. ( 52 2 ，1) ( 0， 52 2 ) C. D. ( 0， 51 2 )( 51 2 ，1) 解析 设 B1(0， b)， B2(0， b)， F2(c,0)， A2(a,0)， 则(a， b)， B2A2 (c， b) 因为B1PB2为钝角， 所以与的夹角为锐角，
6、F2B1 F2B1 B2A2 所以acb20，即 a2c2ac0.两边同时除以 a2并化 B2A2 F2B1 简得 e2e1b0)，则 b21，c21，所 y2 a2 x2 b2 以 a2b2c22，故椭圆方程为 x21. y2 2 设直线 l 的方程为 ykx1，代入椭圆方程并整理得(k22)x2 2kx10. 由|CD|，得(1k2) ， 3 2 2 4k2 k 2 2 2 4 k22 9 2 解得 k22，k . 2 所以直线 l 的方程为 yx1， 即xy10 或xy1222 0. 答案 xy10 或xy1022 7若椭圆 1 的弦被点(4,2)平分，则这条弦所在的直线方 x2 36
7、y2 9 程为_ 解析 易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为 k. 设 A(x1，y1)、B(x2，y2)，则 1， x2 1 36 y2 1 9 1， x2 2 36 y2 2 9 得0， x 1x2 x 1x2 36 y 1y2 y 1y2 9 x1x28，y1y24， 0， 2x1x2 9 4y1y2 9 k . y1y2 x1x2 1 2 所求直线方程为 y2 (x4)，即 x2y80. 1 2 答案 x2y80 8(2018广东广州模拟)已知中点在坐标原点的椭圆 C 的右焦点 为 F(1,0)， 点 F 关于直线 y x 的对称点在椭圆 C 上， 则椭圆 C 的方 1 2 程为_
8、 解析 设椭圆方程为1(ab0)， 由题意可知 c1， 即 a2 x2 a2 y2 b2 b21， 设点 F(1,0)关于直线 y x 的对称点为(m， n)， 可得 1 2 n0 m1 2.又因为点F与其对称点的中点坐标为， 且中点在直线y ( m1 2 ，n 2) x 上， 所以有 ， 联立， 解得Error!Error!即对称点为 1 2 n 2 1 2 m1 2 ( 3 5， 4 5) ， 代入椭圆方程可得1，联立，解得 a2 ，b2 ， 9 25a2 16 25b2 9 5 4 5 所以椭圆方程为1. 5x2 9 5y2 4 答案 1. 5x2 9 5y2 4 三、解答题 9(201
9、8石家庄月考)已知点 M(，)在椭圆 C：62 x2 a2 y2 b2 1(ab0)上，且椭圆的离心率为. 6 3 (1)求椭圆 C 的方程； (2)若斜率为 1 的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，以 AB 为底边 作等腰三角形，顶点为 P(3,2)，求PAB 的面积 解 (1)由已知得Error!Error! 解得Error!Error! 故椭圆 C 的方程为 1. x2 12 y2 4 (2)设直线 l 的方程为 yxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 的中点 为 D(x0，y0) 由Error!Error!消去 y，整理得 4x26mx3m2120， 由 36m216
10、(3m212)0 得 m2b0) y2 a2 x2 b2 2c4，c2，a2b2c24. 又椭圆 M 过点(1，)，1.3 3 a2 1 b2 由Error!Error!解得 a26，b22， 椭圆 M 的方程为 1. y2 6 x2 2 (2)当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x0.此时点 A，B 的坐标分别为(0，)和(0，)，不满足2，直线 l 的斜率66 AC CB 一定存在设直线 l 的方程为 ykx1， 由Error!Error!消去 y 并整理，得(3k2)x22kx50. 直线 l 与椭圆交于 A，B 两点， 4k220(3k2)24k2600. 设 A(x1，y
11、1)，B(x2，y2)， 则 x1x2，x1x2. 2k 3k2 5 3k2 又2， AC CB (x1,1y1)2(x2，y21)，x12x2， x1x2x2，x2； 2k 3k2 2k 3k2 x1x22x ， 2 2 5 3k2 ，即5， 8k2 3k22 5 3k2 8k2 3k2 解得 k25，满足 0. k . 5 故直线 l 的方程为 yx1.5 能力提升练 11 (2019江西南昌一模)椭圆 ax2by21(a0， b0)与直线 y1 x 交于 A，B 两点，过原点与线段 AB 中点的直线的斜率为，则 3 2 b a 的值为( ) A. B. C. D. 3 2 2 3 3 9
12、 3 2 2 3 27 解析 解法一：将 ax2by21 与 y1x 联立可得(ab)x2 2bxb10，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2，所以 AB 2b ab 的中点坐标为，所以 .故选 B. ( b ab， a ab) b a 2 3 3 解法二：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ax by 1，ax by 1， 2 12 12 22 2 则 ax ax (by by )， 2 12 22 12 2 则1，1， by2 1by2 2 ax2 1ax2 2 by1y2 y 1y2 ax1x2 x 1x2 (1)1， b a 3 2 ，故选 B. b a 2 3
13、 3 答案 B 12 (2019河南安阳模拟)斜率为 1 的直线 l 与椭圆 y21 相交 x2 4 于 A，B 两点，则|AB|的最大值为( ) A2 B. C. D. 4 5 5 4 10 5 8 10 5 解析 设 A，B 两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 直线l的方程为yxt， 由Error!Error!消去y， 得5x28tx4(t21)0， 则 x1x2 t，x1x2. 8 5 4t2 1 5 |AB|x1x2|1k21k2 x 1x224x1x2 ，2 ( 8 5t) 24 4t2 1 5 4 2 5 5t2 当 t0 时，|AB|max.故选 C. 4 10 5
14、 答案 C 13(2019河北承德一模)已知椭圆 ：1(ab0)的右焦 x2 a2 y2 b2 点为 F(3,0)，上、下顶点分别为 A，B，直线 AF 交 于另一点 M，若 直线 BM 交 x 轴于点 N(12,0)，则 的离心率是_ 解析 由题意知 A(0，b)，B(0，b)， 则直线 AM 及 BN 的方程分别为 1， 1. x 3 y b x 12 y b 由Error!Error!解得Error!Error!则 M. ( 24 5 ，3b 5 ) 代入椭圆方程得1，解得 a6. 242 25a2 9 25 又 c3，故离心率 e . c a 1 2 答案 1 2 14(2019广东惠
15、州调研)已知椭圆 C：1(ab0)的离心 x2 a2 y2 b2 率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为. 6 3 5 2 3 (1)求椭圆 C 的方程； (2)已知动直线 yk(x1)与椭圆 C 相交于 A，B 两点 若线段 AB 中点的横坐标为 ，求斜率 k 的值； 1 2 已知点 M，求证：为定值 ( 7 3，0) MA MB 解 (1)1(ab0)满足 a2b2c2，又 ， b2c x2 a2 y2 b2 c a 6 3 1 2 ，解得 a25，b2 ， 5 2 3 5 3 则椭圆方程为 1. x2 5 3y2 5 (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2) 将 yk
16、(x1)代入 1， x2 5 3y2 5 得(13k2)x26k2x3k250， 48k2200，x1x2， 6k2 3k21 AB 中点的横坐标为 ， 1 2 ，解得 k. 3k2 3k21 1 2 3 3 证明：由知 x1x2，x1x2， 6k2 3k21 3k25 3k21 MA MB ( x17 3，y 1 ) ( x27 3，y 2 ) y1y2 ( x17 3)(x 27 3) k2(x11)(x21) ( x17 3)(x 27 3) (1k2)x1x2(x1x2)k2 ( 7 3k 2 ) 49 9 (1k2)k2 3k25 3k21 ( 7 3k 2 )( 6k2 3k21)
17、 49 9 k2 3k416k25 3k21 49 9 (定值) 4 9 拓展延伸练 15 已知椭圆 C： 1 的左、 右焦点分别为 F1， F2， 椭圆 C x2 4 y2 3 上点 A 满足 AF2F1F2.若点 P 是椭圆 C 上的动点，则的最大 F1P F2A 值为( ) A. B. C. D. 3 2 3 3 2 9 4 15 4 解析 由椭圆 C： 1 可得 a24， b23， c1， x2 4 y2 3 a2b2 可得 F1(1,0)，F2(1,0)， 由 AF2F1F2，令 x1，得 y ，3 11 4 3 2 不妨设 A 点坐标为. ( 1，3 2) 设 P(m，n)，则点
18、P 坐标满足1， m2 4 n2 3 又n，33 则(m1，n) n， F1P F2A ( 0，3 2) 3 2 3 3 2 可得的最大值为.故选 B. F1P F2A 3 3 2 答案 B 16 已知直线 l： ykx2 过椭圆1(ab0)的上顶点 B 和 x2 a2 y2 b2 左焦点 F，并被圆 x2y24 截得的弦长为 L，若 L，则椭圆离 4 5 5 心率 e 的取值范围是_ 解析 依题意，知 b2，kc2. 设圆心到直线 l 的距离为 d， 则 L2，4d2 4 5 5 解得 d2.又因为 d，所以 ， 16 5 2 1k2 1 1k2 4 5 解得 k2 . 1 4 于是 e2，所以 0e2 ，解得 0e. c2 a2 c2 b2c2 1 1k2 4 5 2 5 5 答案 ( 0，2 5 5