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1、第四章 振动学基础,第1篇 力 学,2,广义的说，任何一个物理量在某一量值附近随时间作周期性的变化都可以叫做振动。在力学中，物体在一定位置附近作周期性的往复运动称为机械振动，这一章主要讨论机械振动。,Tacoma Narrows Bridge,3,4-1 简谐振动的运动学,一. 简谐振动的定义,若质点离开平衡位置的位移随时间按余弦规律变化,则称质点作简谐振动(谐振动) 。,x =Acos( t+ ),上式也称为简谐振动的运动学方程。,1. 定义：,任何复杂的振动都可看作是若干简谐振动的合成。,设质点沿x轴振动，取平衡位置为坐标原点，则质点的坐标(位移)：,4,3. 三个特征量A、 和 ,x =
2、Acos(t+ ),(1)振幅 A (质点离开平衡位置的最大距离)。,2. 简谐振动的速度和加速度,(2)角频率 和周期T：,每个振动系统都有自己固有的角频率。,5,(3) 相位与初相 ：,( t +) 称为t 时刻的相位(位相、周相）, 称为初相，是t =0时刻的相位,相位是非常重要的物理量，振动质点在任一时刻的运动状态即位置和速度就取决于该时刻的相位( t +) 。,( t+ )=0, x=A,=0 正最大 ( t+ )=+/2, x=0, 0 平衡位置 ( t+ )=2 , x=A, =0 正最大,6,二 .简谐振动的描述,1. 解析法：,其中角频率由谐振系统本身确定，如,而振幅 A和初
3、相 则由初始条件(即t=0时刻物体的位置x0和速度v0 )来确定：,如果A、 和 都已知，则简谐振动就完全确定下来，即,x =Acos( t+ ),单摆:,弹簧振子：,7,于是可求得：,注意！,学会根据x0和0的正负正确判断 所在象限，如图所示。,8,例1： 一质点沿x轴作谐振动，周期T= s。t=0时，,求振动方程。,+ ,代入：x =Acos( t+ ),解：,且 x00, 00,显然 在第2象限,9,2. 旋转矢量法(几何表示法),端点M在x轴上的投影点(p点)的坐标：,x =Acos(t + ),显然，p点的运动就是简谐振动。,(t + ) 相位,旋转矢量图,10,简谐振动的速度和加速
4、度也可用旋转矢量表示：,11,用旋转矢量表示简谐振动的优点,（1）可以很方便地根据质点的振动状态(即质点的位置和速度)确定振动的相位(初相)；,（2）可以很方便地求出振动质点从某一位置到达另一位置时所用的时间。,12,例2： 已知质点的初始位置和运动方向求简谐振动质点的初相 。,(1)t=0时，xo=-A, =,。,(2)t=0时，质点经过平衡位置并向x轴正方向运动, 则 =,3/2(或- /2)。,(3)t=0时， xo=A/2，质点正向x轴负方向运动, 则 =,xo =Acos,/3。,/4 + = 5/4 。,(4)t=0时， 质点正向x轴正方向运动, 则 =,A,-A,13,例3: 一
5、质点作简谐振动, 速度 =8cos(4 t+ 2/3 ),单位为cms-1.当质点从x = -2cm处回到平衡位置时所需要的最短时间为多少? 此质点至少振动了多长时间?,解：,由 =8cos(4 t+ 2/3 ) 可知:,画旋转矢量图,初始位置:,在x = -2cm处:,第一次回到平衡位置:,14,从旋转矢量图可看出，当质点从x = -2cm处第一次回到平衡位置时,旋转矢量转过的角度,因而所需的最短时间为:,此质点至少振动了多长时间?,15,例4： 一质点作简谐振动，T=2s, A=0.12m, t=0时，x0=0.06m, 向x轴正方向运动，求：(1)振动方程；(2)t=0.5s时的速度和加
6、速度; (3)在x=-0.06m, 且向x轴负方向运动时刻的速度和加速度; (4)从x=-0.06m, 且向x轴负方向运动时刻回到平衡位置所需的最短时间。,(1) x=0.12cos(, t )m,(2),-0.19(m/s),-1.03(m/s2),解：,16,解析法：,已知初始时刻：xo=0.06m, 向x轴正方向运动，求初相,旋转矢量法：,17,(3)在x=-0.06m, 且向x轴负方向运动时刻的速度和加速度:,将相位代入得：,= -0.33(m/s),=0.59(m/s2)。,关键是找出相位：,18,(4)从x=-0.06m, 且向x轴负方向运动时刻回到平衡位置所需的最短时间：,旋转矢
7、量转过的角度：,旋转矢量转动的角速度： = ,旋转矢量转动过程所用的时间：,这就是谐振动质点从x=-0.06m, 且向x轴负方向运动时刻回到平衡位置所需的最短时间。,19,解,周期T=8s，,例5: 质点作谐振动, t=0时向右通过A点，经2s第一次通过B点，再经2s质点第二次通过B点，A=B，AB=10cm，求振动方程。,由于 A=B，所以坐标原点应在AB的中点。,初相 =5/4。,振幅：,20,解：由 F=k x , 得:,(1) t =0时, xo=-0.1m, o=0,=0.1m, = ,k=200 N/m,例6 弹簧在60N的拉力下伸长30cm。将m(=4kg)从平衡位置下拉10cm
8、后静止释放(t=0)， 求：(1)振动方程；(2)物体在平衡位置上方5cm时所受弹簧的拉力；(3)物体从第一次越过平衡位置到运动到上方5cm处所需的最短时间。,平衡位置:,，lo=0.196m,21,lo=0.196m,弹簧对物体的拉力: F = k(lo-0.05),=29.2N,(3)物体从第一次越过平衡位置到运动到上方5cm处所需的最短时间。,平衡位置弹簧伸长:,(2)物体在平衡位置上方5cm时所受弹簧的拉力;,A= 10cm,=0.074s,22,3. 曲线法,( t )m,( )cm,t=0,t=0,23,t=0,x=8cos( )cm,因m= A= , 故 A=2,由旋转矢量图知:
9、,x=2cos( + )m,x(cm),24,三 . 振动的超前与落后,设有两个同频率的谐振动： x1=A1cos(t+1) x2=A2cos(t+2),0, 振动x2超前x1角 ；,0, 振动x2落后x1角 ；,=0, 振动x2和x1同相 ；,=, 振动x2和x1反相 。,相位差 = (t+2)- (t+1) = 2 -1 （- + ）,25,x =Acos(t + ),26,4-2 简谐振动的动力学,一. 简谐振动的动力学方程,质点作简谐振动时，它的加速度与位移成正比且反向，即：,上式可写为：,这就是质点作简谐振动的动力学方程。它是一个二阶微分方程,方程解就是：,x =Acos(t+ ),
10、简谐振动的运动学方程,A和由初始条件(x0、v0)决定。,27,线性回复力,即质点作简谐振动时，所受合外力与位移成正比且反向，这一结论称为质点作简谐振动的动力学特征。,根据牛顿第二定律：,二. 几个典型的简谐振动,1. 弹簧振子,当振子位移为x时，根据胡克定律：,由牛顿定律：,28,其中,动力学方程：,这就是弹簧振子的角频率。,2. 单摆,由转动定理：,当 角很小时,线性回复力矩,当摆球离开平衡位置的角位移为 时：,对o轴的合力矩：,29,动力学方程：,方程的解即为单摆的运动学方程：,即在摆角很小(5)的时候，单摆的振动是简谐振动!,其中,这就是单摆的角频率。,30,3. 复摆(物理摆),力矩
11、：,由转动定理：,动力学方程:,摆角很小时，复摆作谐振动!,I为刚体绕O点转动的转动惯量。,角频率为：,-线性回复力矩,当 角很小时,31,1.由分析受力出发,三. 简谐振动的动力学解法,(2)由牛顿定律建立动力学方程：,2. 由分析能量出发,(1)分析受力：,(1)写出系统总能量：,(2)将上式对时间求导，得动力学方程：,其中2=k/m,(2=k/m),32,例7： 一光滑斜面上的弹簧振子，已知m , k , 证明它作谐振动，并求出周期。,(1)找出平衡位置:,(2)将物体m对平衡位置位移x；,(3)振动(斜面)方向物体所受合外力,F= mgsin -k(x+xo )= -kx,简谐振动,(
12、 、T与倾角无关),建立坐标；,mgsin =kxo ，,解：,应用牛二定律：,33,例8： 设想地球内有一光滑隧道，如图所示。证明质点m在此隧道内的运动为简谐振动，并求其振动周期。,解：,建立oy坐标系，引力在运动方向上的分力为：,质点m受到的引力:,34,这是质点m作简谐振动的动力学方程,由牛顿定律：,其周期为：,可见，力与位移成正比且反向。由此可知质点m在此隧道内的运动为简谐振动.,35,例9：求图示系统的振动周期 ，圆盘和绳间无滑动。 图中k、I、R、m为已知。,平衡位置: kxo=mg，,令m位移x, 则,mg-T1= ma,T1 R-T2R =I,T2 =k(xo+x),a=R,解
13、1：,即,36,振动势能：,振动动能：,系统总能量：,= 恒量,水平弹簧振子,4-3 简谐振动的能量,37,说明：,1.谐振系统的动能和势能都随时间t作周期性的变化；但系统的总机械能守恒。,2.平均势能：,平均动能：,3. 任意谐振系统，其振动势能均可写成：,其中x是对平衡位置的位移，k = m2。,虽然形式上与弹性势能一样，但二者的含义却是不同的。,(以平衡位置作为势能零点),38,例,选平衡位置为零势点,（mg=kx0）,即使是弹簧振子其振动势能与弹性势能的含义也是不完全相同的。,39,解2：,写出m位移x时系统的总能量：,将上式对时间求导，得：,40,例10：一倔强系数为k=312Nm-
14、1的轻弹簧，一端固定，另一端连接一质量M=0.3kg的物体，放在光滑的水平桌面上，再在物体M上放一质量m=0.2kg的小物体。已知M与m之间的静摩擦系数=0.5，求两物体无相对运动时，系统振动的最大能量。,解：,显然，A=Amax，E=Emax,m作简谐振动的回复力就是M与m之间的静摩擦力，由最大静摩擦力提供的加速度就是系统振动的最大加速度，即,系统振动的能量,其中,41,系统振动的最大能量：,代入具体数据：,最大振幅：,42,例11：图中水平面光滑。两弹簧完全相同，且最初处于原长状态。令m沿水平面振动，经过平衡位置O时，另一质点M恰自由落下粘在m上，求M粘上前后，振动系统角频率比及振幅比。,
15、解：,粘上M以前,质点m受到的合力:,动力学方程：,系统作简谐振动！其角频率：,43,粘上M以后,M与m粘接过程水平方向动量守恒：,粘上M以前,44,(2)如果两弹簧串接在一起，再联结m，情况又如何？,讨论：,(1)如果M是在m运动到最大位移处，垂直落在m上的，情况如何？,(3)总结两弹簧(k1、k2)串联和并联时系统的固有角频率公式。,45,4-4 阻尼振动 受迫振动 共振,简 谐 振 动,阻 尼 振 动,受 迫 振 动,共 振,46,1.阻尼振动,受阻力：,令：,动力学方程：,( 称为阻尼系数),分三种情况讨论方程的解：,47,(1)阻尼较小时: ，此方程的解：,A和0由初始条件决定。,其
16、中,这是衰减的振动过程，振幅呈指数衰减，称为欠阻尼情况。,48,(2)阻尼较大时： ，方程的解：,振子的运动不再有周期性，缓慢地回到平衡位置，称为过阻尼情况。,(3)如果 ，方程的解:,同样振子的运动不再有周期性，但能较快回到平衡位置，称为临界阻尼情况。常用在天平调衡中和仪表指针设计中。,49,系统受力：线性回复力 -kx；阻尼力,周期性策动力 f =F0cos t,动力学方程：,令,2.受迫振动,50,该微分方程的解为,此等幅振动的频率就是策动力的频率，其振幅和初相为:,可见受迫振动可以看成是两个振动合成的。第一项表示的是减幅振动。经过一段时间后，这一分振动就减弱到可以忽略不计了。而第二项表
17、示的是受迫振动达到稳定状态时的等幅振动。因此，达到稳定状态时 x =Acos( t+ ),51,值得注意的是， A、 与振子的初始状态无关，而是依赖于振子的性质、阻尼的大小和策动力的特征。,稳定振动时的速率：,其中：,52,3.共振,受迫振动的振幅与策动力的频率有关，当策动力频率达某一值时，振幅达最大值。,相应的最大振幅为,即策动力频率等于r时，振幅达到最大值。我们把这种振幅达到最大值的现象叫做位移共振。,(1)位移共振,53,相应的最大振幅为,在弱阻尼(即o)的情况下，两者可以不加区别，即r=o , 当策动力频率等于振动系统的固有频率时，位移和速度振幅均达到最大值。,(2)速度共振,可以看出
18、，当=时，速度振幅达到最大。,即当策动力频率正好等于系统固有频率时，受迫振动的速度幅达到极大值，这叫做速度共振。,54,分振动： x1 =A1cos( t+1 ) x2 =A2cos( t+2 ),合振动： x= x1+x2=A1cos( t+1)+ A2cos( t+2),利用三角公式或旋转矢量可求得合振动: x= x1+x2= Acos( t+ ),可见，同一直线上同频率谐振动的合成，其合振动仍是同频率的谐振动。,一.同一直线上同频率谐振动的合成,4-5 简谐振动的合成,55,由余弦定理，合振动的振幅为,合振动的初相：,= Acos( t+ ),56,合振动的振幅(强弱)，取决于两分振动的
19、相位差：, =2 -1,=2k , k=0, 1, 2, , Amax=A1+A2 , 加强,=(2k+1) , k=0, 1, 2, , Amin=|A1-A2 |, 减弱,. . . . . . , AminAAmax,合振动的初相 =2=1；,若A2A1，合振动的初相 =2； 若A1A2，合振动的初相 =1；,57,解 合振动方程：x =Acos( t+ ),例12 设分振动： x1 =0.3cos( t+ )cm, x2 =0.4cos( t+ )cm， 求合振动方程。,=0.5, = -36.86,+180= -0.64+ =2.5rad, 合振动方程：x =0.5cos( t+2.
20、5 ) cm,已知：A1=0.3, A2=0.4, 1= /2, 2= ,58,例13 设分振动：x1 =0.4cos(2 t+/3 )cm, x2 =0.6cos(2 t-2/3 )cm，求合振动方程。,解 已知：A1=0.4, A2=0.6, 1= /3, 2= -2 /3,两分振动的相位差：,x1与x2是反相的！所以合振动的振幅：,合振动的初相：, 合振动方程： x =0.2cos(2 t-2/3 ) cm,59,例14： t=0时， x1 和 x2的振动曲线如图所示，求合振动方程.,解 由图可知，x1与x2是反相的。因而 合振幅: A= 0.12- 0.08=0.04; 合振动的初相:
21、 = - /2 (振幅大的分振动的初相) 合振动的角频率： =2 /T =, 合振动方程： x =0.04cos( t- /2 ) m,60,例15： 两个同方向、同频率的谐振动合成后，合振幅A=20cm, 合振动与第一个振动的相差为 /6, A1=17.3cm, 求：(1)A2=? (2)两振动的相差(2 -1)=?,解 直接用下述公式是无法求解的：,=10cm,此题宜用旋转矢量法求解。,用余弦定理得：,61,用正弦定理有：,因A=20, A2=10, 由上式可求出：,62,二. 同一直线上不同频率谐振动的合成,合振动： x= x1+x2=A1cos(1t+1)+ A2cos(2t+2),一
22、般情况下，合振动不再是简谐振动！,右图所示是初相位、振幅相同，振动频率分别为200Hz、300Hz的两个简谐振动合成结果,63,分振动：x1 =Acos(1t+ ) ，x2 =Acos( 2t+ ),合振动： x= x1+x2=,比 的周期长得多！,即，合振动可近似看作是一个振幅缓慢变化的谐振动拍,若1与2很大且相差很小，,现讨论一种特殊情况：,则 2- 1 2+ 1,64,单位时间内振动加强或减弱的次数叫拍频,65,三. 相互垂直的同频率谐振动的合成,x =A1cos( t+1 ) y =A2cos( t+2 ),从上两式中消去t, 就得到合振动的轨迹方程为,在一般情况下, 这是一个椭圆方程
23、，椭圆的形状由 =2 -1决定。,(1)当2 -1=0时： 合振动的轨迹为一直线。,66,合振动仍为谐振动！,(2)当2 -1= 时，合振动的轨迹也为一直线：,合振动仍为谐振动！,此时振动质点离开o点的位移是：,67,(3)当2 -1= /2时，合振动的轨迹为一椭圆：,合振动不再是谐振动。,68,四. 相互垂直不同频率谐振动的合成,合运动比较复杂，而且轨迹是不稳定的。两种特殊情况：,(1)两分振动频率相差很小,可视为同频率的合成，不过两个振动的相位差在缓慢地变化, 合运动的轨道将不断地从直线逐渐变为椭圆，再由椭圆逐渐变为直线，并重复进行，如上页图所示。,(2) 两分振动的频率成整数比,合成运动轨道是封闭曲线，称为李萨如图形。,P.151 图4.5.9,69,五. 振动的频谱分析,任一复杂振动都可分解为许多简谐振动，确定一个振动所包含的各种简谐振动的频率和振幅称为频谱分析。,1.一个周期性振动可分解为一系列频率分离的简谐振动,若周期振动的频率为 : 0,则各分振动的频率为: 0, 20, 30, (基频 , 二次谐频 , 三次谐频 , ),70,方波的分解,71,2.一个非周期性振动可分解为无限多个频率连续变化的简谐振动,对振动进行频谱分析是研究机械振动和电磁振动的重要手段。,通常将振幅降为最大幅值的一半时对应的频率范围称为该振动的频宽。,