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1、整 数 规 划 (Integer Programming),整数规划的模型,分支定界法,割平面法,01 整数规划,指派问题,（一）、整数规划问题实例,例一、合理下料问题 设用某型号的圆钢下零件A1, A2,Am 的毛坯。在一根圆钢上下料的方式有B1,B2, Bn 种，每种下料方式可以得到各种零件的毛坯数以及每种零件的需要量，如表所示。问怎样安排下料方式，使得即满足需要，所用的原材料又最少？,一、整数规划的模型,设：xj 表示用Bj (j=1.2n) 种方式下料根数 模型：,例二、某公司计划在m个地点建厂，可供选择的地点有A1,A2Am ，他们的生产能力分别是a1,a2,am（假设生产同一产品）
2、。第i个工厂的建设费用为fi (i=1.2m),又有n个地点B1,B2, Bn 需要销售这种产品，其销量分别为b1.b2bn 。从工厂运往销地的单位运费为Cij。试决定应在哪些地方建厂，即满足各地需要，又使总建设费用和总运输费用最省？,设： xij 表示从工厂运往销地的运量(i=1.2m、j=1.2n), 1 在Ai建厂 又设 Yi （i=1.2m） 0 不在Ai建厂 模型：,例三、机床分配问题 设有m台同类机床，要加工n种零件。已知各种零件的加工时间分别为a1,a2,an ，问如何分配，使各机床的总加工任务相等，或者说尽可能平衡。,设： 1 分配第i台机床加工第j种零件； xij （i=1.
3、2m,j=1.2n） 0 相反。 于是，第i台机床加工各种零件的总时间为：,又由于一个零件只能在一台机床上加工，所以有,因此，求xij ，使得,（二）、整数规划的数学模型,一般形式,依照决策变量取整要求的不同，整数规划可分为纯整数规划、全整数规划、混合整数规划、01整数规划。,纯整数规划：所有决策变量要求取非负整数（这时引进的松弛变量可以不要求取整数）。,全整数规划：除了所有决策变量要求取非负整数外，系数aij和常数bi也要求取整数（这时引进的松弛变量也必须是整数）。,混合整数规划：只有一部分的决策变量要求取非负整数，另一部分可以取非负实数。,01整数规划：所有决策变量只能取 0 或 1 两个
4、整数。,（三）、整数规划与线性规划的关系,从数学模型上看整数规划似乎是线性规划的一种特殊形式，求解只需在线性规划的基础上，通过舍入取整，寻求满足整数要求的解即可。但实际上两者却有很大的不同，通过舍入得到的解（整数）也不一定就是最优解，有时甚至不能保证所得到的解是整数可行解。 举例说明。,例：设整数规划问题如下,首先不考虑整数约束，得到线性规划问题（一般称为松弛问题）。,用图解法求出最优解 x13/2, x2 = 10/3 且有Z = 29/6,x1,x2,3,3,(3/2,10/3),现求整数解（最优解）：如用“舍入取整法”可得到4个点即(1，3) (2，3)(1，4)(2，4)。显然，它们都
5、不可能是整数规划的最优解。,按整数规划约束条件，其可行解肯定在线性规划问题的可行域内且为整数点。故整数规划问题的可行解集是一个有限集，如图所示。,因此，可将集合内的整数点一一找出，其最大目标函数的值为最优解，此法为完全枚举法。 如上例：其中（2，2）（3，1）点为最大值，Z=4。,目前，常用的求解整数规划的方法有： 分支定界法和割平面法； 对于特别的01规划问题采用隐枚举法和匈牙利法。,（一）、基本思路,考虑纯整数问题：,整数问题的松弛问题：,二、分枝定界法,1、先不考虑整数约束，解( IP )的松弛问题( LP )，可能得到以下情况之一： .若( LP )没有可行解，则( IP )也没有可行
6、解，停止计算。 .若( LP )有最优解，并符合( IP )的整数条件，则( LP )的最优解即为( IP )的最优解，停止计算。 .若( LP )有最优解，但不符合( IP )的整数条件，转入下一步。为讨论方便，设( LP )的最优解为：,2、定界： 记( IP )的目标函数最优值为Z* ,以Z(0) 作为Z* 的上界，记为 Z(0) 。再用观察法找的一个整数可行解 X，并以其相应的目标函数值 Z作为Z* 的下界，记为Z Z，也可以令Z，则有： Z Z* ,3、分枝： 在( LP )的最优解 X(0)中，任选一个不符合整数条件的变量，例如xr= （不为整数），以 表示不超过 的最大整数。构造
7、两个约束条件 xr 和xr 1,如此反复进行，直到得到ZZ* 为止，即得最优解 X* 。,将这两个约束条件分别加入问题( IP ) ，形成两个子问题( IP1)和( IP2 ) ，再解这两个问题的松弛问题( LP1)和( LP2) 。,4、修改上、下界：按照以下两点规则进行。 .在各分枝问题中，找出目标函数值最大者作为新的上界； .从已符合整数条件的分枝中，找出目标函数值最大者作为新的下界。,5、比较与剪枝 ： 各分枝的目标函数值中，若有小于Z 者，则剪掉此枝，表明此子问题已经探清，不必再分枝了;否则继续分枝。,例一：用分枝定界法求解整数规划问题（用图解法计算）,记为（IP）,解：首先去掉整数
8、约束，变成一般线性规划问题,记为（LP）,（二）、例题,用图解法求（LP）的最优解，如图所示。,x1,x2,3,3,(18/11,40/11),对于x118/111.64， 取值x1 1， x1 2 对于x2 =40/11 3.64，取值x2 3 ，x2 4 先将（LP）划分为（LP1）和（LP2）,取x1 1, x1 2,x118/11, x2 =40/11 Z(0) =218/11(19.8) 即Z 也是（IP）最小值的下限。,有下式：,现在只要求出（LP1）和（LP2）的最优解即可。,x1,x2,3,3,(18/11,40/11),先求（LP1）,如图所示。此时B 在点取得最优解。 x1
9、1, x2 =3, Z(1)16 找到整数解，问题已探明，此枝停止计算。,1,1,同理求（LP2） ,如图所示。 在C 点取得最优解。 即x12, x2 =10/3, Z(2) 56/318.7 Z2 Z116 原问题有比（16）更小的最优解，但 x2 不是整数，故利用 3 10/34 加入条件。,B,A,C,加入条件： x23, x24 有下式：,只要求出（LP3）和（LP4）的最优解即可。,x1,x2,3,3,(18/11,40/11),1,1,B,A,C,先求（LP3）,如图所示。此时D 在点取得最优解。 即 x112/52.4, x2 =3, Z(3)-87/5-17.4Z-19.8
10、但x112/5不是整数，可继续分枝。即 3x12。,D,求（LP4），如图所示。 无可行解，不再分枝。,在（LP3）的基础上继续分枝。加入条件3x12有下式：,只要求出（LP5）和（LP6）的最优解即可。,x1,x2,3,3,(18/11,40/11),1,1,B,A,C,D,先求（LP5）,如图所示。此时E 在点取得最优解。 即 x12, x2 =3, Z(5)17 找到整数解，问题已探明，此枝停止计算。,E,求（LP6），如图所示。此时 F在点取得最优解。 x13, x2 =2.5, Z(6)31/215.5 Z(5),F,如对 Z(6) 继续分解，其最小值也不会低于15.5 ，问题探明,
11、剪枝。,至此，原问题（IP）的最优解为： x1=2， x2 =3, Z* = Z(5) 17 以上的求解过程可以用一个树形图表示如右：,LP1 x1=1, x2=3 Z(1) 16,LP x1=18/11, x2=40/11 Z(0) 19.8,LP2 x1=2, x2=10/3 Z(2) 18.5,LP3 x1=12/5, x2=3 Z(3) 17.4,LP4 无可 行解,LP5 x1=2, x2=3 Z(5) 17,LP6 x1=3, x2=5/2 Z(6) 15.5,x11,x12,x23,x24,x12,x13,练习：用分枝定界法求解整数规划问题 （图解法）,x11,x12,x22,x
12、23,x22,x23,x12,x13,LP1 x1=1, x2=7/3 Z(1) 10/3,LP x1=2/3, x2=10/3 Z(0) 29/6,LP2 x1=2, x2=23/9 Z(2) 41/9,LP3 x1=33/14, x2=2 Z(3) 61/14,LP4 无可 行解,LP7 x1=2, x2=2 Z(7) 4,LP8 x1=3, x2=1 Z(8) 4,x11,x12,x22,x23,x12,x13,解:用单纯形法解对应的(LP)问题,如表所示,获得最优解。,初始表,最终表,例二、用分枝定界法求解整数规划问题（单纯形法）,x1=13/4 x2=5/2 Z(0) =59/414
13、.75 选 x2 进行分枝，即增加两个约束，2 x2 3 有下式：,分别在(LP1)和(LP2)中引入松弛变量x5和x6 ，将新加约束条件加入上表计算。即 x2+ x5= 2 , x2+x6=3 得下表:,x1=7/2, x2=2 Z(1) =29/2=14.5 继续分枝，加入约束 3 x1 4,LP1,LP2,x1=5/2, x2=3 Z(2) =27/2=13.5 Z(2) Z(1) 先不考虑分枝,接(LP1)继续分枝，加入约束 4 x1 3，有下式：,分别引入松弛变量x7 和 x8 ，然后进行计算。,x1=3, x2=2 Z(3) =13 找到整数解，问题已探明，停止计算。,LP3,x1
14、=4, x2=1 Z(4) =14 找到整数解，问题已探明，停止计算。,LP4,树形图如下：,LP1 x1=7/2, x2=2 Z(1)29/2=14.5,LP x1=13/4, x2=5/2 Z(0) 59/4=14.75,LP2 x1=5/2, x2=3 Z(2)27/2=13.5,LP3 x1=3, x2=2 Z(3) 13,LP4 x1=4, x2=1 Z(4) 14,x22,x23,x13,x14,练习：用分枝定界法求解整数规划问题 （单纯形法）,LP1 x1=1, x2=3 Z(1) 16,LP x1=18/11, x2=40/11 Z(0) 19.8,LP2 x1=2, x2=1
15、0/3 Z(2) 18.5,LP3 x1=12/5, x2=3 Z(3) 17.4,LP4 无可 行解,LP5 x1=2, x2=3 Z(5) 17,LP6 x1=3, x2=5/2 Z(6) 15.5,x11,x12,x23,x24,x12,x13,（一）、计算步骤： 1、用单纯形法求解( IP )对应的松弛问题( LP )： .若( LP )没有可行解，则( IP )也没有可行解，停止计算。 .若( LP )有最优解，并符合( IP )的整数条件，则( LP )的最优解即为( IP )的最优解，停止计算。 .若( LP )有最优解，但不符合( IP )的整数条件，转入下一步。,三、割平面法
16、,2、从(LP)的最优解中，任选一个不为整数的分量xr,将最优单纯形表中该行的系数 和 分解为整数部分和小数部分之和，并以该行为源行，按下式作割平面方程：,3、将所得的割平面方程作为一个新的约束条件置于最优单纯形表中（同时增加一个单位列向量），用对偶单纯形法求出新的最优解，返回1。,的小数部分,的小数部分,例一：用割平面法求解整数规划问题,解：增加松弛变量x3和x4 ，得到(LP)的初始单纯形表和最优单纯形表：,此题的最优解为：X= (1 , 3/2)T Z = 3/2 但不是整数最优解，引入割平面。以x2 为源行生成割平面，由于 1/4=0+1/4, 3/2=1+1/2, 我们已将所需要的数
17、分解为整数和分数，所以，生成割平面的条件为:,现将生成的割平面条件加入松弛变量，然后加到表中：,此时，X1 (2/3, 1), Z=1,仍不是整数解。继续以x1为源行生成割平面，其条件为：,将生成的割平面条件加入松弛变量，然后加到表中：,至此得到最优表，其最优解为 X= (1 , 1) , Z = 1, 这也是原问题的最优解。,有以上解题过程可见，表中含有分数元素且算法过程中始终保持对偶可行性，因此，这个算法也称为分数对偶割平面算法。,例二：用割平面法求解整数规划问题,初 始 表,最优表,割平面方程：,引入松弛变量s1 后得到下式，将此约束条件加到上表中，继续求解。,得到整数最优解，即为整数规
18、划的最优解，而且此整数规划有两个最优解： X= (0, 4), Z = 4, 或 X= (2, 2), Z = 4。,（2 ，3）,01 整数规划是一种特殊形式的整数规划，这时的决策变量xj 只取两个值0或1，一般的解法为隐枚举法。,例一、求解下列01 规划问题,四、01 整数规划,解：对于01 规划问题，由于每个变量只取0，1两个值，一般会用穷举法来解，即将所有的0，1 组合找出，使目标函数达到极值要求就可求得最优解。但此法太繁琐，工作量相当大。而隐枚举法就是在此基础上，通过加入一定的条件，就能较快的求得最优解。,由上表可知，问题的最优解为 X*=(1,0,1 )T 由上表可知： x1 =0
19、 x2=0 x3=1 是一个可行解，为尽快找到最优解，可将3 x12 x25 x3 5 作为一个约束，凡是目标函数值小于5 的组合不必讨论，如下表。,例二、求解下列01 规划问题,解：由于目标函数中变量x1, x2 , x4 的系数均为负数，可作如下变换：,令 x1 1 x1 , x2 =1- x2, x3= x3, x4 =1- x4带入原题中，但需重新调整变量编号。令 x3 = x1, x4 = x2得到下式。,可以从( 1.1.1.1 )开始试算， x(3)( 1.1.0.1 )T最优解。 x(3)( 1.0.1.0 )T是原问题的最优解，Z* =2,例三、求解下列01 规划问题,令 y
20、1=x5, y2=x4, y3=x2, y4=x3, y5=x1 得到下式,所以， Y*= （0.0.0.1.0），原问题的最优解为： X* （0.0.1.0.0）T，Z* =8,（0 . 1 . 1 . 0 . 0）,练习：用隐枚举法求解01规划问题,在实际中经常会遇到这样的问题，有n 项不同的任务，需要n 个人分别完成其中的一项，但由于任务的性质和各人的专长不同，因此各人去完成不同的任务的效率（或花费的时间或费用）也就不同。于是产生了一个问题，应指派哪个人去完成哪项任务，使完成 n 项任务的总效率最高（或所需时间最少），这类问题称为指派问题或分派问题。,（一）、指派问题的数学模型 设n 个
21、人被分配去做n 件工作，规定每个人只做一件工作，每件工作只有一个人去做。已知第i个人去做第j 件工作的的效率（ 时间或费用）为Cij(i=1.2n;j=1.2n)并假设Cij 0。问应如何分配才能使总效率（ 时间或费用）最高？,五、指派问题,设决策变量 1 分配第i 个人去做第j 件工作 xij = 0 相反 ( i,j=1.2. n ),其数学模型为：,（二）、解题步骤：,指派问题是0-1 规划的特例，也是运输问题的特例，当然可用整数规划，0-1 规划或运输问题的解法去求解，这就如同用单纯型法求解运输问题一样是不合算的。利用指派问题的特点可有更简便的解法，这就是匈牙利法，即系数矩阵中独立 0
22、 元素的最多个数等于能覆盖所有 0 元素的最少直线数。,第一步：变换指派问题的系数矩阵（cij）为(bij)，使在(bij)的各行各列中都出现0元素，即 (1) 从（cij）的每行元素都减去该行的最小元素； (2) 再从所得新系数矩阵的每列元素中减去该列的最小元素。,第二步：进行试指派，以寻求最优解。 在(bij)中找尽可能多的独立0元素，若能找出n个独立0元素，就以这n个独立0元素对应解矩阵(xij)中的元素为1，其余为0，这就得到最优解。找独立0元素，常用的步骤为： (1)从只有一个0元素的行(列)开始，给这个0元素加圈，记作 。然后划去 所在列(行)的其它0元素，记作 ；这表示这列所代表
23、的任务已指派完，不必再考虑别人了。 (2)给只有一个0元素的列(行)中的0元素加圈，记作；然后划去 所在行的0元素，记作 (3)反复进行(1)，(2)两步，直到尽可能多的0元素都被圈出和划掉为止。,(4)若仍有没有划圈的0元素，且同行(列)的0元素至少有两个，则从剩有0元素最少的行(列)开始，比较这行各0元素所在列中0元素的数目，选择0元素少的那列的这个0元素加圈(表示选择性多的要“礼让”选择性少的)。然后划掉同行同列的其它0元素。可反复进行，直到所有0元素都已圈出和划掉为止。 （5）若 元素的数目m 等于矩阵的阶数n，那么这指派问题的最优解已得到。若m n, 则转入下一步。 第三步：作最少的
24、直线覆盖所有0元素。 (1)对没有的行打号； (2)对已打号的行中所有含元素的列打号； (3)再对打有号的列中含 元素的行打号；,(4)重复(2)，(3)直到得不出新的打号的行、列为止； (5)对没有打号的行画横线，有打号的列画纵线，这就得到覆盖所有0元素的最少直线数 l 。l 应等于m，若不相等，说明试指派过程有误，回到第二步(4)，另行试指派；若 lm n，须再变换当前的系数矩阵，以找到n个独立的0元素，为此转第四步。 第四步：变换矩阵(bij)以增加0元素。 在没有被直线覆盖的所有元素中找出最小元素，然后打各行都减去这最小元素；打各列都加上这最小元素（以保证系数矩阵中不出现负元素）。新系
25、数矩阵的最优解和原问题仍相同。转回第二步。,例一：,-2,-4,-9,-7,-4,-2,有一份中文说明书，需译成英、日、德、俄四种文字，分别记作A、B、C、D。现有甲、乙、丙、丁四人，他们将中文说明书译成不同语种的说明书所需时间如下表所示，问如何分派任务，可使总时间最少？,例二、,求解过程如下： 第一步，变换系数矩阵：,5,第二步，试指派：,找到 3 个独立零元素 但 m = 3 n = 4,第三步，作最少的直线覆盖所有0元素：,独立零元素的个数m等于最少直线数l，即lm=3n=4；,第四步，变换矩阵(bij)以增加0元素：没有被直线覆盖的所有元素中的最小元素为1，然后打各行都减去1；打各列都加上1，得如下矩阵，并转第二步进行试指派：,得到4个独立零元素， 所以最优解矩阵为：,15,练习：,11,5,7,6,4,戊,6,9,6,3,7,丁,8,6,4,5,8,丙,9,11,7,12,9,乙,11,8,9,5,7,甲,E,D,C,B,A,费 工作 用 人员,-1,-2,l =m=4 n=5,l =m=4 n=5,此问题有多个最优解,28,用匈牙利法求解下列指派问题，已知效率矩阵分别如下：,