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1、组合(3) -组合的应用,2019年8月21日星期三,一、复习回顾：,组合：从n个不同元素中取出m（mn）个不同元素，并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合,组合数：从n个不同元素中取出m(mn)个不同 元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中 取出m个元素的组合数，用符号 表示.,组合数公式：,性质2：,例1.从1，2，3，9，中，取出2个奇数和3个偶数，能组成多少个没有重复的五位数,例2.现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作； 有4名能胜任德语翻译工作（其中有1名青年两项工 作都能胜任），现在要从中挑选5名青年承担一项任 务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译
2、 工作，则有多少种不同的选法？,二、例题选讲：,方法：根据两项工作都能胜任的青年的各种工作情况分成三类.,练习按下列条件，从名男生和名女生中选人 参加数学竞赛， （1）男女生各人有多少种选法？ （2）男生甲与女生乙必须在内有多少种？ （3）男生甲与女生乙至少有人在内有多少种？ （4）要求有女生但人数必须少于男生有多少种？,练习1.从编号为1，2，3，10，11的共11个球中，取出5个球，使得这5个球的编号之和为奇数，则一共有多少种不同的取法？,例 有13个队参加篮球赛,比赛时先分成两组,第一组7个队,第二组6个队.各组都进行单循环赛(即每队都要与本组其它各队比赛一场),然后由各组的前两名共4个
3、队进行单循环赛决出冠军、亚军,共需要比赛多少场?,例4.6本不同的书全部送给5人，每人至少1本，有多少种不同的送书方法？,方法：先任取2本“捆绑”看成一个元素，再将5个“不同元素（书）”送给5个人.,变题.4名优等生被保送到3所学校，每所学校至少得1名，则不同的保送方案总数为 .,变题三名飞行员和名特勤人员分别上架不同的战斗机执行任务，每架战斗机有名飞行员和名特勤人员，有多少种分法？,例,名身高互不相同的运动员站成一排 (1)其中甲乙丙三人自左到右按从高到低排列的排法有多少种？ (2)其中甲乙丙三人自左向右从高到低排列且互不相临的排法有多少种？,变式：名身高互不相同的同学站成一排照相， 要求正
4、中间的同学最高，左右分别按从高到低 排列，有多少种排法？,例.现有12人，按照下列要求分配，求不同的 分法种数.,分为两组，一组7人，一组5人； 分为甲、乙两组，甲组7人，乙组5人；,分析：把12人分成两组，一组7人，一组5人与把12人分成 甲、乙两组，甲组7人，乙组5人，实质上是一样的，都必须 分成两步： 第1步从12人中选出7人组成一组（或甲组）有C127种方法； 第2步剩余的5人组成一组（或乙组）有C55种方法. 所以、总的分配种数都为C127C55种.,思考：把12 人分为甲、乙两组，一组7人，一组5人,与比 较,有何相同和不同地方?,例.现有12人，按照下列要求分配，求不同的 分法种
5、数.,分为甲、乙两组，甲组7人，乙组5人； 分为甲、乙两组，一组7人，一组5人；,相同地方都是分成甲乙两组,一组7 人,一组5 人,有C127.C55种； 不同地方是一组7人，一组5人， 并没有指明甲乙谁是7 人，谁是5人，要考虑甲乙的顺序，所以要再乘以A22 ，所以 总的种数为C127C55A22.,分析： 把12个人分为甲、乙两组，每组6人，可分 成两步,第一步，从12人中抽出6人给甲组，有C126种， 余下的6人给乙组有C66种，所以共有C126C66种.,例.现有12人，按照下列要求分配，求不同的 分法种数.,分为甲、乙两组，一组7人，一组5人； 分为甲、乙两组，每组6人； 分为两组，
6、每组6人；,注意：上述、属于平均分配问题，必须注意，在平均 分配问题中如果没有给出组名，一定要除以组数的阶乘！,分析：把12个人分为两组，每组6人，与把12个人分为甲、乙两组，每组6人，相比较，显然分成甲、乙两组，这里有顺序关系，如123456分在甲组与123456分在乙组是不一样的，但作为分成两组却是一样的，所以把12个人分为两组，每组6人的种数为C126C66/A22种.相当于在的基础再作一步全排列.,例.现有12人，按照下列要求分配，求不同的 分法种数.,分为甲、乙两组，每组6人； 分为两组，每组6人；,例.现有12人，按照下列要求分配，求不同的 分法种数.,分为甲、乙、丙三组，每组4人
7、； 分为三组，每组4人； 分成三组，其中一组2人，另外两组都是5人.,分析：平均分配问题中，若没给出组名，一定要除以组数的 全排列数；部分平均分配问题中，先考虑不平均分配，剩下 的就是平均分配，这样分配问题就解决了.,方法小结：,1.非平均分配问题中，没有给出组名与给出组名是一 样的，可以直接分步求；给出了组名而没指明哪组是 几个，可以在没有给出组名（或给出组名但不指明各 组多少个）种数的基础上乘以组数的全排列数.,2.平均分配问题中，给出组名的分步求；若没给出组 名的，一定要在给出组名的基础上除以组数的全排列 数.,3.部分平均分配问题中，先考虑不平均分配，剩下的 就是平均分配，这样分配问题
8、就解决了.,跟踪练习,6本不同的书，按下列要求各有多少种不同选法？ (1)分给甲乙丙三人，每人本； (2)分为三份，每份本； (3)分给甲乙丙三人，一人本，一人本，一人本 (4)分为三份，一份本，一份本，一份本； (5)分给甲乙丙三人，每人至少本；,变题三名飞行员和名特勤人员分别上架不同的战斗机执行任务，每架战斗机有名飞行员和名特勤人员，有多少种分法？,十.元素相同问题隔板策略,例.有10个运动员名额，在分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？,解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排，相邻名额之间形成个空隙.,在个空档中选个位置插个隔板，可把名额分成份，对应地分给个班级，每一种插板方法
9、对应一种分法共有_种分法.,变式、10个三好学生名额分配到个班 级，每班至少一名，有几种分法？,变式：9张门票分给人，每人至少一张，则有多少种不同的方法？,变式:将7本相同的练习簿发给4名同学，每人至少一本，有多少种不同的分法？, 圆上有9个点,以其中每两个点为端点的线段有多少条?,过其中每三个点作圆的内接三角形,一共可以作多少个圆的内接三角形?,例9,返回,=,98,21,=,36,=,987,321,=,84,？,？,以其中每两个点为端点的有向线段有多少条?,答：,1、圆周上有 个等分点，以其中三个点为顶点的直角三角形有多少个？,2、圆上有 个点，以这 个点为端点的弦在圆的内部最多有多少个
10、交点？,拓展,例10、(1)凸十边形有多少条对角线？,(4)正六边形顶点和中心共个点，以其中个点为顶点的三角形有多少个？,(2)凸n边形有多少条对角线？,(3)平面内有个点，其中点共线，其他任何三点不共线，则这些点能确定多少直线？,变式:在不相交的两条线段 上分别有m,n个点，以这些点为端点的线段之间最多有多少个不同的交点？,1)以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有 个.,分析：间接法：8个顶点中任取4个顶点的组合数减去四点 共面的情况(分2类：1类构成表面；2类构成对角).,2)以一个正方体的8个顶点连成的异面直线共有 对.,分析：由上题中的每个四面体的四条棱可以组成3对异面直线.,课堂练习
11、1：,例11.某城市的街道，如图所示，有7街是南北走向，有5街是东西走向，问从A走到B的捷径有多少种？,思考题？,12:某幢楼从二楼到三楼的楼梯台阶共有10级,上楼可以一步上一级,也可以一步上二级,规定从二楼到三楼用8步走完,则上楼梯的方法有多少种?,巩固练习2,x+2y=10 X+y=8,分析：有x步走1级， 有y步走2级，则,x=6 y=2,=,87,21,=,28,返回,怎么算？,？,？,思考、方程 有多少组正整数解？,1.马路上有编号为1，2，3，10的十只路灯，为节约用电又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯
12、方法有多少种？,【思维点拔】 注意插空法的应用。解决一些不相邻问题时，可以先排一些元素然后插入其余元素，使问题得以解决。,思考题？,例2、将10个相同的小球装入3个编号分别为1,2,3的盒子（要装完），要求盒子里的球的个数不少于盒子的编号数，共有多少种不同的装法？,例3、在一次单循环的棋类比赛中，有2人各赛了3场后，因故退出了比赛，因此这次比赛共进行了83场，问开始时参赛的人有多少个？,例4、设集合M1,2,3,100，现从M中任取3个元素，使这3个元素的和恰为3的倍数，共有多少种不同的取法？,课堂练习2：,1.4名优等生被保送到3所学校，每所学校至少得1名，则不同的 保送方案总数为 . 2.
13、若把英语单词“error”中字母的拼写顺序写错了，则可能出 现的错误的种数是 . 3.15人按照下列要求分配，求不同的分法种数： 1)分为三组，每组5人； 2)分为甲、乙、丙三组，一组7人，另两组各4人； 3)分为甲、乙、丙三组，一组6人，一组5人，一组4人. 4.小于50000且含有两个5，而其它数字不重复的五位数 个. 5.8名同学选出4名站成一排照相，其中甲、乙两人都不站中间 两位的排法有 种. 6.某班有27名男生13女生，要选6人组成班委会和团支部,每队 3人，3人中2男1女，共有 种不同的选法.,课堂小结： 排列、组合问题解题方法比较灵活，问 题思考的角度不同，就会得到不同的解法. 若选择的切入角度得当，则问题求解简 便，否则会变得复杂难解. 学习中既要注意比较不同解法的优劣， 更要注意体会如何对一个问题进行认识思 考，才能得到最优方法.,