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1、1 专题 18 计数原理专题 18 计数原理 1【2019 年高考全国卷理数】（1+2x2 ）（1+x）4的展开式中x3的系数为 A12B16C20 D24 【答案】A 【解析】由题意得x3的系数为，故选 A 31 44 C2C4812 【名师点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数 2【2018 年高考全国卷理数】我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德 巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如在不超过 30 的素数中，30723 随机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是 ABCD 1 12 1 14 1 15 1
2、18 【答案】C 【解析】不超过 30 的素数有 2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共 10 个，随机选取两个不同的数， 共有种方法，其和等于 30 的有 3 种方法，分别是 7 和 23，11 和 19，13 和 17，所以随机选取 2 10 C45 两个不同的数，其和等于 30 的概率为，选 C 31 = 4515 3【2018 年高考全国卷理数】的展开式中的系数为 5 2 2 x x 4 x A10B20C40D80 【答案】C 【解析】由题可得的展开式的通式为，令， 5 2 2 x x 5 210 3 155 2 CC2 r r rrrr r Txx x 1034r
3、得，所以展开式中的系数为故选 C2r 4 x 22 5 C240 4 【2017 年高考全国卷理数】安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成， 则不同的安排方式共有 A12 种B18 种C24 种D36 种 【答案】D 【解析】由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三 份：有种方法，然后进行全排列，由乘法原理，不同的安排方式共有种故选 D 2 4 C 23 43 CA36 2 【名师点睛】 （1）解排列组合问题要遵循两个原则：按元素(或位置)的性质进行分类；按事情发生 的过程进行分步具体地说，解排列组合问题常以元
4、素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)， 再考虑其他元素(或位置) （2）不同元素的分配问题，往往是先分组再分配在分组时，通常有三种类型：不均匀分组；均 匀分组；部分均匀分组注意各种分组类型中，不同分组方法的求解 5【2017 年高考全国卷理数】展开式中的系数为 6 2 1 (1)(1)x x 2 x A15B20C30D35 【答案】C 【解析】因为，而展开式中含的项为 666 22 11 (1)(1)1 (1)(1)xxx xx 6 (1)x 2 x ，展开式中含的项为，故所求展开式中的系数为 222 6 1 C15xx 6 2 1 (1)x x 2 x 442 6 2 1 C15
5、xx x 2 x ，选 C15 1530 【名师点睛】对于两个二项式乘积的问题，用第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项，分析含 的项共有几项，进行相加即可这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成这一项的具体情况，尤 2 x 其是两个二项展开式中的不同r 6【2017 年高考全国卷理数】的展开式中的系数为 5 2xyxy 33 x y ABC40D808040 【答案】C 【解析】，由展开式的通项公式 555 222xyxyxxyyxy 5 2xy 可得：当时，展开式中的系数为； 5 15 C2 rr r r Txy 3r 5 2xxy 33 x y 3 32 5 C2140 当时，展开式中
6、的系数为，则的系数为2r 5 2yxy 33 x y 2 23 5 C2180 33 x y804040 故选 C 【名师点睛】 （1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的 条件(特定项)和通项公式， 建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件， 即n，r 均为非负整数，且nr，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求 所求解的项 （2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解 7【2019 年高考浙江卷理数】在二项式的展开式中，常数项是_；系数为有理数的项 9 ( 2)x 的个数是_
7、3 【答案】16 25 【解析】由题意，的通项为，当时，可得常数项为 9 ( 2)x 9 19 C ( 2)(0,1,29) rrr r Tx r 0r ；若展开式的系数为有理数，则，有共 5 个项故 09 19 C ( 2)16 2T 1,3,5,7,9r= 246810 T , T , T , T , T 答案为：， 16 2 5 【名师点睛】此类问题解法比较明确，首要的是要准确记忆通项公式，特别是“幂指数”不能记混，其 次，计算要细心，确保结果正确 8 【2018 年高考全国卷理数】从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女生入选， 则不同的选法共有_种 （用
8、数字填写答案） 【答案】16 【解析】根据题意，没有女生入选有种选法，从 6 名学生中任意选 3 人有种选法， 3 4 C4 3 6 C20 故至少有 1 位女生入选，则不同的选法共有种，故答案为：1620416 【名师点睛】该题是一道关于组合计数的题目，并且在涉及到至多、至少问题时多采用间接法，即利用 总的减去没有女生的选法种数，该题还可以用直接法，分别求出有 1 名女生和有 2 名女生分别有多少种 选法，之后用加法运算求解 9 【2018 年高考江苏卷）某兴趣小组有 2 名男生和 3 名女生，现从中任选 2 名学生去参加活动，则恰好选 中 2 名女生的概率为_ 【答案】 3 10 【解析】
9、从 5 名学生中抽取 2 名学生，共有种方法，其中恰好选中 2 名女生的方法有种， 2 5 C10 2 3 C3 因此所求概率为故答案为： 3 10 3 10 10 【2018 年高考浙江卷）从 1，3，5，7，9 中任取 2 个数字，从 0，2，4，6 中任取 2 个数字，一共可以 组成_个没有重复数字的四位数(用数字作答) 【答案】1260 【解析】 若不取 0， 则排列数为； 若取 0， 则排列数为， 因此一共可以组成 224 534 C C A 2113 5333 C C A A 224 534 C C A 个没有重复数字的四位数故答案为：1260 2113 5333 C C A A1
10、260 11【2018 年高考浙江卷）二项式的展开式的常数项是_ 83 1 () 2 x x 【答案】7 4 【解析】二项式的展开式的通项公式为， 8 3 1 2 x x 8 4 8 3 3 188 11 CC 22 r r r rr r r Txx x 令得，故所求的常数项为故答案为：7 84 0 3 r 2r 2 8 2 1 C=7 2 12【2018 年高考天津卷理数】在的展开式中，的系数为_ 5 1 () 2 x x 2 x 【答案】 5 2 【解析】二项式的展开式的通项公式为，令 5 1 () 2 x x 3 5 5 2 155 11 CC 22 rr r rrr r Txx x 可
11、得：，则的系数为：故答案为： 3 52 2 r2r 2 x 2 2 5 115 C10 242 5 2 13【2017 年高考浙江卷）从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2 人组成 4 人 服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有_种不同的选法（用数字作答） 【答案】660 【解析】由题意可得，“从 8 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2 人组成 4 人服务队” 总的选择方法为（种）方法，其中“服务队中没有女生”的选法有（种）方 411 843 CCC 411 643 CCC 法，则满足题意的选法有：（种） 故答案为：660 4
12、11411 843643 CCCCCC660 【名师点睛】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，有关排列组合的综合问 题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多 读题才能挖掘出隐含条件解题过程中要首先分清“是分类还是分步” 、“是排列还是组合” ，在应用 分类计数加法原理讨论时， 既不能重复交叉讨论又不能遗漏， 这样才能提高准确率 在某些特定问题上， 也可充分考虑“正难则反”的思维方式 14 【2017 年高考天津卷理数】用数字 1，2，3，4，5，6，7，8，9 组成没有重复数字，且至多有一个数字 是偶数的四位数，这样的四位数一
13、共有_个 （用数字作答） 【答案】1080 【解析】题中 4 个数字均为奇数的四位数有种，4 个数字中含有 1 个偶数，3 个奇数的四位数有 4 5 A 种，所以符合题意的四位数的个数为故答案为：1080 134 454 C C A 4134 5454 AC C A1080 【名师点睛】计数原理包含分类加法计数原理和分步乘法计数原理，本题中组成的四位数至多有一个 数字是偶数，包括四位数字有一个是偶数和四位数字全部是奇数两类，先利用分步乘法计数原理求每 5 一类中的结果数，然后利用分类加法计数原理求总的结果数 15 【 2017 年 高 考 浙 江 卷 ） 已 知 多 项 式， 则 325432
14、 12345 (1) (2)xxxa xa xa xa x a 4 a =_，=_ 5 a 【答案】16，4 【解析】由二项式展开式的通项公式可得，的展开式的通项为： 32 (1) (2)xx 2 32 CC2 rrmmm xx ，分别取和可得，取，可得 2 32 CC2 rmmr m x 0,1rm1,0rm 4 4 1216a 0rm 故答案为：16，4 2 5 1 24a 【名师点睛】本题主要考查二项式定理的通项与系数，属于简单题二项展开式定理的问题也是高考 命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开 式的通项公式（可以考查某一项，也可考查
15、某一项的系数） ； （2）考查各项系数和和各 1 Cr n rr rn Tab 项的二项式系数和；（3）二项式定理的应用 16【2017 年高考山东卷理数】已知的展开式中含有项的系数是 54，则_(1 3 )nx 2 xn 【答案】4 【解析】的展开式的通项公式为，令，得含有项的系数为(1 3 )nx 1 C (3 )C3 rrrrr rnn Txx 2r 2 x ，解得故答案为：4 22 C354 n 4n 【名师点睛】根据二项展开式的通项，确定二项式系数或确定二项展开式中的指定项，是二项式定理 问题中的基本问题，往往要综合运用二项展开式的系数的性质、二项展开式的通项求解本题能较好 地考查考
16、生的思维能力、基本计算能力等 17【2019年高考江苏卷理数】设已知 2* 012 (1),4, nn n xaa xa xa xnnN 2 324 2aa a （1）求n的值； （2）设，其中，求的值(13)3 n ab * , a bN 22 3ab 【答案】（1）；（2）5n 32 【解析】（1）因为， 0122 (1)CCCC4 nnn nnnn xxxxn， 所以， 23 23 (1)(1)(2) C,C 26 nn n nn nn aa 4 4 (1)(2)(3) C 24 n n nnn a 6 因为， 2 324 2aa a 所以， 2 (1)(2)(1)(1)(2)(3) 2
17、 6224 n nnn nn nnn 解得5n （2）由（1）知，5n 5 (13)(13) n 0122334455 555555 CC3C ( 3)C ( 3)C ( 3)C ( 3) 3ab 解法一：解法一： 因为，所以， * , a bN 024135 555555 C3C9C76,C3C9C44ab 从而 2222 3763 4432ab 解法二：解法二： 50122334455 555555 (13)CC (3)C (3)C (3)C (3)C (3) 0122334455 555555 CCC ( 3)C ( 3)C ( 3)(3C3) 因为，所以 * , a bN 5 (13)3ab 因此 22555 3(3)(3)(13)(13)( 2)32ababab 【名师点睛】本题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力