备战2020年高考高三一轮单元训练金卷 数学（理）： 第10单元 空间向量在立体几何中的应用 B卷 含答案.pdf

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1、 单元训练金卷高三数学卷（B） 第第 10 单元单元 空间向量在立体几何中的应用空间向量在立体几何中的应用 注意事项：注意事项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第卷第卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小

2、题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 1若直线 的方向向量与平面 的法向量的夹角等于 120，则直线 与平面 所成的角等于（ ） A120B30C60D60或 30 2若两个向量，则平面的一个法向量为（ ）1,2,3AB 3,2,1AC ABCD 3已知为直线 l 的方向向量，分别为平面 ， 的法向量不重合 那么下列说法中：v 1 n 2 n ； 12 nn 12 nn 1 l vn 1 l vn 正确的有（ ） A1 个B2 个C3 个D4 个 4如图，平行六面体中，与交于点，设，AB aAD b

3、1 AA c 则（ ） 1 B M ABCD 11 22 abc 11 22 abc 11 22 abc 11 22 abc 5在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（ ） 111 ABCABC 1 2ABBB 1 AB 1 C B ABC D 607510590 6 已知在长方体中， 是侧棱的中点， 则直线 与平面所成角的正弦值为（ ） ABCD 1 3 4 9 5 9 2 3 7已知，则“”是“，构成空间的12 3， ，a114 ， ，b13m， ，cabc 一个基底”的（ ） A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件 8已知正四棱柱的体积为，底面 ABCD 的边长为

4、 1，则二面角的 余弦值为（ ） ABCD 3 7 7 7 21 7 2 7 7 9在正方体中，点 E 是棱的中点，点 F 是线段上的一个动点有以下 三个命题： 异面直线与所成的角是定值；三棱锥的体积是定值；直线与平面 所成的角是定值，其中真命题的个数是（ ） A3B2C1D0 此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 10当动点 在正方体的体对角线上运动时，异面直线与所成角的取值 范围是（ ） ABCD , 6 4 , 6 3 , 4 3 , 3 2 11三棱柱的侧棱与底面垂直，N 是 BC 的中点， 点 P 在上，且满足，当直线 PN 与平面 ABC 所成的角取最大值时， 的

5、值为 （ ） ABCD 1 2 2 2 3 2 2 5 5 12 如图， 在三棱锥A-BCD中， 平面ABC平面BCD， BAC与BCD均为等腰直角三角形， 且BAC= BCD=90，BC=2，点 P 是线段 AB 上的动点，若线段 CD 上存在点 Q，使得异面直线 PQ 与 AC 成 30的角，则线段 PA 长的取值范围是（ ） ABCD 2 0 2 ， 6 0 3 ， 2 2 2 ， 6 2 3 ， 第卷第卷 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13若向量，且 与 的夹角为钝角，则实数的取值范围为 _ 14已知在长方体中，E 是侧棱的中点， 则

6、直线 AE 与平面所成角的正弦值为_ 15已知圆锥的顶点为 ， 为底面中心， ， ， 为底面圆周上不重合的三点，为底面的直径， ，为的中点设直线与平面所成角为 ，则的最大值为_ 16 ， 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形的直角边所在直线与 ， 都垂直， 斜边以直线为旋转轴旋转，有下列结论： （1）当直线与 成角时，与 成角； （2）当直线与 成角时，与 成角； （3）直线与 所成角的最小值为； （4）直线与 所成角的最小值为， 其中正确的是_（填写所有正确结论的编号） 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 个大题，共个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

7、分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（10 分） 如图四棱锥中， 底面是正方形， 且PABCDABCDPBBCPDCDPAAB ， 为中点EPD （1）求证：平面；PA ABCD （2）求二面角的正弦值ABEC 18 （12 分）如图，已知多面体的底面是边长为 2 的菱形，底面，PABCDEABCDPA ABCD ，且EDPA22PAED （1）证明：直线平面；BDPCE （2）证明：平面平面；PAC PCE （3）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值PCABCD45PCED 19 （12 分）如图，正方形边长为 ，平面平面， 1 2 CEDECEAB， （1）证明：； （2）

8、求二面角的余弦值 20 （12 分）如图，在四棱锥中，底面是梯形， 是正三角形， 为的中点，平面 平面 （1）求证：平面； （2）在棱上是否存在点 ，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值 ； 3 38 19 PF PD 若不存在，说明理由 21 （12 分）等腰直角三角形中，点 在边上，垂直交于 ，如图90ABC 将沿折起，使 到达 的位置，且使平面平面，连接，如图 （1）若 为的中点，求证：； （2）若，当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值 22 （12 分）如图，在圆柱中，点、分别为上、下底面的圆心，平面是轴截面，点 在 上底面圆周上（异于 、 ） ，点 为下底面圆弧的中点，点 与点

9、在平面的同侧，圆柱 的底面半径为 1，高为 2 （1）若平面平面，证明：； （2）若直线与平面所成线面角 的正弦值等于，证明：平面与平面所成 15 5 锐二面角的平面角大于 3 单元训练金卷高三数学卷（B） 第第 10 单元单元 空间向量在立体几何中的应用空间向量在立体几何中的应用 答答 案案 第卷第卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 1 【答案】B 【解析】设直线 与平面 所成的角为 ，则，故选 B 2 【答案】A 【解析】设平面

10、ABC 的法向量为，则，xyz， ，n 0 0 AB AC n n 即，令，则， 230 320 xyz xyz 即平面 ABC 的一个法向量为，故选 A121 ， ，n 3 【答案】B 【解析】平面 ， 不重合； 平面 ， 的法向量平行 垂直 等价于平面 ， 平行 垂直 ， 正确； 直线 l 的方向向量平行 垂直 于平面 的法向量等价于直线 l 垂直 平行 于平面 ，都错误 故选 B 4 【答案】D 【解析】， ，故选 D 11 111 222 B MAAABAD cab 5 【答案】D 【解析】由题意可得，平面，60ABC 1 BB ABC 设，则， 1 1BB 2AB 又， 11 ABB

11、BBA 11 BCBCBB 所以 1111 2 111 () ()AB BCBBBABCBBBB BCBBBA BCBA BB 0 122cos6000 故，即，即与所成角的大小为 11 ABBC 11 ABBC 1 AB 1 C B90 故选 D 6 【答案】B 【解析】在长方体中， 是侧棱的中点，以 为 原点，为 轴，为 轴，为 轴，建立空间直角坐标系， 0，0， ，0，1， 设平面的法向量为，则，取，得，, ,x y zn 1 240 20 DAxz DEyz n n 221 ， ，n 设直线与平面所成角为 ，则 44 sin 999 EA EA n n 直线与平面所成角的正弦值为，故选

12、 B 4 9 7 【答案】A 【解析】当“”时，131， ，c 易得，不共面，即，能构成空间的一个基底，abcabc 即“”是“，构成空间的一个基底”的充分条件；abc 当，能构成空间的一个基底，则，不共面，abcabc 设，共面，即，解得，即，abcxycab 1 23 34 xy yx xym 2 1 2 x y m 即，能构成空间的一个基底时，m 的取值范围为，abc 即当，能构成空间的一个基底，不能推出，abc 即“”是“，构成空间的一个基底”的不必要条件，abc 综合得：“”是，构成空间的一个基底”的充分不必要条件，故选 Aabc 8 【答案】C 【解析】过 D 作于 ，连接 AO，

13、 则就是二面角的平面角 正四棱柱的体积为，底面 ABCD 的边长为 1， 在中，可得， 3 2 DO 在中， 22 7 2 AOADDO 故选 C 3221 cos 277 OD AOD AO 9 【答案】B 【解析】以 A 点为坐标原点，AB，AD，所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为 1，可得 B(1，0，0)，C(1，1，O)，D(0，1，0)，(0，0，1)，(1，0，1)， (1，1，1)，(0，1，1)， 设 F(t，1，1-t)， （0t1） ，可得=(1，1，1)，=(t-1，1，-t)，可得， 11 0ACB F 故异面直线与所得角是定值，故

14、正确； 三棱锥的底面面积为定值，且，点 F 是线段上的一个动点， 可得 F 点到底面的距离为定值，故三棱锥的体积是定值，故正确； 可得=(t，1，-t)，=(0，1，-1)，=(-1，1，0)，可得平面的一个法向量为，1,1,1n 可得不为定值，故错误； 1 cos,AF n 故选 B 10 【答案】B 【解析】以 为原点，分别为 ， ， 轴正向，建立空间直角坐标系，DA DC 1 DD 则，设，则， 1 1,0,1AD 1 1, 1,1CA 1 CPCA ，CP ， ，1BP ， ， 故， 1 1 2 1 1 cos 2321 AD BP AD BP AD BP ， 对于函数，有： 2 2

15、12 3213 33 h x ，故， min 12 33 hxh 1 13 cos, 22 AD BP ， 又，故故选 1 0,AD BP ， 1 , 6 , 3 AD BP 11 【答案】A 【解析】如图，以 AB，AC，分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系， 则0，平面 ABC 的一个法向量为， 11 1 22 PN ，0,0,1n 设直线 PN 与平面 ABC 所成的角为 ， 2 1 sin 15 24 PN PN n n 当时，此时角 最大故选 A 1 2 max 2 5 sin 5 12 【答案】B 【解析】以 C 为原点，CD 为 轴，CB 为 轴，过 C 作平面 BCD 的

16、垂线为 轴，建立空间直角坐标系， 则， 设，0 0Q q， ，0APAB ， ， 则， ,0,00,1,10, ,PQCQCPCQCAAPq , 1,1q 因为异面直线 PQ 与 AC 所成的角为， 所以， 2222 2 223 cos30 2 22 211 CA PA CAPAq q 即，所以，所以，解得， 22 8 22 3 q 22 2 20,4 3 q 2 2 2 20 3 2 24 3 3 0 3 所以，即线段 PA 的长的取值范围是，故选 B 6 20, 3 AP 6 0, 3 第卷第卷 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13 【答案

17、】 【解析】因为 与 的夹角为钝角，所以且不同向 ，整理得 当反向时，所以 14 【答案】 4 9 【解析】在长方体中， 是侧棱的中点， 以 为原点，为 轴，为 轴，为 轴，建立空间直角坐标系， ，2,0,0A0,1,2E 1 2,0,4A0,0,0D2, 1, 2EA 1 2,0,4DA ，0,1,2DE 设平面的法向量为，则，取， 得, ,x y zn 1 240DAxz n20DEyz n ，2, 2,1 n 设直线与平面所成角为 ，则 44 sin 999 EA EA n n 直线与平面所成角的正弦值为 4 9 15 【答案】 【解析】以 AB 的中点 O 为坐标原点，建立如图所示的空

18、间直角坐标系， 不妨设，则：， 如图所示，由对称性不妨设且， 则，易知平面 SAB 的一个法向量为， ,1,3MCx y 10 0， ，m 据此有 2 2 112 sin48 24 13 MC x y y MC xy m m ，42 331 当且仅当时等号成立， 综上可得：的最大值为sin 16 【答案】 （1） （3） 【解析】由题意知，a、b、AC 三条直线两两相互垂直，画出图形如图， 不妨设图中所示正方体边长为 1，故|AC|1，|AB|， 斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴，则 A 点保持不变， B 点的运动轨迹是以 C 为圆心，1 为半径的圆， 以 C 坐标原点，以 CD 为 x 轴

19、，CB 为 y 轴，CA 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 则 D（1，0，0） ，A（0，0，1） ，直线 a 的方向单位向量，0,1,0a1a 直线 b 的方向单位向量，1,0,0b1b 设 B 点在运动过程中的坐标中的坐标 B（cos，sin，0） ， 其中 为 BC 与 CD 的夹角，0，2） ， AB在运动过程中的向量为，cos ,sin , 1AB 2AB 设与所成夹角为， AB a 0, 2 则， cossin101022 cossin0, 22 AB ， ， a , 24 （3）正确， （4）错误 设与所成夹角为， AB b 2 0, ， cossin110 02 coscos

20、 2 AB ABAB ， ， b bb 当与夹角为 60时，即， AB a 3 2 sin2cos 32 2cos ， 22 cossin1 21 coscos 22 ，此时与的夹角为 60， 2 0, 3 AB b （1）正确， （2）错误 故答案为（1） （3） 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 个大题，共个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 【答案】 （1）见解析；（2） 15 5 【解析】 （1）证明：底面为正方形，ABCDBCAB 又，平面，,BCPB ABPBBBCPABBCPA 同理，平面,CDP

21、A BCCDCPA ABCD （2）建立如图的空间直角坐标系，不妨设正方形的边长为 2，Axyz 则，0,0,0 ,2,2,0 ,0,1,1 ,2,0,0ACEB 设为平面的一个法向量，, ,x y zmABE 又，令，得0,1,1 ,2,0,0AEAB uu u ruu u r 0 20 AEyz ABx n n 1,1yz 0, 1,1m 同理是平面的一个法向量，则1,0,2nBCE 210 cos, 525 m n m n m n 二面角的正弦值为ABEC 15 5 18 【答案】 （1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 6 4 【解析】 （1）证明：连接 BD，交 AC 于点 O，

22、设 PC 中点为 F，连接 OF，EF 因为 O，F 分别为 AC，PC 的中点， 所以，且，因为，且，OFPA 1 2 OFPADEPA 1 2 DEPA 所以，且，OFDEOFDE 所以四边形 OFED 为平行四边形，所以，即，ODEFBDEF 又平面，面，所以面BD PCEEF PCEBDPCE （2）因为平面，平面，所以PA ABCDBD ABCDPABD 因为是菱形，所以ABCDBDAC 因为，所以平面，PAACABD PAC 因为，所以平面，/BDEFEF PAC 因为平面，所以平面平面FE PCEPAC PCE （3）解法 1：因为直线与平面所成角为，PCABCD45 所以，所以

23、，45PCA2ACPA 所以，故为等边三角形ACABABC 设 BC 的中点为 M，连接 AM，则AMBC 以 A 为原点，AM，AD，AP 分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系（如图） Axyz 则，(0,0,2),( 3,1,0),(0,2,1),(0,2,0)PCED( 3,1, 2)PC (3,11)CE ，(0,0,1)DE 设平面 PCE 的法向量为，则，即， 111 ,x y zn = 0 0 PC CE n n 111 111 320 30 xyz xyz 令，则，所以， 1 1y 1 1 3 2 x z ( 3,1,2)n 设平面 CDE 的法向量为，则，即， 222

24、,xyzm 0 0 DE CE m m 2 222 0 30 z xyz 令，则，所以， 2 1x 2 2 3 0 y z (1, 3,0)m 设二面角的大小为，由于为钝角，PCED 所以 |2 36 cos|cos,| | |42 2 2 n m n m nm 所以二面角的余弦值为PCED 6 4 解法 2：因为直线与平面所成角为，且平面，PCABCD45PA ABCD 所以，所以45PCA2ACPA 因为，所以为等边三角形2ABBCABC 因为平面，由（1）知，所以平面PA ABCD/PAOFOF ABCD 因为平面，平面，所以且OB ABCDOCABCDOFOBOFOC 在菱形中，ABC

25、DOBOC 以点为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系（如图） O,OB OC OF, ,x y zOxyz 则，(0,0,0), (0, 1,2),(0,1,0),(3,0,0),(3,0,1)OPCDE 则，(0, 2,2),(3, 1,1),(3, 1,0)CPCECD 设平面的法向量为，则，即，PCE 111 ,x y zn 0 0 CP CE n n 11 111 220 30 yz xyz 令，则，则法向量 1 1y 1 1 1 1 y z (0,1,1)n 设平面的法向量为，则，即，CDE 222 ,xyzm 0 0 CE CD m m 222 22 30 30 xyz xy 令，

26、则，则法向量 2 1x 2 2 3 0 y z (1,3,0)m 设二面角的大小为，由于为钝角，PCED 则 |36 cos|cos,| | |42 2 n m n m nm 所以二面角的余弦值为PCED 6 4 19 【答案】 （1）证明见解析；（2） 2 5 5 【解析】 （1）证明：平面平面，平面平面， ，面，平面， 又平面， 又，平面，平面， 又平面， （2）如图，以 为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则， 在直角中，易得， 1 2 ECa 33 0, 44 Eaa 13 0, 44 CEaa 由（1）知为平面的一个法向量，CE , ,0DBa a 33 0, 44 DEaa 设是平面

27、 BDE 的一个法向量，则，xyz， ，n 0 0 DB DE n n 即，令，则， 0 33 0 44 axay ayaz 113， ，n ， 13 2 5 44 cos, 5 5 2 aa CE CE a CE n n n 二面角的余弦值是 2 5 5 20 【答案】 （1）见证明；（2）见解析 【解析】 （1）证明：因为，且，AECD 所以四边形是平行四边形，从而，且，ADCE 又在正三角形中， 3 6 2 PEAB 从而在中，满足，所以， 又平面平面，平面平面，平面所以平面 （2）由（1）知，且，平面， 从而平面， 又平面，平面，所以， 以点 为原点，分别以射线为 轴， 轴， 轴正半轴

28、，建立空间直角坐标系， ， 假设在棱上存在点 满足题意， 设，则，PFPD 326326PF ， ， ， 32266AFAPPF ， 0 2 2 0BA ， 设平面的法向量，则，xyz， ，n 322660 2 20 xyz y 取得，得， 2 1 01 ， ，n 有平面的一个法向量，所以，10 0， ，m 3 cos,38 19 n m 从而， 2 2 1 3 38 19 2 1 1 因为，所以， 1 4 所以在棱上存在点 使得二面角的余弦值为，且 3 38 19 1 4 PF PD 21 【答案】 （1）详见解析；（2） 1 3 【解析】 （1），=D，平面， 又在图中，DEBC 平面，而

29、平面， ， 是的中点， 平面，而平面， （2）设，由，三棱锥的体积， 21 1288 442 3 2333 Vmmm 得三棱锥的体积最大时， 以，分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系， 则， 设面的法向量为，则，xyz， ，n4 224220PCxyzxyz ， ， ，n ，2 02220PExyzxz ， ， ，n 令，则，则，111， ，n 设面的法向量为，则，xyz， ，m0 22220PBxyzyz ， ， ，m ，2 02220PExyzxz ， ， ，m 令，则，则，111， ，m ， 1111111 cos, 33 3 ， ， ，n m n m n m 所以二面角的余弦值为

30、1 3 22 【答案】 （1）见证明；（2）见证明 【解析】 （1）由题知：面面，面面， 因为，平面，所以平面，平面，所以 （2）以点为坐标原点，分别以，为 、 、 轴建立空间直角坐标系 所以， 设，则，,1,0NHm n 设平面的法向量，因为， 1111 ,x y zn 1 1 0 0 NG NF n n 所以，所以，即法向量 111 111 1120 0 2 00 xyz xyz ， ， ， ， ， ， 111 1 20 20 xyz y 1 2 01， ，n 因此 215 5522 m n 1 222 2 1 22 sin 521 51 NHmm NHmnn mn n n 所以，解得 1 2 n ， 3 2 m ，所以点 31 ,2 22 H 设面的法向量 2222 xyz， ，n， 因为 2 2 0 0 NG NH n n ，所以 222 222 1120 3 1 00 22 xyz xyz ， ， ， ， ， ， 所以 222 22 20 31 0 22 xyz xy ，即法向量 2 13 13 2 ，n 因为面的法向量 3 10 0， ，n，所以 23 2 23 11 cos 2 13 4 2 nn nn ， 所以面与面所成锐二面角的平面角大于 3