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1、1 考点规范练 23 等差数列及其前 n 项和考点规范练 23 等差数列及其前 n 项和 一、基础巩固 1 1.已知Sn为等差数列an的前n项和,a2+a8=6,则S9等于( ) A.B.27C.54D.108 27 2 2 2.张丘建算经卷上一题为“今有女善织,日益功疾,且从第二天起,每天比前一天多织相同量的 布,现在一月(按 30 天计)共织布 390 尺,最后一天织布 21 尺”,则该女第一天织布多少 尺?( )(注:尺是中国古代计量单位,1 米=3 尺) A.3B.4C.5D.6 3 3.已知在每项均大于零的数列an中,首项a1=1,且前n项和Sn满足Sn-Sn-1=2 Sn - 1S
2、nSnSn - 1 (nN N*,且n2),则a81等于( ) A.638B.639C.640D.641 4 4.设等差数列an的前n项和为Sn,且a10,a3+a100,a6a70 的最大自然数n的值为 ( ) A.6B.7C.12D.13 5 5.若等差数列an的前n项和为Sn,且满足a2+S3=4,a3+S5=12,则a4+S7的值是( ) A.20B.36C.24D.72 6 6.已知an为等差数列,Sn为其前n项和.若a2=2,S9=9,则a8= . 7 7.已知在数列an中,a1=1,a2=2,其前n项和为Sn.当整数n2 时,Sn+1+Sn-1=2(Sn+S1)都成立,则 S15
3、= . 8 8.已知等差数列的前三项依次为a,4,3a,前n项和为Sn,且Sk=110. (1)求a及k的值; (2)设数列bn的通项bn=,证明:数列bn是等差数列,并求其前n项和Tn. Sn n 二、能力提升 9 9.已知函数f(x)的图象关于直线x=-1 对称,且f(x)在(-1,+)内单调,若数列an是公差不为 0 的 等差数列,且f(a50)=f(a51),则数列an的前 100 项的和为( ) A.-200B.-100C.-50D.0 1010.等差数列an的前n项和为Sn,已知a1=13,S3=S11,当Sn最大时,n的值是( ) 2 A.5B.6C.7D.8 1111.已知等差
4、数列an的前n项和为Sn,a20,a6a70,a70,a1+a13=2a70,S130 的最大自然数n的值为 12. 5 5.C 解析由a2+S3=4 及a3+S5=12, 得解得 4a1+ 4d = 4, 6a1+ 12d = 12, a1 = 0, d = 1, 所以a4+S7=8a1+24d=24.故选 C. 6 6.0 解析an为等差数列,Sn为其前n项和,a2=2,S9=9, a2= a1+ d = 2, S9= 9a1+ 9 8 2 d = 9, 解得d=-,a1=, 1 3 7 3 a8=a1+7d=0. 7 7.211 解析由Sn+1+Sn-1=2(Sn+S1),得(Sn+1-
5、Sn)-(Sn-Sn-1)=2S1=2,即an+1-an=2(n2),数列an从第 二项起构成以 2 为首项,2 为公差的等差数列, 则S15=1+214+2=211. 14 13 2 8 8.(1)解设该等差数列为an,则a1=a,a2=4,a3=3a, 由已知有a+3a=8,得a1=a=2,公差d=4-2=2, 所以Sk=ka1+d=2k+2=k2+k. k(k - 1) 2 k(k - 1) 2 由Sk=110,得k2+k-110=0, 解得k=10 或k=-11(舍去),故a=2,k=10. 4 (2)证明由(1)得Sn=n(n+1), n(2 + 2n) 2 则bn= =n+1, S
6、n n 故bn+1-bn=(n+2)-(n+1)=1, 即数列bn是首项为 2,公差为 1 的等差数列, 所以Tn=. n(2 + n + 1) 2 = n(n + 3) 2 9 9.B 解析因为函数f(x)的图象关于直线x=-1 对称,函数f(x)在(-1,+)内单调,所以f(x)在(-,- 1)内也单调,且数列an是公差不为 0 的等差数列. 又f(a50)=f(a51),所以a50+a51=-2, 所以S100=50(a50+a51)=-100. 100(a1+ a100) 2 1010.C 解析(方法一)由S3=S11,得a4+a5+a11=0,根据等差数列的性质,可得a7+a8=0.
7、根据首项等于 13 可推知这个数列为递减数列,从而得到a70,a80, a3a4,a3=9,a4=13, a1+ 2d = 9, a1+ 3d = 13, a1 = 1, d = 4. 通项公式an=4n-3. (2)由(1)知a1=1,d=4, Sn=na1+d n(n - 1) 2 =2n2-n=2.(n - 1 4) 2 - 1 8 当n=1 时,Sn最小,最小值为S1=a1=1. (3)由(2)知Sn=2n2-n, bn=, Sn n + c = 2n2- n n + c b1=,b2=,b3=. 1 1 + c 6 2 + c 15 3 + c 数列bn是等差数列, 2b2=b1+b
8、3,即2=, 6 2 + c 1 1 + c + 15 3 + c 2c2+c=0, c=-(c=0 舍去),故c=- . 1 2 1 2 1313.解(1)a4=2a2,且a1,4,a4成等比数列, 解得 a 1+ 3d = 2(a1+ d), a1(a1+ 3d) = 16, a1 = 2, d = 2. 数列an的通项公式为an=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n. (2)n同时满足:20n116;n能够被 5 整除, 满足条件的n组成等差数列bn,且b1=20,d=5,bn=115, 项数为+1=20. 115 - 20 5 bn的所有项的和为S20=2020+ 20195=1350. 1 2 又an=2n,即an=2bn, 6 满足条件的所有an的和为 2S20=21350=2700.