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1、1 考点规范练 45 二项式定理考点规范练 45 二项式定理 一、基础巩固 1 1.x(1+x)6的展开式中x3的系数为( ) A.30B.20C.15D.10 2 2.设n为正整数,的展开式中存在常数项,则n的一个可能取值为( )(x - 1 xx) 2n A.16B.10C.4D.2 3 3.(4x-2-x)6(xR R)展开式中的常数项是( ) A.-20B.-15 C.15D.20 4 4.若(1+)4=a+b(a,b为有理数),则a+b等于( )33 A.36B.46 C.34D.44 5 5.已知数列an为等差数列,且满足a1+a5=90.若(1-x)m展开式中x2项的系数等于数列
2、an的第三项, 则m的值为( ) A.6B.8 C.9D.10 6 6.在(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8的展开式中,含x3的项的系数是( ) A.74B.121 C.-74D.-121 7 7.使(nN N*)的展开式中含有常数项的最小的n为( )(3x + 1 xx) n A.4B.5 C.6D.7 8 8.已知(x+1)10=a1+a2x+a3x2+a11x10.若数列a1,a2,a3,ak(1k11,kZ Z)是一个单调递增数列, 则k的最大值是( ) A.6B.7 C.8D.5 2 9 9.二项式的展开式中的常数项为 . (2 x - 1 x) 6 1010.若
3、的展开式中x5的系数是-80,则实数a= . (ax2+ 1 x) 5 1111.设(x-2)5=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a5(x+1)5,则a1+a2+a5= . 1212.已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x3的系数为 5,则实数a= . 二、能力提升 1313.若的展开式中各项系数的和为 2,则该展开式中的常数项为( )(x + a x)(2x - 1 x) 5 A.-40B.-20 C.20D.40 1414.若(1+x+x2)6=a0+a1x+a2x2+a12x12,则a2+a4+a12=( ) A.256B.364 C.296D.513 1515.(x+y)(2
4、x-y)5的展开式中x3y3的系数为( ) A.-80B.-40 C.40D.80 1616.已知多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,则a4= ,a5= . 1717.若x9=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a9(x-1)9,则的值为 . a1+ a3+ a5+ a7+ a9 a7 三、高考预测 1818.已知二项式的展开式的二项式系数之和为 32,则展开式中含x项的系数是 .(x2+ 1 x) n 3 考点规范练 4545 二项式定理 1 1.C 解析因为(1+x)6的展开式的第(k+1)项为Tk+1=xk,所以x(1+x)6的展开式中x
5、3的项为Ck6C26 x3=15x3,所以系数为 15. 2 2.B 解析因为展开式的通项公式为Tk+1=x2n-k(-1)k,令=0,(x - 1 xx) 2n C k 2n(- 1 xx) k = C k 2n x 4n - 5k 2 4n - 5k 2 得k=,所以n可取 10. 4n 5 3 3.C 解析设展开式中的常数项是第(k+1)项,则Tk+1=(4x)6-k(-2-x)k=(-1)k212x-2kx2-Ck6Ck6 kx= (-1)k212x-3kx.Ck6 令 12x-3kx=0,解得k=4, 故常数项为T5=(-1)4=15.C46 4 4.D 解析(1+)4=1+)2+)
6、3+()4=28+16,由题设可得a=28,b=16,3C143 + C24(3C34(333 故a+b=44. 5 5.D 解析由题意,a3=45,(1-x)m展开式中x2项的系数为,所以=45,m=10. a1+ a5 2 = 90 2 C2mC2m 6 6.D 解析展开式中含x3项的系数为(-1)3+(-1)3+(-1)3+(-1)3=-121.C35C36C37C38 7 7.B 解析Tr+1=(3x)n-r3n-r,Crn( 1 xx) r = Crnxn - 5 2r 当Tr+1是常数项时,有n- r=0,故选 B. 5 2 8 8.A 解析由二项式定理知an=(n=1,2,3,1
7、1).又(x+1)10展开式中二项式系数最大项是第 6Cn - 1 10 项,故a6=,则k的最大值为 6.C 5 10 9 9.-160 解析二项式的通项为Tr+1=(-1)r26-rx3-r,(2 x - 1 x) 6 Cr6(2 x) 6 - r( - 1 x) r Cr6 令 3-r=0,则r=3. 故(-1)323=-208=-160.C36 1010.-2 解析因为Tr+1=(ax2)5-ra5-r,所以由 10- =5,解得r=2.因此a5-2=-80,Cr5( 1 x) r = Cr5x10 - 5r 2 5r 2 C25 解得a=-2. 1111.211 解析将(x-2)5=
8、a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a5(x+1)5化为(x+1)- 35=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a5(x+1)5, 令x+1=0,得a0=-35, 令x+1=1,得a0+a1+a2+a3+a4+a5=-25, 则a1+a2+a3+a4+a5=-25+35=211. 4 1212.- 解析(1+x)5=1+x+x2+x3+x4+x5, 1 2 C15C25C35C45C55 (1+ax)(1+x)5的展开式中x3的系数为a=5,C25+ C35 即 10a+10=5,解得a=- . 1 2 1313.D 解析在中,令x=1,(x + a x)(2x - 1 x) 5 得(
9、1+a)(2-1)5=2, 即a=1. 原式=x,(2x - 1 x) 5 + 1 x(2x - 1 x) 5 故常数项为x(2x)2(2x)3=-40+80=40.C35(- 1 x) 3 + 1 xC 2 5(- 1 x) 2 1414.B 解析令x=1,则a0+a1+a2+a12=36, 令x=-1,则a0-a1+a2-+a12=1, 由+,可得a0+a2+a4+a12=. 36+ 1 2 令x=0,则a0=1, 故a2+a4+a12=-1=364. 36+ 1 2 1515.C 解析(2x-y)5的展开式的通项公式Tr+1=(2x)5-r(-y)r.Cr5 当r=3 时,x(2x-y)
10、5的展开式中x3y3的系数为22(-1)3=-40;C35 当r=2 时,y(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为23(-1)2=80.C25 故展开式中x3y3的系数为 80-40=40. 1616.16 4 解析由二项式展开式可得通项公式为x3-rx2-m2m,分别取r=3,m=1 和r=2,m=2 可得Cr3Cm2 a4=4+12=16,令x=0 可得a5=1322=4. 1717. 解析令x=2,得 29=a0+a1+a2+a8+a9, 64 9 令x=0,得 0=a0-a1+a2-+a8-a9, 所以a1+a3+a5+a7+a9=a0+a2+a4+a6+a8=28. 又x9=1+(x-1)9,其中T8=(x-1)7,C79 所以a7=36,C79 故. a1+ a3+ a5+ a7+ a9 a7 = 256 36 = 64 9 5 1818.10 解析由题意可得,2n=32n=5, 所以Tr+1=(x2)5-rx10-3r,Cr5( 1 x) r = Cr5 令 10-3r=1r=3,所以展开式中含x项的系数是 10.