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1、- 1 - 课时跟踪检测（五十三） 抛物线课时跟踪检测（五十三） 抛物线 一、题点全面练 1(2019张掖诊断)过抛物线y24x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2) 两点，如果x1x26，则|PQ|( ) A9 B8 C7D6 解析 ： 选 B 抛物线y24x的焦点为F(1,0)，准线方程为x1.根据题意可得，|PQ| |PF|QF|x11x21x1x228.故选 B. 2顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(4，2)的抛物线的标准方程是( ) Ay2xB.x28y Cy28x或x2yDy2x或x28y 解析：选 D (待定系数法)设抛物线为y2mx，代入点P(4，2)，
2、解得m1，则抛 物线方程为y2x；设抛物线为x2ny，代入点P(4，2)，解得n8，则抛物线方程 为x28y.故抛物线方程为y2x或x28y. 3(2018河北“五个一名校联盟”模拟)直线l过抛物线y22px(p0)的焦点，且 与该抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是 8，AB的中点到y轴的距离是 2，则此抛物线的 方程是( ) Ay212xB.y28x Cy26xDy24x 解析：选 B 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线的定义可知|AB|(x1x2)p8. 又AB的中点到y轴的距离为 2，2，x1x24，p4，所求抛物线的方 x1x2 2 程为y28x.故选 B. 4(20
3、19昆明调研)过抛物线C：y22px(p0)的焦点F且倾斜角为锐角的直线l与C 交于A，B两点，过线段AB的中点N且垂直于l的直线与C的准线交于点M，若|MN|AB|， 则l的斜率为( ) A.B. 1 3 3 3 C.D1 3 2 解析：选 B 设抛物线的准线为m，分别过点A，N，B作AAm，NNm，BBm， 垂足分别为A，N，B. 因为直线l过抛物线的焦点， 所以|BB|BF|，|AA|AF|. 又N是线段AB的中点，|MN|AB|， - 2 - 所以|NN| (|BB|AA|) (|BF|AF|) |AB| |MN|， 所以MNN60， 1 2 1 2 1 2 1 2 则直线MN的倾斜角
4、是 120. 又MNl，所以直线l的倾斜角是 30，斜率是.故选 B. 3 3 5 (2018合肥模拟)已知直线yk(x2)(k0)与抛物线C：y28x相交于A，B两点，F 为C的焦点若|FA|2|FB|，则k( ) A.B. 1 3 2 3 C.D. 2 3 2 2 3 解析：选 D 设抛物线C：y28x的准线为l，易知l：x2，直线yk(x2)恒过定 点P(2,0)， 如图，过A，B分别作AMl于点M，BNl于点N，连接OB， 由|FA|2|FB|， 知|AM|2|BN|， 点B为线段AP的中点， 则|OB| |AF|， 1 2 |OB|BF|，点B的横坐标为 1， k0， 点B的坐标为(
5、1,2)，2 k.故选 D. 2 20 12 2 2 3 6一个顶点在原点，另外两点在抛物线y22x上的正三角形的面积为_ 解析：如图，根据抛物线的对称性得AOx30. 直线OA的方程yx， 3 3 代入y22x，得x26x0， 解得x0 或x6. 即得A的坐标为(6,2)3 |AB|4，正三角形OAB的面积为 4612.3 1 2 33 答案：12 3 7已知抛物线y24x的焦点为F，过点F作一条直线交抛物线于A，B两点若|AF|3， 则|BF|_. 解析：由题意可知F(1,0)，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，点A在第一象限， - 3 - 则|AF|xA13，所以xA2，yA2，2
6、所以直线AB的斜率为k2. 2 2 21 2 则直线AB的方程为y2(x1)，2 与抛物线方程联立整理得 2x25x20，xAxB ， 5 2 所以xB ，所以|BF| 1 . 1 2 1 2 3 2 答案：3 2 8(2019贵阳模拟)过抛物线y22px(p0)的焦点F，且倾斜角为 60的直线交抛物 线于A，B两点，若|AF|BF|，且|AF|2，则p_. 解析 ： 过点A，B向抛物线的准线x 作垂线，垂足分别为C，D，过点B向AC作垂线， p 2 垂足为E，A，B两点在抛物线上，|AC|AF|，|BD|BF|. BEAC，|AE|AF|BF|， 直线AB的倾斜角为 60， 在 RtABE中
7、，2|AE|AB|AF|BF|， 即 2(|AF|BF|)|AF|BF|，|AF|3|BF|. |AF|2，|BF| ，|AB|AF|BF| . 2 3 8 3 设直线AB的方程为y，代入y22px，3(xp 2) 得 3x25px0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 3p2 4 x1x2p，|AB|x1x2p ，p1. 5 3 8 3 答案：1 9 已知过抛物线y22px(p0)的焦点， 斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x12 x2)两点，且|AB|9. (1)求该抛物线的方程； (2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求的值OC OA OB 解：(1)由
8、题意得直线AB的方程为y2，2(xp 2) 与y22px联立， 消去y有4x25pxp20， 所以x1x2.由抛物线定义得|AB|x1x2pp9， 5p 4 5p 4 所以p4，从而该抛物线的方程为y28x. - 4 - (2)由(1)得 4x25pxp20， 即x25x40，则x11，x24， 于是y12，y24，22 从而A(1，2)，B(4,4)22 设C(x3，y3)，则(x3，y3)(1，2)(4，4)(41,42)OC 2222 又y8x3，所以2(21)28(41)， 2 3 2 整理得(21)241，解得0 或2. 故的值为 0 或 2. 10设抛物线C：y22x，点A(2,0
9、)，B(2,0)，过点A的直线l与C交于M，N两点 (1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程； (2)证明：ABMABN. 解：(1)当l与x轴垂直时，l的方程为x2，可得M的坐标为(2,2)或(2，2) 所以直线BM的方程为yx1 或yx1. 1 2 1 2 (2)证明：当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线， 所以ABMABN. 当l与x轴不垂直时，设l的方程为yk(x2)(k0)， M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x10，x20. 由Error!得ky22y4k0， 可知y1y2 ，y1y24. 2 k 直线BM，BN的斜率之和为kBMkBN. y1 x12 y2 x22 x2y
10、1x1y22y1y2 x12x22 将x12，x22 及y1y2，y1y2的表达式代入式分子， 可得x2y1x1y22(y1y1) y1 k y2 k 0.所以kBMkBN0， 可知BM，BN的倾斜角互补， 所以ABM 2y1y24ky1y2 k 88 k ABN.综上，ABMABN. 二、专项培优练 (一)易错专练不丢怨枉分 1(2019大同模拟)点M(5,3)到抛物线yax2(a0)的准线的距离为 6，那么抛物线的 方程是( ) Ay12x2B.y12x2或y36x2 Cy36x2Dyx2或yx2 1 12 1 36 - 5 - 解析 ： 选 D 抛物线标准方程为x2y(a0)，当a0 时
11、，开口向上，准线方程为y 1 a ，则点M到准线的距离为 36，解得a，则抛物线方程为yx2； 1 4a 1 4a 1 12 1 12 当a0 时， 开口向下， 准线方程为y， 则点M到准线的距离为36， 解得a 1 4a 1 4a ，则抛物线方程为yx2. 1 36 1 36 2已知直线ya交抛物线yx2于A，B两点若该抛物线上存在点C，使得ACB为直 角，则实数a的取值范围为_ 解析：如图，设C(x0，x)(xa)，A(，a)，B(，a)， 2 02 0 aa 则(x0，ax)，CA a 2 0 (x0，ax)CB a 2 0 CACB，0，CA CB 即(ax)(ax)20， 2 02
12、0 整理得(ax)(1ax)0. 2 02 0 xa10，a1. 2 0 答案：1，) 3过抛物线x24y的焦点F作直线AB，CD与抛物线交于A，B，C，D四点，且ABCD， 则的最大值为_FA FB FC FD 解析：设A(xA，yA)，B(xB，yB)， 依题意可得，(|)FA FB FA FB 又因为|yA1，|yB1，FA FB 所以(yAyByAyB1)FA FB 设直线AB的方程为ykx1(k0)， 代入x24y，可得y2(24k2)y10， 所以yAyB4k22，yAyB1， 所以(4k24)FA FB 同理.FC FD ( 4 k24) 所以16.FA FB FC FD (4k
13、 2 4 k28) - 6 - 当且仅当k1 时等号成立 故FAFBFCFD的最大值为16. 答案：16 (二)交汇专练融会巧迁移 4与向量的交汇设抛物线C：y24x的焦点为F，过点(2，0)且斜率为 的直线与C 2 3 交于M，N两点，则( )FM FN A5 B6 C7D8 解析：选 D 由题意知直线MN的方程为y (x2)， 2 3 联立Error!解得Error!或Error! 不妨设M(1,2)，N(4,4) 又抛物线焦点为F(1,0)， (0,2)，(3,4)FM FN 03248.FM FN 5 与双曲线交汇已知双曲线C1：1(a0，b0)的离心率为 2， 若抛物线C2：x2 x
14、2 a2 y2 b2 2py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为 2，则抛物线C2的方程是( ) Ax216yB.x28y Cx2yDx2y 8 3 3 16 3 3 解析 ： 选 A 因为双曲线C1：1(a0，b0)的离心率为 2， 所以 2， 即4， x2 a2 y2 b2 c a a2b2 a2 所以3.因为双曲线的渐近线方程为bxay0，抛物线C2：x22py(p0)的焦点到 b2 a2(0， p 2) 双曲线的渐近线的距离为 2，所以2，解得p8，所以抛物线C2的方程是x216y. |a p 2| a2b2 6与不等式交汇已知抛物线C：x22py(p0)，P，Q 是C上任意两点
15、，点M(0，1) 满足0，则p的取值范围是_MP MQ 解析：过M点作抛物线的两条切线， 设切线方程为ykx1， 切点坐标为A(x0，y0)，B(x0，y0)， - 7 - 由y，得yx， x2 2p 1 p 则Error!解得k . 2 p 0 恒成立，AMB90，即AMO45，MP MQ |k|tan 451，即 1，解得p2， 2 p 由p0，则 0p2， p的取值范围为(0,2 答案：(0,2 7 与圆交汇已知抛物线C：x22py(p0)和定点M(0,1)， 设过点M的动直线交抛物线C 于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线的交点为N. (1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值； (2
16、)若ABN的面积的最小值为 4，求抛物线C的方程 解：设直线AB：ykx1，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 将直线AB的方程代入抛物线C的方程得x22pkx2p0， 则x1x22pk，x1x22p. (1)由x22py得y ，则A，B处的切线斜率的乘积为 ， x p x1x2 p2 2 p 点N在以AB为直径的圆上， ANBN， 1，p2. 2 p (2)易得直线AN：yy1(xx1)， 直线BN：yy2(xx2)， 联立， 得Error!结合式， x1 p x2 p 解得Error!即N(pk，1) |AB|x2x1|1k21k2x1x224x1x2 ，1k24p2k28p 点N到直线AB的距离d， |kxN1yN| 1k2 |pk22| 1k2 则ABN的面积SABN |AB|d2，当k0 时，取等号， 1 2 ppk2232p ABN的面积的最小值为 4， 24，p2，故抛物线C的方程为x24y.2p