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1、- 1 - 课时跟踪检测(十四) 导数的概念及运算课时跟踪检测(十四) 导数的概念及运算 一、题点全面练 1曲线yexln x在点(1,e)处的切线方程为( ) A(1e)xy10 B(1e)xy10 C(e1)xy10 D(e1)xy10 解析:选 C 由于ye ,所以y|x1e1,故曲线yexln x在点(1,e)处 1 x 的切线方程为ye(e1)(x1),即(e1)xy10. 2曲线f(x)x3x3 在点P处的切线平行于直线y2x1,则P点的坐标为( ) A(1,3) B(1,3) C(1,3)和(1,3) D(1,3) 解析 : 选 C f(x)3x21, 令f(x)2, 则 3x2
2、12, 解得x1 或x1, P(1,3) 或(1,3),经检验,点(1,3),(1,3)均不在直线y2x1 上,故选 C. 3.(2019四川名校联考)已知函数f(x)的图象如图所示,f(x)是 f(x)的导函数,则下列数值排序正确的是( ) A0f(2)f(3)f(3)f(2) B0f(3)f(2)f(3)f(2) C0f(3)f(3)f(2)f(2) D0f(3)f(2)f(2)f(3) 解析:选 C 设f(3),f(3)f(2),f(2)分别表示直线n,m,l的斜率,数形结合 知 0f(3)f(3)f(2)f(2),故选 C. 4 (2018安庆模拟)设曲线yeaxln(x1)在x0 处
3、的切线方程为 2xy10, 则a ( ) A0 B1 C2 D3 解析:选 D yeaxln(x1),yaeax,当x0 时,ya1.曲 1 x1 线yeaxln(x1)在x0 处的切线方程为 2xy10,a12,即a3. 5(2018延边期中)设点P是曲线yx3x 上的任意一点,则曲线在点P处切线3 2 3 的倾斜角的取值范围为( ) A. B. 0, 2) 5 6 ,) 2 3 ,) C. D. 0, 2) 2 3 ,) ( 2 ,5 6 解析:选 C 因为y3x2,故切线的斜率k,所以切线的倾斜角333 - 2 - 的取值范围为. 0, 2) 2 3 ,) 6 若曲线f(x)xsin x
4、1在x处的切线与直线ax2y10 相互垂直, 则实数a 2 _. 解析:因为f(x)sin xxcos x,所以fsincos1.又直线ax2y10 ( 2) 2 2 2 的斜率为 ,所以 11,解得a2. a 2( a 2) 答案:2 二、专项培优练 (一)易错专练不丢怨枉分 1若存在过点(1,0)的直线与曲线yx3和yax2x9 都相切,则a等于( ) 15 4 A1 或 B1 或 25 64 21 4 C 或 D 或 7 7 4 25 64 7 4 解析:选 A 因为yx3,所以y3x2, 设过点(1,0)的直线与yx3相切于点(x0,x), 3 0 则在该点处的切线斜率为k3x, 2
5、0 所以切线方程为yx3x(xx0),即y3x x2x. 3 02 02 03 0 又点(1,0)在切线上,所以x00 或x0 . 3 2 当x00 时,切线方程为y0.由y0 与yax2x9 相切可得a; 15 4 25 64 当x0 时, 切线方程为yx, 由yx与yax2x9 相切, 可得a1. 3 2 27 4 27 4 27 4 27 4 15 4 综上,a的值为1 或. 25 64 2(2019南昌模拟)设函数f(x)在(0,)内可导,其导函数为f(x),且f(ln x)xln x,则f(1)_. 解析 : 因为f(ln x)xln x, 令ln xt, 则xet, 所以f(t)e
6、tt, 所以f(x)xex, 所以f(x)1ex,所以f(1)1e11e. 答案:1e (二)素养专练学会更学通 3 逻辑推理已知f1(x)sin xcos x,fn1(x)是fn(x)的导函数, 即f2(x)f1(x), - 3 - f3(x)f2(x),fn1(x)fn(x),nN*,则f2 019(x)( ) Asin xcos x Bsin xcos x Csin xcos x Dsin xcos x 解析 : 选 A f1(x)sin xcos x, f2(x)f1(x)cos xsin x,f3(x)f2(x) sin xcos x,f4(x)f3(x)cos xsin x,f5(
7、x)f4(x)sin xcos x, fn(x) 的解析式以 4 为周期重复出现, 2 01945043, f2 019(x)f3(x)sin xcos x. 4逻辑推理曲线yln(2x1)上的点到直线 2xy80 的最短距离是( ) A2 B25 C2 D.33 解析 : 选A 设M(x0,ln(2x01)为曲线上的任意一点,则曲线在点M处的切线与直线2xy8 0 平行时,点M到直线的距离即为曲线yln(2x1)上的点到直线 2xy80 的最短距 离 y,2,解得x01,M(1,0)记点M到直线 2xy80 的距离 2 2x1 2 2x01 为d,则d2. |28| 41 5 5直观想象如图
8、,yf(x)是可导函数,直线l:ykx2是曲线y f(x)在x3 处的切线,令g(x)xf(x), 则曲线g(x)在x3 处的切线方 程为_ 解析:由题图可知曲线yf(x)在x3 处的切线斜率等于 ,即 1 3 f(3) .又g(x)xf(x), 所以g(x)f(x)xf(x),g(3)f(3)3f(3), 由题图 1 3 可知f(3)1, 所以g(3)3f(3)3,g(3)130,则曲线g(x)在x3 处的切线 ( 1 3) 方程为y30. 答案:y30 6逻辑推理、数学运算设函数f(x)ax ,曲线yf(x)在点(2,f(2)处的切线方 b x 程为 7x4y120. (1)求f(x)的解
9、析式; (2)曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0 和直线yx所围成的三角形的面积是否 为定值,若是,求此定值;若不是,说明理由 解:(1)方程 7x4y120 可化为yx3, 7 4 当x2 时,y . 1 2 - 4 - 又f(x)a,所以Error!解得Error! b x2 故f(x)x . 3 x (2)是定值,理由如下: 设P(x0,y0)为曲线yf(x)上任一点, 由f(x)1知曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为yy0(xx0), 3 x2(1 3 x2 0) 即y(xx0) (x 0 3 x0)(1 3 x2 0) 令x0,得y,得切线与直线x0 的交点坐标为. 6 x0(0, 6 x0) 令yx,得yx2x0,得切线与直线yx的交点坐标为(2x0,2x0) 所以曲线yf(x)在点P(x0,y0)处的切线与直线x0,yx所围成的三角形的面积S1 2 |2x0|6. | 6 x0| 故曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0 和直线yx所围成的三角形的面积为定 值,且此定值为 6.