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1、1 课时跟踪检测（五十四） 合情推理与演绎推理课时跟踪检测（五十四） 合情推理与演绎推理 一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1(2019徐州调研)已知f(n)1 (nN*)，经计算得f(4)2，f(8) 1 2 1 3 1 n ，f(16)3，f(32) ，则对于任意n(nN*)有不等式_成立 5 2 7 2 解析：观察已知中的等式： f(2) ，f(4)2，f(8) ， 3 2 5 2 f(16)3，f(32) ， 7 2 则f(2n). n2 2 答案：f(2n)n2 2 2设等差数列an的前n项和为Sn，则S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差数列类 比以上结论我们可以得到的一个真
2、命题为：设等比数列bn的前n项积为Tn，则 _成等比数列 解析：利用类比推理把等差数列中的差换成商即可 答案：T4， ， ， T8 T4 T12 T8 T16 T12 3由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： “mnnm”类比得到“abba” ； “(mn)tmtnt”类比得到“(ab)cacbc” ； “(mn)tm(nt)”类比得到“(ab)ca(bc)” ； “t0，mtxtmx”类比得到“p0，apxpax” ； “|mn|m|n|”类比得到“|ab|a|b|” ； “ ”类比得到“ ” ac bc a b ac bc a b 以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是_ 解
3、析：正确，错误 答案：2 4 (2018扬州期末)点(x0，y0)到直线AxByC0 的距离公式为d， |Ax0By0C| A2B2 通过类比的方法， 可求得 ： 在空间中， 点(1,1,2)到平面xy2z30 的距离为_ 解析：在空间中，点(1,1,2)到平面xy2z30 的距离d. |1143| 114 3 6 2 答案： 3 6 2 5(2019南京调研)已知函数f(x)x3x，对于等差数列an满足：f(a21)2， 2 f(a2 0163)2，Sn是其前n项和，则S2 017_. 解析：因为函数f(x)x3x为奇函数，且在 R 上单调递增， 又因为f(a21)2，f(a2 0163)2
4、，则a21(a2 0163)，即a2a2 0164， 即a1a2 0174. 则S2 017(a1a2 017)4 034. 2 017 2 答案：4 034 6(2018启东检测) x表示不超过x的最大整数，例如：3. S13，123 S210，45678 S321，9101112131415 依此规律，那么S10_. 解析：因为x表示不超过x的最大整数， 所以S1133，123 S22510，45678 S33721，9101112131415 Snn(2n1)，n2n21n22n22n1n22n 所以S101021210. 答案：210 二保高考，全练题型做到高考达标 1已知正三角形AB
5、C，它的高为h，内切圆的半径为r，则 ，类比这一结论可知： r h 1 3 正四面体SABC的高为H，内切球的半径为R，则 _. R H 解析：从平面图形类比空间图形，从二维类比三维， 可得如下结论：正四面体的内切球半径等于这个正四面体高的 . 1 4 证明如下：球心到正四面体一个面的距离即球的半径R， 连结球心与正四面体的四个顶点， 把正四面体分成四个高为R的三棱锥， 设正四面体一 个面的面积为S，所以 4SR SH，解得RH，所以 . 1 3 1 3 1 4 R H 1 4 答案： 1 4 2观察下列等式 121 3 12223 1222326 1222324210 照此规律，第n个等式可
6、为_ 解析：观察规律可知，第n个式子为 12223242(1)n1n2(1)n1 . nn1 2 答案：12223242(1)n1n2(1)n1nn1 2 3(2018南京第十三中学检测)某种树的分枝生长规律如图所示，第 1 年到第 5 年的 分枝数分别为 1,1,2,3,5，则预计第 10 年树的分枝数为_ 解析：因为 211,321,532，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以 第 10 年树的分枝数为 213455. 答案：55 4(2019南京模拟)观察下列式子：2， ，1 21 22 3 9 2 1 2 8，根据以上规2 33 41 22 33 44 5 25 2 律，第n(nN
7、*)个不等式是_ 解析 ： 根据所给不等式可得第n个不等式是1 22 3n n1 . n12 2 答案：1 22 3n n1 n12 2 5在平面几何中：ABC的C内角平分线CE分AB所成线段的比为.把这个结 AC BC AE BE 论类比到空间：在三棱锥ABCD中(如图)，平面DEC平分二面角ACDB且与AB相交于E， 则得到类比的结论是_ 解析：由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得 4 . AE EB S ACD S BCD 答案： AE EB S ACD S BCD 6 (2018常州调研)已知数组， 记该数组为(a1)， ( 1 1) ( 1 2， 2 1) ( 1 3， 2 2，
8、 3 1) ( 1 4， 2 3， 3 2， 4 1) (a2，a3)，(a4，a5，a6)，则a2 019_. 解析：设a2 019是第M组数中的第N个数， 则Error! 解得M64，且 123632 016， 2 0192 0163， a2 019. 3 62 答案： 3 62 7(2018沭阳月考)将正奇数按如下规律填在 5 列的数表中：则 2 019 排在该表的第 _行，第_列(行是从上往下数，列是从左往右数). 1357 1513119 17192123 31292725 解析：2 0192528325385，2 019 在第 253 行， 第三列数：3,11,19,27，规律为
9、8n5， 2 019 应该出现在第 3 列 答案：253 3 8如果函数f(x)在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意x1，x2，xn，都 有f.若ysin x在区间(0， )上是凸函 fx1fx2fxn n( x1x2xn n) 数，那么在ABC中，sin Asin Bsin C的最大值是_ 解析：由题意知，凸函数满足 f ， fx1fx2fxn n( x1x2xn n) 又ysin x在区间(0，)上是凸函数， 则 sin Asin Bsin C3sin3sin. ABC 3 3 3 3 2 5 答案： 3 3 2 9(2018苏州调研)已知函数f(x)ln x，g(x)x2xm. (
10、1)当m0 时，求函数F(x)f(x)g(x)在(0，a的最大值； (2)证明 ： 当m3 时，不等式f(x)g(x)x2(x2)ex对任意x均成立(其 1 2，1 中 e 为自然对数的底数，e2.718) 解：(1)当m0 时，F(x)ln xx2x，x(0，)， 则F(x)，x(0，)， 2x1x1 x 当 0x1 时，F(x)0；当x1 时，F(x)0， 所以F(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减， 所以当 0a1 时，F(x)的最大值为F(a)ln aa2a； 当a1 时，F(x)的最大值为F(1)0. (2)证明：f(x)g(x)x2(x2)ex可化为m(x2)exln
11、 xx， 设h(x)(x2)exln xx，x， 1 2，1 要证m3 时，mh(x)对任意x均成立， 1 2，1 只要证h(x)max3 即可，下证此结论成立 因为h(x)(x1)，所以当 x1 时，x10， (e x1 x) 1 2 设u(x)ex ，则u(x)ex0， 1 x 1 x2 所以u(x)在上单调递增， ( 1 2，1) 又因为u(x)在区间上的图象是一条不间断的曲线， 且u20，u(1)e1 1 2，1( 1 2) e 0， 所以x0，使得u(x0)0，即 e，ln x0x0， ( 1 2，1) 0 x 1 x0 当x时，u(x)0，h(x)0； ( 1 2，x 0) 当x(
12、x0,1)时，u(x)0，h(x)0； 所以函数h(x)在上单调递增，在(x0,1上单调递减， 1 2，x 0) 所以h(x)maxh(x0)(x02)eln x0x0(x02)2x012x0. 0 x 1 x0 2 x0 6 因为y1 2x在x上单调递增， 2 x( 1 2，1) 所以h(x0)12x01223，即h(x)max3， 2 x0 所以当m3 时，不等式f(x)g(x)x2(x2)ex对任意x均成立. 1 2，1 10已知O是ABC内任意一点，连结AO，BO，CO并延长，分别交对边于A，B， C，则1，这是一道平面几何题，其证明常采用“面积法”： OA AA OB BB OC C
13、C 1. OA AA OB BB OC CC S OBC S ABC S OCA S ABC S OAB S ABC S ABC S ABC 请运用类比思想，对于空间中的四面体ABCD，存在什么类似的结论，并用“体积法” 证明 解 ： 在四面体ABCD中， 任取一点O， 连结AO，DO，BO，CO并延长， 分 别交四个面于E，F，G，H点 则1. OE AE OF DF OG BG OH CH 证明：在四面体OBCD与ABCD中， . OE AE h1 h 1 3S BCDh1 1 3S BCDh VOBCD VABCD 同理有；. OF DF VOABC VDABC OG BG VOACD
14、VBACD OH CH VOABD VCABD 所以 OE AE OF DF OG BG OH CH 1. VOBCDVOABCVOACDVOABD VABCD VABCD VABCD 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1观察下列事实：|x|y|1 的不同整数解(x，y)的个数为 4，|x|y|2 的不同 整数解(x，y)的个数为 8， |x|y|3 的不同整数解(x，y)的个数为 12， 则|x|y|20 的不同整数解(x，y)的个数为_ 解析 ： 由|x|y|1 的不同整数解的个数为 4， |x|y|2 的不同整数解的个数为 8， |x|y|3的不同整数解的个数为12， 归纳推理得|x|y|
15、n的不同整数解的个数为4n， 故|x|y|20 的不同整数解的个数为 80. 答案：80 2古希腊的数学家研究过各种多边形数记第n个k边形数为N(n，k)(k3)，以下 列出了部分k边形数中第n个数的表达式： 7 三角形数 N(n,3)n2n 1 2 1 2 四边形数 N(n,4)n2 五边形数 N(n,5)n2n 3 2 1 2 六边形数 N(n,6)2n2n 可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(20,15)的值为_ 解析：原已知式子可化为N(n,3)n2nn2n； 1 2 1 2 32 2 43 2 N(n,4)n2n2n； 42 2 44 2 N(n,5)n2nn2n； 3 2 1
16、 2 52 2 45 2 N(n,6)2n2nn2n. 62 2 46 2 故N(n，k)n2n， k2 2 4k 2 N(20,15)202202 490. 152 2 415 2 答案：2 490 3.(2018东台中学检测)如图，已知双曲线1，F1，F2是 x2 4 y2 9 左右两个焦点，点M在双曲线上 (1)若F1MF290，求F1MF2的面积； (2)若F1MF2120，F1MF2的面积是多少？若F1MF260， F1MF2的面积又是多少？ (3)观察以上结果，你能猜出随着F1MF2的度数的变化， F1MF2的面积将怎样变化吗？试证明你的结论 解：由双曲线方程知a2，b3，c，13
17、 设MF1r1，MF2r2(r1r2)，由双曲线的定义，得r1r22a4， 将r1r24 两边平方得rr2r1r216， 2 12 2 (1)若F1MF290，在 RtF1MF2中，有F1F4SF1MF216， 2 2 即 52164SF1MF2，解得SF1MF29. (2)若F1MF2120，在F1MF2中，由余弦定理得F1Frr2r1r2cos 120， 2 22 12 2 即F1F(r1r2)23r1r2， 2 2 即(2)2423r1r2，所以r1r212，13 8 可得SF1MF2r1r2sin 1203. 1 2 3 同理可得，若F1MF260时，SF1MF29.3 (3)由此猜想：随着F1MF2的度数的逐渐增大，F1MF2的面积将逐渐减小 证明如下：令F1MF2(0)， 则SF1MF2r1r2sin ， 1 2 由双曲线的定义及余弦定理， 得Error! 得r1r2， 4c24a2 21cos 所以SF1MF2， c2a2sin 1cos b2 tan 2 因为 0，0，所以当时，tan 是增函数 2 2 2(0， 2) 2 而当 tan 逐渐增大时，SF1MF2将逐渐减小，所以随着F1MF2的度数的逐渐 2 b2 tan 2 增大，F1MF2的面积将逐渐减小