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1、1,第三章 线性弹性和非线性弹性,3.1线性弹性 虎克定律与弹性常数,Hooke定律： C为弹性常数,线性弹性也称为虎克弹性 应力与应变之间存在线性关系,2,拉伸应力 = F / A0 （A0为材料的起始截面积） 拉伸应变（相对伸长率）e = （l - l0）/l0 = Dl / l0,泊松比(Poison,s ratio),E为tensile elastic modulus 简称拉伸模量,3,简单剪切示意图,剪切应变 = tg 剪切应力 = F / A0,G为shear modulus,0 0.5 2 E/G 3,4,材料受到均匀压力压缩时发生的体积形变称压缩应变（ V）。,A0,材料经压缩
2、以后，体积由V0缩小为V，则压缩应变： V = （V0 - V）/ V0 = DV / V0,K为bulk modulus,5,弹性常数之间关系 推导？,6,3.2 线性弹性变形特点 1 变形小 2 变形无时间依赖性 3 形变能完全回复 4 无能量损失 5 应力与应变呈线性关系.,7,3.3 非线性弹性(橡胶弹性)变形特点 1 形变量大（链段运动） 2 变形有时间依赖性 3 变形能完全回复（相同） 4 小形变时符合线性弹性 5 变形时有热效应 6 弹性模量随温度上升而增大.,8,3.4 线性弹性与非线性弹性变形的热力学分析 1 理论推导 利用热力学第一，二定律分析弹性力(应力)与内能,熵之间的
3、关系。,PdV为体积膨胀功, dw为有用功,等温可逆过程,9,等温等压过程,内能变化对拉应力的贡献,熵变化对拉应力的贡献,10,如等温,等压,则,11,Maxwell方程,12,内能变化对拉应力的贡献,熵变化对拉应力的贡献,13,2 结果讨论 实验证明,在线弹性变形来说,形变保持不变时, f 随温度几乎不变,即 很小, 也很小. 所以,线弹性变形时产生的弹性力主要是由于内能的变化,也即由于键角的改变,键的拉伸和旋转而引起内能的变化而产生,而不是熵变产生的. 线弹性也称为能弹性.,14,对于非线性弹性变形 f与T成线性关系，即,15,实验发现 很小。 即内能变化对橡胶弹性的贡献很小。 （1）当很
4、低时， 作用大，熵变贡献少。 （2）当变大时， 贡献也变大，但总的说，熵变化作用更大。 橡胶弹性也称为熵弹性。,16,非线性弹性(橡胶弹性) 讨论 1 橡胶弹性为熵弹性 2 理想弹性体 3 熵弹性体的模量比较小 4 当伸长率较大时,可能发生拉伸结晶,内能变化不能忽略.,17,作业题 运用热力学第一，二定律推导 ， 说明其物理含义，并以此式解释橡胶为什么能产生很大的形变，形变可逆及拉伸时放热 垂直悬挂一砝码于橡胶带下，使之呈拉伸状态，当周围的环境温度升高时，将观察到什么现象？并对此现象进行解释,18,3.5 线弹性适用范围,陶瓷材料 金属材料 高分子材料 a 交联聚合物 b 线性和支链聚合物,1
5、9,3.6影响聚合物弹性模量的因数,1 弹性模量谱 聚合物的模量可 相差3-4个数量级, 玻璃态高聚物的 弹性模量 为103-105 MPa, 橡胶和弹性体的 模量为0.1-1 MPa,20,2 弹性模量与温度的关系,无定型聚合物,交联聚合物,21,结晶性型聚合物,22,3 模量的分子量依赖性,无定型线性聚合物的拉伸模量与分子量的关系,23,4 交联度对模量影响,交联聚合物的拉伸模量与交联度的关系,24,5 结晶度的影响,结晶性型聚合物,25,6 取向的影响,实例 取向对高聚物模量的影响 双轴取向和未取向薄片的对比,26,3.7 聚合物弹性模量的测定,应力-应变（力-位移）的关系。 力 - 力
6、矩和压力等； 位移 角度变化，距离变化和体积变化。 接近简单实验,27,拉伸实验测定杨氏模量,利用光杠杆测定长度量微小变化的方法。,28,杨氏模量的测量原理图,L,D,K,直尺,望远镜,目镜,物镜,y0,y,钢丝,砝码盘,L,2,y,物镜调节旋纽,光杠杆,29,聚合物拉伸实验,万能试验机,30,双铲型 哑铃型,8字型 长条型,31,弯曲实验测定杨氏模量,简支梁（ASTM D790-63） 悬臂梁（ASTM D747-63）,32,扭转实验测量杨氏模量,扭矩L与扭转角有如下关系： Ip为圆截面的极惯性矩.,33,复合材料的弹性模量,聚合物基复合材料的弹性模量除了取决于聚合物和填料本身性质外，还与
7、填料的大小，形状，分布等因素相关。,34,Kerner推导出球性填料与线弹性聚合物组成的复合材料的弹性模量（聚合物完全粘附填料）,35,对于高弹态材料来说：G0G0，11. 如果聚合物不能很好粘附填料，Nielsen提出：,36,3.8 橡胶弹性的唯象理论,Mooney-Rivlin理论 Mooney在橡胶弹性理论创立之前（1940）提出了一种橡胶弹性的唯像理论。 橡胶是不可压缩的，在未变形状态下是各向同性。 简单剪切形变的状态方程可由虎克定律表示。 应变储能函数：,37,Rivlin在1948年发展了这一理论，一个特殊的情况就是取W级数展开式的头二项加以处理，就是Mooney-Rivlin理论。,38,材料拉伸时，当1时有 在剪切中，Mooney-Rivlin理论结果是 E=3G说明了？,39,橡胶弹性的剪切形变中，法相应力差不为0. 非线性的剪切试验，除了施加切向应力是不够的，还需要添加三个方向的法向应力。否则就不是简单剪切，法向上也会发生变形，这种作用叫做法向应力效应。,40,3.9 橡胶弹性的统计理论,橡胶弹性是熵弹性，故可用统计力学方法计算出体系的熵变化，就可以推导出材料宏观应力应变的关系。材料的熵变化与高分子链的构象相关，即构象的几率的变化：,41,熵弹性无内能变化 当变形很小时：1,42,对于橡胶弹性： 对于大的变形：,