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1、一、绝对值三角不等式 1.定理1：如果a，b是实数，则|ab| ，当且仅 当 时，等号成立.,|a|b|,ab0,(1)绝对值三角不等式的向量形式及几何意义是什么？ (2)不等式|a|b|ab|a|b|中“”成立的条件分别是什么？,提示：(1)当a，b不共线时，|ab|a|b|，它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边. (2)不等式|a|b|ab|a|b|，右侧“”成立的条件是ab0，左侧“”成立的条件是ab0且|a|b|；不等式|a|b|ab|a|b|，右侧“”成立的条件是ab0，左侧“”成立的条件是ab0且|a|b|.,2.定理2：如果a，b，c是实数，则 |ac| ，当且仅当 时，
2、等号成立.,|ab|bc|,(ab)(bc)0,二、绝对值不等式的解法 1.含绝对值的不等式|x|a的解集,2.|axb|c(c0)和|axb|c(c0)型不等式的解法 (1)|axb|c . (2)|axb|c .,caxbc,axbc或axbc,3.|xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式 的解法 方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形 结合的思想. 方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； 方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函 数与方程的思想.,1解不等式|xlog2x|x|log2x|.,解：原不等式成立只需xlog2x0， 即
3、 解集为x|0x1,2解不等式2x2|x|2,解：当x0时，有2x2x x 当x0时，有2x2x2 ， 即(2x)22 2x10. 解得2x 1，或2x 1(x0，故舍)，xlog2( 1)原不等式解为,3已知不等式2|x3|x4|2a. (1)若a1，求x的取值范围； (2)若已知不等式解集不是空集，求a的取值范围,解：(1)2|x3|x4|1.,3已知不等式2|x3|x4|2a. (1)若a1，求x的取值范围； ( 2)若已知不等式解集不是空集，求a的取值范围,解：(1)2|x3|x4|1.,4已知aR，解关于x的不等式|x|,解：原不等式等价于x 或x0恒成立， 原不等式等价于xa0或
4、(xa)(x2a)(x3a)a，或xa，或x3a,1对绝对值三角不等式定理|a|b|ab|a|b| 中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的 最值时 2该定理可以强化为：|a|b|ab|a|b|，它 经常 用于证明含绝对值的不等式 3对于y|xa|xb|或y|xa|xb|型的最值求 法利用该不等式更简洁、方便,“|xa|m，且|ya|m”是“|xy|2m”(x，y，a，mR)的_(填充分不必要条件，或必要不充分条件，或充要条件),利用绝对值三角不等式，推证 与|x-y|2m的关系即得答案.,解析：|xy|(xa)(ya)|xa|ya|mm2m， |xa|m，且|ya|m是|xy|2m
5、的充分条件 取x3，y1，a2，m2.5，则有 |xy|252m，但|xa|5， 不满足|xa|m2.5， 故|xa|m且|ya|m不是|xy|2m的必要条件,答案：充分不必要条件,1设f(x)x2x1，实数a满足|xa|1，求证： |f(x)f(a)|2(|a|1),证明：f(x)x2x1， |f(x)f(a)|x2xa2a| |xa|xa1|xa1|， |xa1|(xa)2a1|xa|2a1|1|2a|12(|a|1)， |f(x)f(a)|2(|a|1),绝对值不等式的常见类型及其解法 1形如|f(x)|a，|f(x)|a(aR)型不等式 此类不等式的简单解法是等价命题法，即 (1) 当
6、a0时，|f(x)|aaf(x)a. |f(x)|af(x)a或f(x)a. (2)当a0时，|f(x)|af(x)0. (3)当aaf(x)有意义,2含有两个绝对值的不等式的解法 (1)零点分段法 零点分段法解绝对值不等式的步骤：a.求零点；b.划分区 间、去绝对值号；c.分别解去掉绝对值的不等式；d.取每 个结果的并集，特别注意在分段时不要漏掉区间的端点值 注意：在利用分类讨论解决含多个绝对值的不等式时，应做 到分类不重、不漏；在某个区间上解出不等式后，不要忘了 与前提条件求交集,(2)利用|xa1|xa2|的几何意义 利用数形结合法，把绝对值转化为数轴上的动点x到两个 定点a1、a2的距
7、离之和(差),解下列不等式 (1)|2x5|7x； (2)|x1|x2|5.,(1)利用公式法转化 (2)采用零点分段讨论法，也可用绝对值的几何意义去解,解：(1)由不等式|2x5|7x，可得 解得x2或x2,（2）法一：分别求|x1|，|x2|的零点，即1，2. 由2,1把数轴分成三部分： x1. 当x1时，原不等式即x12x5，解得1x2. 综上，原不等式的解集为x|3x2,法二：不等式|x1|x2|5的几何意义为数轴上到2,1两个点的距离之和小于5的点组成的集合，而2,1两个端点之间的距离为3，由于分布在2,1以外的点到2，1的距离在2,1外部的距离要计算两次，而在2,1内部的距离则只计
8、算一次，因此只要找出2左边到2的距离等于 1的点3，以及1右边到1的距离等于 1的点2，这样就得到原不等式的解集为x|3x2,2若关于x的不等式|x2|x1|a的解集为，求实数 a的取值范围,解：法一：令y1|x2|x1|，y2a. y1、y2的图象如图所示： 由图可知，当a3时， |x+2|+|x-1|a的解集为.,法二：|x+2|+|x-1|表示数轴上的点A(x)到B(-2)和C(1)两点的距离之和， 而|BC|=3， 所以A到B、C 两点的距离之和的最小值为3. 若|x+2|+|x-1|a的解集为，只需a3即可 所以a的取值范围是a3.,绝对值不等式的证明主要有两类： 一是比较简单的不等
9、式，往往可通过平方法，换元法去掉绝对值转化证明，有时需要适当的添、拆项 二是综合性较强的函数型绝对值不等式问题，多用放缩法，涉及二次型的也可考虑最值或根的分布问题,设m等于|a|，|b|和1中最大的一个，当|x|m时，求证：,利用绝对值不等式放缩证明.,证明：|x|m|a|， 故原不等式成立,3已知二次函数f(x)x2axb(a，bR)的定义域为 1,1，且|f(x)|的最大值为M. (1)试证明|1b|M； (2)试证明,证明：(1)M|f(1)|1ab|， M|f(1)|1ab|， 2M|1ab|1ab|(1ab)(1ab)| 2|1b|，|1b|M. (2)依题意，M|f(1)|，M|f
10、(0)|，M|f(1)|， 又|f(1)|1ab|，|f(1)|1ab|， |f(0)|b|， 4M|f(1)|2|f(0)|f(1)| |1ab|2|b|1ab|(1ab)2b(1ab)|2， M,绝对值不等式是对必修5中“不等式”的补充和深化,其解法与证明是考查的重点，若单独命题，多以填空题形式出现，也可与其他知识结合考查解答题.如2009年福建21题，2009年辽宁24题，2009年宁夏、海南24题都考查了绝对值不等式的解法.,(2009辽宁高考)设函数f(x)|x1|xa|. (1)若a1，解不等式f(x)3； (2)如果对任意xR，f(x)2，求a的取值范围,解 (1)当a1时，f(
11、x)|x1|x1|， 由f(x)3得|x1|x1|3. 当x1时，不等式化为1x1x3， 即2x3. 不等式组 当1x1时，不等式化为 1xx13，不可能成立,的解集为,不等式组 的解集为. 当x1时，不等式化为 x1x13，即2x3. 不等式组 综上，f(x)3的解集为,的解集为,(2)若a1，f(x)2|x1|，不满足题设条件 若a1，f(x),f(x)的最小值为a1. 所以任意xR，f(x)2的充要条件是|a1|2， 从而a的取值范围为(，13，),对于|xa|xb|c型不等式的解法一直是考查的重点，利用零点分段函数讨论法时要注意讨论做到不重不漏，也可考虑绝对值的几何意义，对于(2)问实质上是不等式恒成立问题，其思路往往转化为最值，得参数不等式即可求解，若(2)改为不等式|x1|xa|a对于xR恒成立求a的范围，不妨一试如何解？,