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1、,专题15 推理与证明,推理与证明,主 干 知 识 梳 理,热 点 分 类 突 破,真 题 与 押 题,3,主干知识梳理,1.合情推理 (1)归纳推理 归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理. 归纳推理的思维过程如下：,实验、观察,概括、推广,猜测一般性结论,(2)类比推理 类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理. 类比推理的思维过程如下：,观察、比较,联想、类推,猜测新的结论,2.演绎推理 (1)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： 大前提已知的
2、一般原理； 小前提所研究的特殊情况； 结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断.,(2)合情推理与演绎推理的区别 归纳和类比是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理；类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理.从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确.,3.直接证明 (1)综合法 用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：,PQ1,Q1Q2,Q2Q3,QnQ,(2)分析法 用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示
3、为：,QP1,P1P2,P2P3,得到一个明显 成立的条件,4.间接证明 反证法的证明过程可以概括为“否定推理否定”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程.用反证法证明命题“若p，则q”的过程可以用如图所示的框图表示.,肯定条件p 否定结论q,导致逻 辑矛盾,“既p，又綈q” 为假,“若p，则q” 为真,5.数学归纳法 数学归纳法证明的步骤： (1)证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立. (2)假设nk(kN*，且kn0)时命题成立，证明nk1时命题也成立. 由(1)(2)可知，对任意nn0，且nN*时，命题都成立.,热点一 归纳推理,
4、热点二 类比推理,热点三 直接证明和间接证明,热点分类突破,热点四 数学归纳法,例1 (1)有菱形纹的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( ),热点一 归纳推理,思维启迪 根据三个图案中的正六边形个数寻求规律；,A.26 B.31 C.32 D.36,解析 有菱形纹的正六边形个数如下表：,由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列， 所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是65(61)31.故选B. 答案 B,(2)两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位的排法如图所示，则下
5、列座位号码符合要求的应当是( ),A.48,49 B.62,63 C.75,76 D.84,85,思维启迪 靠窗口的座位号码能被5整除或者被5除余1.,解析 由已知图形中座位的排列顺序，可得： 被5除余1的数和能被5整除的座位号临窗， 由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗， 分析答案中的4组座位号，只有D符合条件. 答案 D,变式训练1,(1)四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1、2、3、4号位上(如图)，第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，这样交替进行下去，那么第202次互换座位后，小兔坐在第_号座位上.,A.1 B.2 C.3 D.4,解析 考虑小兔所坐的座位
6、号，第一次坐在1号位上，第二次坐在2号位上，第三次坐在4号位上，第四次坐在3号位上，第五次坐在1号位上， 因此小兔的座位数更换次数以4为周期， 因为2025042，因此第202次互换后，小兔所在的座位号与小兔第二次互换座位号所在的座位号相同， 因此小兔坐在2号位上，故选B. 答案 B,热点二 类比推理,思维启迪 平面几何中的面积可类比到空间几何中的体积；,解析 平面几何中，圆的面积与圆的半径的平方成正比， 而在空间几何中，球的体积与半径的立方成正比，,所以,思维启迪 可利用和角或差角公式猜想，然后验证.,故知ch(xy)chx chyshx shy， 或sh(xy)shx chychx shy
7、， 或sh(xy)shx chychx shy. 答案 ch(xy)chx chyshx shy,变式训练2,解析 由an为等差数列，设公差为d，,又正项数列cn为等比数列，设公比为q，,答案 D,解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，,热点三 直接证明和间接证明,(1)求数列an，bn的通项公式；,思维启迪 利用已知递推式中的特点构造数列1 ；,由anan10，知数列an的项正负相间出现，,(2)证明：数列bn中的任意三项不可能成等差数列.,思维启迪 否定性结论的证明可用反证法.,证明 假设存在某三项成等差数列，不妨设为bm、bn、bp， 其中m、n、p是互不相等的正
8、整数，可设mnp，,那么只能有2bnbmbp，,所以假设不成立，那么数列bn中的任意三项不可能成等差数列.,变式训练3,(1)求数列an的通项an与前n项和Sn；,所以数列bn中任意不同的三项都不可能成等比数列.,热点四 数学归纳法,思维启迪 利用an的前n项确定通项公式(公差、首项)，bn的通项公式可分段给出；,(1)求an，bn；,解得a12，d4，所以an4n2.,思维启迪 先求Tn，归纳猜想Tn与2n2 的关系，再用数学归纳法证明.,解 T2n1223222432422n222n3,1222422n24(12n)3n,即n2时，4n4n1.,下面用数学归纳法证明： 当n2时，4216,
9、4219,169，成立； 假设当nk(k2)时成立，即4k4k1. 则当nk1时，4k144k4(4k1) 16k44k54(k1)1， 所以nk1时成立.,由得，当n2时，4n4n1成立.,变式训练4,(1)当n1,2,3时，试比较f(n)与g(n)的大小关系；,解 当n1时，f(1)1，g(1)1，所以f(1)g(1)，,(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明.,解 由(1)，猜想f(n)g(n)，下面用数学归纳法给出证明 当n1,2,3时，不等式显然成立 假设当nk(k3)时不等式成立，,那么，当nk1时，,即当nk1时，不等式成立. 由可知，对一切nN*，都有f(n)g(n
10、)成立.,1.合情推理的精髓是“合情”，即得到的结论符合“情理”，其中主要是归纳推理与类比推理.归纳推理是由部分得到整体的一种推理模式.类比推理是由此及彼的推理模式；演绎推理是一种严格的证明方式. 2.直接证明的最基本的两种证明方法是综合法和分析法，这两种方法也是解决数学问题时常见的思维方式.在实际解题时，通常先用分析法寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程.,本讲规律总结,3.数学归纳法是证明与正整数有关的数学命题的一种方法，在遇到与正整数有关的数学命题时，要考虑是否可以使用数学归纳法进行证明. (1)在证明过程中突出两个“凑”字，即一“凑”假设，二“凑”结论，关键是在证明nk1时要用
11、上nk时的假设,其次要明确nk1时证明的目标，充分考,虑由nk到nk1时，命题形式之间的区别和联系，化异为同，中间的计算过程千万不能省略. (2)注意“两个步骤、一个结论”一个也不能少，切忌忘记归纳结论.,真题感悟,押题精练,真题与押题,1,2,真题感悟,1.(2014福建)若集合a，b，c，d1,2,3,4，且下列四个关系： a1；b1；c2；d4.有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是_.,1,2,真题感悟,解析 由题意知中有且只有一个正确，其余三个均不正确，下面分类讨论满足条件的有序数组(a，b，c，d)的个数： (1)若正确，即a1，则都错误，即b1，c2
12、，d4.其中a1与b1矛盾，显然此种情况不存在；,1,2,真题感悟,(2)若正确，即b1，则都错误，即a1，c2，d4，则当b2时，有a3，c1；当b3时，有a2，c1，此时有2种有序数组. (3)若正确，即c2，则都错误，即a1，b1，d4，则a3，即此种情况有1种有序数组.,1,2,真题感悟,(4)若正确，即d4，则都错误，即a1，b1，c2，则当d2时，有a3，c4或a4，c3，有2种有序数组；当d3时，有c4，a2，仅1种有序数组. 综上可得，共有21216(种)有序数组. 答案 6,真题感悟,2,1,2.(2014陕西)观察分析下表中的数据：,猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式
13、是_.,解析 观察F，V，E的变化得FVE2.,FVE2,押题精练,1,2,1.圆周上2个点可连成1条弦，这条弦可将圆面划分成2部分；圆周上3个点可连成3条弦，这3条弦可将圆面划分成4部分；圆周上4个点可连成6条弦，这6条弦最多可将圆面划分成8部分.则n个点连成的弦最多可把圆面分成_部分.( ) A.2n1 B.2n C.2n1 D.2n2,押题精练,1,2,解析 由已知条件得：,押题精练,1,2,由此可以归纳出，当点数为n时，连成的弦数为 ；,弦把圆面分成的部分数为2n1，故选A. 答案 A,押题精练,1,2,押题精练,1,2,相加，得1223n(n1) n(n1)(n2). 类比上述方法，计算“123234n(n1)(n2)”的结果为_.,押题精练,1,2,解析 类比k(k1) k(k1)(k2)(k1)k(k1)，,可得到k(k1)(k2) k(k1)(k2)(k3)(k1) k(k1)(k2)，,先逐项裂项，然后累加即得 n(n1)(n2)(n3).,答案 n(n1)(n2)(n3),