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1、第九章 振动学基础,9-0 教学基本要求,9-1 简谐振动的规律,9-2 简谐振动的描述,9-3 简谐振动的合成,第九章 振动学基础,教学基本要求,一、理解简谐振动的基本特征, 了解研究谐振子模型的意义.,*二、能建立一维简谐振动的微分方程, 能根据给定的初始条件写出一维简谐振动的运动方程, 并理解其物理意义.,三、理解描述简谐振动的各物理量的物理意义和决定因素.,四、理解旋转矢量法和相位差的意义, 会用旋转矢量法分析和解决简谐振动问题, 会做振动曲线.,五、理解两个同方向、同频率简谐振动的合成规律.,*六、了解相互垂直的两个同频率简谐振动的合成.,9-1 简谐振动的规律,预习要点 注意简谐振
2、动的规律和特点. 如何判断一个振动是否为简谐振动？ 简谐振动的能量有什么特点? 简谐振动的周期由什么因素决定？如何计算一简谐振动的周期？ 研究谐振子模型的意义何在？,一、简谐振动的定义,1.弹簧振子,一个劲度系数为k的轻质弹簧的一端固定，另一端固结一个可以自由运动的物体，就构成一个弹簧振子.,2.弹簧振子振动的微分方程,弹簧振子偏离平衡位置O后，仅因回复力(弹性力)和惯性而自由往返运动.,有,弹簧振子的振动微分方程(动力学方程),解微分方程得,令,(1) 位移时间关系(振动方程),(2)速度时间关系,(4)能量特征,(3)加速度时间关系,弹簧振子的总的机械能,由,弹簧振子在振动过程中，系统的动
3、能和势能都随时间发生周期性变化，但动能和势能的总和保持为一个常量，即系统的机械能守恒.,其中,称为速度幅值和加速度幅值.,(5)振动曲线,振动曲线,从图可见，动能和势能的变化频率是位移变化频率的2倍，总能量并不改变。,曲线,3.简谐振动的定义,4.简谐振动的判据 (1)运动的微分方程(定义式). (2)机械振动也可用其受力特征或运动特征判断.,任一物理量x随时间t的变化关系如果满足微分方程,其中 是系统固有性质决定的常数,则此物理量作简谐运动.,二、简谐振动的固有周期,周期,频率,振动往复一次所需时间.,角频率,都表示简谐运动的周期性，反映振动的快慢.,弹簧振子固有周期,由,物体不再作简谐振动
4、。,当角不是很小时，,单摆,例: 质量为m长度为l的均匀细棒，绕O点作小角度摆动. 求振动周期.,重力矩,“ ”表示力矩与逆时针张角方向相反.,解:,令,得到振动微分方程,由,表明棒作角简谐振动,三、谐振子模型,符合简谐振动微分方程的振动体称为谐振子，它是振动学的研究基础. 弹簧振子、无阻尼LC振荡电路等是典型的经典谐振子模型，依据量子物理研究微观谐振子可揭示其能量量子化.,9-2 简谐振动的描述,预习要点 简谐振动的振幅和初相位由哪些因素决定? 如何确定它们的数值？ 注意相位在描述振动中的特殊而重要的作用. 注意领会旋转矢量表示及研究谐振动的方法.,一、振幅和初相位,1. 振幅,质点在振动过
5、程中离开平衡位置的最大位移的绝对值.,表征了系统的能量，由初始条件决定.,由,时,有,得,2. 相位,在 中， 称为振动的相位.,（1） ， 存在一一对应的关系；即其决定质点在时刻的t的位置和速度(即时刻t的运动状态).,（2）初相位 描述质点初始时刻的运动状态(初位置 和初速度 . 已知初始条件 也可确定初相.,上式可求得 在 区间内两个解，应进一步由 的符号判定 和 的符号后选定其中的一个解.,二、相位差,表示两个相位之差. 对于两个同频率的简谐运动，相位差表示它们间步调上的差异.,两个同频率的简谐运动相位差都等于其初相差而与时间无关.,1.相位差,2.超前和落后,若 ，则x2比x1较早达
6、到正最大，称x2比x1超前(或x1比x2落后).,3.同相和反相,当 =2k， ( k = 0,1,2,)，两振动步调相同，称同相.,当=(2k+1)， ( k=0,1,2,)，两振动步调相反，称反相.,振动系统本身性质,初始条件,一质点作简谐振动，振动方程为x=Acos(t+)，当时间t = T/2（T为周期）时，质点的速度为 (A) -A sin (B) A sin (C) -A cos (D) A cos ,三、简谐振动的旋转矢量表示法,可见，旋转矢量的长度A、角速度 和t=0时与x轴的夹角 分别代表投影点简谐振动的三个特征量：振幅、角频率和初相位.,所以，作匀速转动的矢量，其矢端在过其
7、始端的直线(x轴)上的投影的运动就是简谐振动.,A,简谐振动,旋转矢量,t+,T,振幅,初相,相位,圆频率,谐振动周期,半径长,初始角坐标,角坐标,角速度,旋转周期,物理模型与数学模型比较,如图为旋转矢量法,自Ox轴的原点O作一矢量，使其模等于振幅A，使A绕点O作逆时针的匀角速转动。,看矢量A的矢端M,矢量A在Ox轴上投影,恰是沿Ox轴作简谐运动的物体在t时刻相对于原点O的位移。,因此，旋转矢量A的矢端M在Ox轴上的投影点P的运动，可表示物体在Ox轴上的简谐运动。矢量A以角速度旋转一周，相当于物体在x轴上作一次完全振动。,旋转矢量法与振动曲线法相对照,旋转矢量本身并不作简谐运动，而是利用矢量端
8、点在Ox轴上的投影点的运动，来形象地展示简谐运动的规律。,注意：x轴正方向竖直向上。,利用旋转矢量法，可以很容易地表示两个简谐振动的位相差，即两个旋转矢量之间的夹角。,矢量在参考圆上的不同位置代表了质点的不同振动状态。,例：一物体沿X作谐振动振幅A=20cm,周期T=4s, t=0时物体的位移为-10cm且向 X轴负向运动。,求：（1）t=1s 时物体的位移；,（2）何时物体第一次运动到x=10cm处；,（3）再经多少时间物体第二次运动到x=10cm处；,解：,如图，,（1）t=1s 时物体的位移；,（2）何时物体第一次运动到x=10cm处；,（3）再经多少时间物体第二次运动到x=10cm处；
9、,试用旋转矢量法求这两个谐振动的初相差。以及两个质点第一次通过平衡位置的时刻。,解：设两质点的谐振动方程分别为,两质点沿X轴作同方向,同振幅A振动.其周期为5s,当t=0时,质点1 在 处向X轴负方向运动,而质点2在-A处，,例：,质点1第一次经过平衡位置的时刻,质点2第一次经过平衡位置的时刻,例: 已知简谐振动曲线x t,试写出此振动的运动方程,解：由图可以看出,由题意,(解析法),此题也可用旋转矢量法求解。,解：由图可以看出,9-3简谐振动的合成,预习要点 注意两个同方向同频率简谐振动的合振动规律. 分振动之间的相位差与合振动振幅有什么关系？ 了解两个互相垂直的简谐振动的合成.,一、两个同
10、方向同频率的简谐振动的合成,两个同方向同频率简谐运动合成后仍为简谐运动，角速度不变.,合振动振幅最大.,合振动振幅最小.,3. 一般情况,上述结果说明两个振动的相位差对合振动起着重要作用。,合成振动,例 已知两个同方向振动分别为：,(1) 求合振动的振幅和初相位；,解 (1),当 时， 与 合成振幅最小。,(2) 当 时， 与 合成振幅最大。,例 两条谐振动的曲线如图所示， 求合振动方程。,解 由谐振动曲线可写出两个分振动方程：,由图知，,今用旋转矢量法来求合振动：,合振幅,合振动的初相位由图可见：,故,*二、两个互相垂直的同频率的简谐振动的合成,两式消去t，合振动,分振动,为椭圆轨迹方程，顺时针运行.,为直线方程.,1.,同相位,2.,为标准椭圆方程，逆时针运行.,3.,反相位,4.,为标准椭圆方程，逆时针运行.,为直线方程.,