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1、1,第一章 基础知识：时域离散随机信号分析 1.1 随机序列与随机矢量,1.1.1时域离散随机信号(随机序列) 1. 随机序列的特征: 随机序列是所有可能的随机变量的集合, 其特征是: 幅度和时间均取离散值。其中离散时间用序号 表示； 每个时间点上的信号取值是随机的,不可预测。,2,2.符号与意义:,3,注意: 为方便计，以下讨论有时用 或 表示随机序列或随机变量；将样本序列简单表示为: ; ; ; ; ,根据随机过程的定义，一个随机序列就是一个随机过程。,4,1.1.2随机矢量,随机矢量 ，是有限维或无限维随机变量的集合，表示为: 其中， 表示随机变量在时间 的样本值。 有限维( 维)随机矢
2、量： 常用：一维 ；二维 。,5,1.2 随机序列的统计描述,随机变量取值是随机的，但其统计特性(包括概率特性和统计平均特性)是确定的， 因此 时域可用其特性量表征； 频域用功率谱表征。,6,二维: 描述随机序列中两个时间点( 与 )上的随机变量 与 之间的关系，即 上式含义: 与 点的随机变量 与 ，其取值同时满足 及 的概率, 亦称“二维联合概率分布函数”。,1.2.1概率描述 1.概率分布函数 一维: 描述随机序列在某一时刻 的统计特性, 即 上式含义：随机变量 在点 上取值不超过 的概率。,7,2.概率密度函数 一维: 设 取连续值, 则一维概率密度函数定义为: (1.2.3) 因此，
3、 可等价表示为： 式中， 是在范围 到 内， 取值的微概率。 二维: 对于连续变量 和 , 其二维概率密度函数为： (1.2.4),8,说明: 概率分布函数可完整地描述随机序列, 但实际中却很难得到。而随机序列的数字特征（统计平均值， 方差，相关函数等）比较容易测量和计算。 因此常用这些数字特征描述随机序列。,9,1.2.2 随机序列的数字特征,1.数学期望(统计平均值, 一阶原点矩) 定义： (1.2.5) 意义: 表示随机过程的全部样本在同一时刻( 点)随机变量 取值的中心(统计平均值)。,随机变量在n时刻的取值,取值区间x , x+x上的微概率(密度函数),10,2.均方值与方差 （1）
4、均方值 (二阶原点矩) 定义: (1.2.6) 意义: 如果 代表电流或电压, 均方值则表示在 时刻消耗在1电阻上的集合平均功率。 （2）方差 (二阶中心矩) 定义: (1.2.7),有时将x称为标准方差,11,意义: 方差表示 取值的分散程度（或偏离中心值的大小）。如果 代表电流或电压,方差则表示消耗在1电阻上的交变功率的集合平均. 3.相关函数与协方差函数 （1）自相关函数(二阶联合原点矩) 定义: (1.2.8) 式中的“*”表示复共轭。 意义: 反映同一随机序列在不同时刻取值的关联程度。,12,（2）自协方差函数(二阶联合中心矩) 定义: (1.2.9) 或者表示为： (1.2.10)
5、 若 , 则 (1.2.11) 即对零均值随机序列, 自相关函数与自协方差函数相等。 意义: 反映同一随机序列在不同时刻取值偏离中心值的关联程度。,13,（3）互相关函数 定义: (1.2.12) 意义: 描述两个随机序列在不同时刻取值的关联程度. （4）互协方差函数 定义: (1.2.13) 当 时， 有 (1.2.11) 意义: 描述两个随机序列在不同时刻取值偏离中心值的关联程度。,14,1.2.3 平稳随机序列及其数字特征,1.何谓平稳随机序列? 平稳随机序列的统计特性不随时间的平移而变化. 狭义(严)平稳随机序列: 其 维概率分布函数满足： (1.2.12) 即这类平稳随机序列的 维概
6、率分布函数与 的起始位置无关. 实际 很难实现狭义(严)平稳随机序列,将随机序列在时间上平移k, 其统计特性不变,意味着与时间起点无关,15,广义(宽)平稳随机序列: 均值和均方差不随时间改变, 其相关函数仅 是时间差的函数. 下面重点研究广义平稳随机序列, 并简称为“平稳随 机序列”. 2.实平稳随机序列的数字特征 （1）与时间 无关的数字特征： 均值: (1.2.13) 均方值: (1.2.14),16,方差: (1.2.15) （2）与起始时间 无关, 仅与时间差 有关的数字特征 自相关函数: (1.2.16a) 或 (1.2.16b),17,自协方差函数: (1.2.17) 互相关函数
7、: 或 (1.2.18) 互协方差函数: (1.2.19),18,3.实平稳随机序列的相关函数, 协方差函数的性质 （1）是 的偶函数: (1.2.20) (1.2.21) （2） 的值等于随机序列的平均功率: (1.2.22),参见： 1王永德.随机信号分析基础(第二版). p46, p49 2王宏禹.随机数字信号处理.p4,19,（3） (1.2.23) （4）随着时间差的增大, 随机序列内部的相关性减弱: (1.2.24) (1.2.25) （5） (1.2.26) (1.2.27),20,4.平稳随机序列互为正交与互不相关条件 （1）正交 对于所有的 , 若满足: , 则称两个随机序列
8、相互正交. （2）不相关 于所有的 , 若满足: , , 则称两个随机序 列互不相关. 小结 对于平稳随机序列, 其数字特征中最主要的是自相关函数 . 表 现为:,问题: 解释正交条件和互不相关条件.,21, 时, 均方值； 当 时, 与 不相关, 则 ； 当 时, ； 频域: 当 时, 功率谱函数。,22,1.2.4随机序列数字特征的矢量表示,已知 维随机矢量为 的均值矢量 的均值 是一个 维矢量: (1.2.28) 式中, 为 维随机矢量 的联合概率密度函数:,23, 的自相关矩阵 是一个 阶正半定对称矩阵: (1.2.29) 的自协方差矩阵 也是一个 阶正半定对称矩阵: (1.2.30) 和 之间的关系为： (1.2.31) 当 时, .,这里采用“现代数字信号处理简明教程”一书的符号Cxx.,