03-2希尔伯特和他的23个问题.ppt

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1、1,第二节 希尔伯特和他的23个问题,2,一、 希尔伯特的23个问题,希尔伯特（德国，18621943年）是19世纪末和20世纪上半叶最伟大的数学家之一。他提出的23个问题更是功勋卓著、影响深远。 那是1900年8月在巴黎召开的国际数学家大会上，年仅38岁的希尔伯特做了题为数学问题的著名讲演，根据19世纪数学研究的成果和发展趋势提出23个问题，成为数学史上的一个重要里程碑。,3,4,在世纪之交提出的这23个问题，涉及现代数学的许多领域。一个世纪以来，这些问题激发着数学家们浓厚的研究兴趣，对20世纪数学的发展起着巨大的推动作用。,5,希尔伯特的23个问题,1.证明“连续统假设”，即证明“可数基数

2、” 与“连续统基数”之间不存在任何基数。 2.研究算术公理的相容性。 3.两个等底等高的四面体的体积相等。 4.直线作为两点间最短距离的问题。,6,5.李（S.Lie）的连续变换群概念，但不要 定义群的函数的可微性假设。 6.物理学的公理化。 7.某些数的无理性和超越性。 8.素数问题。 9.在任意数域中证明最一般的互反定律。 10.丢番图方程的可解性。 11.系数为任意代数数的二次型。,7,12.阿贝尔域上的克罗内克定理在任意代 数有理域上的推广。 13.不可能用仅有两个变数的函数解一般 的七次方程。 14.证明某类完全函数系的有限性。 15.舒伯特(Schubert)计数演算的严格基 础。

3、 16.代数曲线与代数曲面的拓扑问题。,8,17.正定形式的平方和表示。 18.用全等多面体构造空间。 19.正则变分问题的解一定是解析的吗？ 20.一般边值问题。 21.具有指定单值群的线性微分方程解的 存在性证明。 22.通过自守函数使解析关系单值化。 23.变分法的进一步发展。,9,二、 适当的问题对科学发展的价值,1 有问题的学科才有生命力 问题，在学科进展中的意义是不可否认的。一门学科充满问题，它就充满生命力；而如果缺乏问题，则预示着该学科的衰落。正是通过解决问题，人们才能够发现学科的新方法、新观点和新方向，达到更为广阔和高级的新境界。 提出数学问题的动力，不仅来自数学以外的客观世界

4、，也来自数学内部的逻辑发展。例如：素数的理论；非欧几何；伽罗瓦理论；代数不变量理论。,10,2 提出一个“好的问题”是不容易的 这是因为在解决问题前，要想预先判断一个问题的价值是困难的，问题的价值最终取决于科学从该问题得到的收益。因此，只有对该学科的知识有广泛而深入了解的学者，对该学科的发展有清醒的认识和深刻洞察力的学者，才能提出有较大价值的“好的问题” 。,11,3 “好的问题”的标准 尽管有困难，人们仍希望给出“好的 问题”的一般标准。希尔伯特在他的演讲 中就提出了这样的标准。我们把它归纳叙 述如下：,12,1）清晰易懂 即，问题本身应很容易解释清楚，让别人听懂。希尔伯特说：“一个清晰易懂

5、的问题会引起人们的兴趣，而复杂的问题使人们望而生畏。” 2）难而又可解决 希尔伯特说：“为了具有吸引力，一个数学问题应该是困难的，但又不应是完全不可解决，而使我们劳而无功。” 3）对学科发展有重大推动意义 问题解决的意义，不是局限于问题本身，而是波及整个学科，推动整个学科的发展。,13,“好的问题” 举例,费马大定理 五次方程根式解 最速降线问题 三体问题,14,三、“希尔伯特问题”解决的现状,经过整整一个世纪，希尔伯特的23个问题中，将近一半已经解决或基本解决。有些问题虽未解决，但也取得了重要进展。 能够解决一个或基本解决一个希尔伯特问题的数学家，就自然地被公认为世界一流水平的数学家，由此也

6、可见希尔伯特问题的特殊地位。,15,希尔伯特问题的研究与解决，大大推动了许多数学分支的发展，这些分支包括：数理逻辑、几何基础、李群、数学物理、概率论、数论、函数论、代数几何、常微分方程、偏微分方程、黎曼曲面论、变分法等。第二问题和第十问题的研究，还促进了现代计算机理论的成长。,16,重要的“问题”，历来是推动科学前进 的杠杆。但一位科学家，如此自觉、如此 集中地提出如此一整批问题，并且如此持 久地影响了一门学科的发展，这在科学史 上是仅有的。,17,在20世纪末，人们也想模仿19世纪 末的希尔伯特，提出一批有价值的数学问 题。但由于20世纪数学的发展，数学的分 支越来越细，已没有一个人能像当年

7、的希 尔伯特那样涉足数学的广泛领域。于是人 们想到了组成一个数学家的小组，来做这 件事，并且已经付诸行动，但最终并没有 做成这件事。这也反衬出希尔伯特的伟 大。,18,当然，希尔伯特当年也不是尽善尽美 的。一些评论者认为，其局限性是，希尔 伯特问题未包括拓扑学和微分几何，而这 两者在20世纪也成了数学的前沿和热点， 这是希尔伯特没有预见到的。此外，希尔 伯特问题除数学物理外，很少涉及应用数 学。,19,四希尔伯特的人品,希尔伯特不仅是一位伟大的数学家，而且有很高尚的品德，令人尊敬的不只是他的数学成就，也包括他优秀的人品。,20,1第一次世界大战时拒绝在“宣言” 上签字 在第一次世界大战爆发时，

8、德国政府 让它的一批最著名的科学家和艺术家出来 发表一个“宣言”，声明他们拥护德国皇帝 威廉二世。“宣言”的第一句是：“说德国 人发动了战争，这不是事实”。,21,“宣言”的题目是告文明世界，邀 请了一批知名人士签字。当局认为，知名 人士中的数学家，大半只是为他们的同行 所了解而不为外界熟知，因而数学家中只邀请了世 界声望最高的希尔伯特和克莱因两人签 名。前边提到过的发表埃尔朗根纲领、用 不变量观点统一几何学的那位数学家克莱 因，未有什么怀疑就签了名。但希尔伯特 仔细阅读后，却表示他不能判断“宣言”内 容的真实性，从而拒绝签字。,22,在宣言上签字的，除了克莱因，还有 德国的另一些著名的科学家

9、，如普朗克， 伦琴等。这份1914年10月15日发表的“宣 言”，使文明世界震惊：那些素来受人尊 敬的科学家们怎么会同意在这样一份欺骗 文明世界的“宣言”上签字？,23,希尔伯特拒绝签字，也特别引人注 目。在国内，似乎他是一个卖国贼。当 1914年11月开学时，许多学生不再来听 希尔伯特的课。但是希尔伯特的大多数同 行理解和同情他。克莱因也很快就后悔自 己的所谓“爱国”行动。当时世界上最著名 的巴黎科学院开除了克莱因，希尔伯特则 更加受到尊重。,24,2为法国数学家达布写悼念文章 “达布上和”、“达布下和”，在定积分 理论中为大家所熟知。达布是法国人，而 当时法国是与德国交战的敌国。所以191

10、7 年达布逝世时，德国人不敢悼念他。而希 尔伯特对达布非常敬佩，他写了一篇悼念 文章。,25,文章发表后，一群学生到希尔伯特的家门口示威，要他收回和销毁这篇悼念“敌人数学家”的文章。希尔伯特断然拒绝这一无理要求，并且到校长那里提出辞职。结果希尔伯特很快收到了校方的道歉信。悼念达布的文章也继续刊登。希尔伯特一生只写过四篇悼念文章，除这篇外，其余三篇分别是悼念魏尔斯特拉斯（创造 语言者）、闵可夫斯基（苹果树下散步者）和赫尔维茨（苹果树下散步者）。,26,魏尔斯特拉斯(18151897) 德意志帝国数学家。1815年10月31日生于威斯特法伦州的奥斯滕费尔德，1897年2月19日卒于柏林。1834年

11、入波恩大学学习法律和财政。1838年转学数学。18421856年，先后在几所中学任教。1854年3月31日获得柯尼斯堡大学名誉博士学位。1856年10月受聘为柏林大学助理教授，同年成为柏林科学院成员，1864年升为教授。,27,闵可夫斯基（Hermann Minkowski，18641909）出生于俄国的 Alexotas (现在变成立陶宛的 Kaunas)。1873年，闵可夫斯基进入艾尔斯塔特预科学校读书。 1884年，年方25的数学家Hurwitz来到Konigsberg大学当副教授，很快地便和闵可夫斯基及Hilbert建立起友谊，共同的科学爱好把他们紧密地结合在一起。,闵可夫斯基,28,

12、赫尔维茨,29,3对女数学家爱米诺特的支持 当时的德国，对女科学家和资历较浅的学 者是有一定歧视的。现在公认的著名女数学家 爱米诺特，1916年从埃尔朗根来到哥廷根， 就遇到这样的歧视。但希尔伯特和克莱因很重 视她，要为诺特争取一个讲师的职位，却遭到 大学评议会的反对。希尔伯特在会上说：“我 无法想象候选人的性别，竞成了反对她升任讲 师的理由。”,30,后来，希尔伯特以自己的名义申请了 一门课，让爱米诺特来讲授。诺特很快显 示出她的才能，后来也成为世界著名的数 学家，在代数方面有巨大的贡献，做了许 多奠基性的工作。,31,通常把诺特1921年发表的环中的理想论，看作现代抽象代数的开端。 由于对

13、概念的准确抽象及表述，诺特的理论具有令人惊叹的普遍性。,32,4对康托集合论的支持 康托的集合论打出实无限的旗帜，遭到另一些持潜无限观点的数学家的反对，包括他的老师克罗涅克尔的反对。克罗涅克尔个性专横、语言刻薄，利用他的威望和权势压制康托，所以康托当年的地位和待遇都不好。而希尔伯特则客观、公正地评价康托的学术成就，并给予支持，这表现了希尔伯特的学术公正和为人正直。,33,康托(Contor,Georg)(1845-1918)，俄罗斯德国数学家、19世纪数学伟大成就之一集合论的创立人。康托自幼对数学有浓厚兴趣。23岁获博士学位，以后一直从事数学教学与研究。他所创立的集合论已被公认为全部数学的基础

14、。,34,5攻克果尔丹问题中的表现 果尔丹问题是关于二次型不变量的一个问 题。果尔丹解决了二次型的有限完备不变 量系，下一个问题是：对于给定的二次 型，是否存在一组有限的基，使所有不变 量都能够用这组基的有理整式表达。称之 为果尔丹问题。,35,果尔丹本人后来解决了二元、三元二 次型的这一问题，用的是“构造性证明”。 后人继续用这一思路，德、英、法、意许 多数学家，经过20年的努力，也未最终解 决果尔丹问题。而希尔伯特另辟奚经，出 奇制胜，统一地对任意元的给定的型，证 明了果尔丹定理。当时希尔伯特还是讲 师，学术权威们认为，没有构造的存在性 证明不算是数学上的存在性证明。,36,希尔伯特不畏权

15、势，坚持真理。随着 时间的推移，人们逐渐认识到，这种纯存在 性证明比构造性证明更有价值、更本质。 希尔伯特本人，后来也在这种纯存在性证明 的思路启发下，给出了一个构造性证明。 这有力地改变了人们的看法，果尔丹也从 过去说希尔伯特的方法“是神学”，转而表 示敬意。,37,思考题,如果只要求找出次品乒乓球，并不要 求判断次品是过重还是过轻，那么三次使 用不带砝码的天平，最多可以从多少个 乒乓球中找出唯一的次品？,38,趣题找次品：,1）有5个外形相同的乒乓球，其中只有 1个重量不标准的次品乒乓球。 现再给你一个标准球；请用一架不带砝码的天平，最多两次使用该天平，找出上述次品乒乓球。,39,趣题找次

16、品：,2）有12个外形相同的乒乓球，其中只有 1个重量不标准的次品乒乓球。请用一架不带砝码的天平，最多三次使用该天平，找出上述次品乒乓球，并判断它是重于标准球，还是轻于标准球。,40,思考题,如果只要求找出次品乒乓球，并不要 求判断次品是过重还是过轻，那么三次使 用不带砝码的天平，最多可以从多少个 乒乓球中找出唯一的次品？,41,趣题填骨牌： 用个 矩形骨牌挤满 矩形盒， 有多少种方法？如下图。 （ 矩形骨牌 ） （ 矩形盒 ）,42,用个 矩形骨牌挤满 矩形盒， 有多少种方法？如下图。,43,提示,问题一般化 问题特殊化 猜测规律 证明规律,44,问题一般化 n 2,45,示:(1) ； (2) ， ； (3) ， ， ； ,46,用个 矩形骨牌挤满 矩形盒， 有多少种方法？如下图。,47,本节结束,谢谢,