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1、第三节 向量组的相关性,解线性方程组,原方程组的有效方程个数为2个,一、方程组解与矩阵秩的关系,解线性方程组,解线性方程组,原方程组的有效方程个数为3个,原方程组的增广矩阵的秩,-原方程组有效方程个数,二、向量的线性表示,注意,1.行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；,2.当没有明确说明是行向量还是列向量时， 都当作列向量.,二、向量的线性组合,三、向量组线性相关性,观察方程组,请问方程(1)(2)(3)之间有什么关系？,方程(3)由方程(1)(2)相加得到，可认为是”多余的”，将它去掉不会影响方程的解。,这样含有“多余方程”的方程组被称为“线性相关”。,引入：,将方程组抽象出向量，即向量
2、组“线性相关”。,更一般地，方程组,如果有一方程是其余方程的线性组合，也是“多余的”。这样的一组方程称为“线性相关”。将方程组抽象出向量，即向量组“线性相关”。,若空间中有三个向量 如果其中有一个是另外两个的线性组合，则向量组就线性相关。,若 有解，则相关。,若 有解，则相关。,若 有解，则相关。,如何定义向量组“线性相关”？,若向量多，好像很麻烦！,若 有解，则相关。,若 有解，则相关。,若 有解，则相关。,如何定义向量组“线性相关”？,请尝试给出“线性相关”的一般概念,二、向量组线性相关性的定义,则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关,请问：否则是什么情况？,则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关,小结：判断向量组线性相关性较简单的方法： 观察法。,小结：无法用观察法向量组线性相关时，可以用待定系数法。,说明： 可以用观察法决定两个向量是否线性相关，只要看一个向量是否另一个向量的倍数即可。,几何意义,从几何意义上看，两个向量线性相关，当且仅当他们共线。,一、线性相关无关的定义,二、判断线性相关性的方法,总结：,1、观察法,2、待定系数法,3、定理法,例,