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1、第四章 将地面观测值归算至椭球面,将地面观测的水平方向归算至椭球面 将地面观测的长度归算至椭球面 椭球面三角形的解算 (补),上一讲应掌握的内容,1、子午线弧长计算公式,对于75国际椭球：,对于400km以下的子午线弧长计算公式,上一讲应掌握的内容,2、平行圈弧长公式,3、经纬格网的面积公式,上一讲应掌握的内容,4、相对法截弧的概念与特点 5、大地线的的性质 6、大地线的微分方程 7、大地线的克莱劳方程及其含义,在旋转椭球面上，大地线各点的平行圈半径与大地线在该点的大地方位角的正弦的乘积等于常数。式中常数C也叫大地线常数。,克莱劳方程的应用,对于同一条大地线上的各点因要保持同一个C值，而使点上
2、的大地线方位角与平行圈半径两者间的变动互为制约。 当大地线穿越赤道时 赤道是大地线 C = a 当大地线达极小平行圈时 子午圈是大地线 C = 0 对于同一条大地线上两点，克莱劳方程可以写出 用以检查纬度和方位角计算的正确性。,观测的基准线不是各点相应的椭球面的法线，而是各点的垂线，各点的垂线与法线存在着垂线偏差。 归算的两条基本要求： 以椭球面的法线为基准； 将地面观测元素化为椭球面上大地线的相应元素。 一、将地面观测的水平方向归算至椭球面 将水平方向归算至椭球面上，包括垂线偏差改正、标高差改正及截面差改正，习惯上称此三项改正为 三差改正。,4.6 将地面观测值归算至椭球面,（一）垂线偏差改
3、正,以测站A为中心作出单位半径的辅助球,u是垂线偏差，它在子午圈和卯酉圈上的分量分别以,表示，M是地面观测目标m在球面上的投影。垂线偏差对水平方向的影响是(R-R1),大地测量计算常令：,标高差改正又称由照准点高度而引起的改正。 如果照准点高出椭球面某一高度，则照准面就不能通过照准点的法线同椭球面的交点。由此引起的方向偏差。,用椭球半径的近似值代入得：,（二）标高差改正,（三）截面差改正,将法截弧方向化为大地线方向 应加的改正叫截面差改正,该项改正很小，100公里约0.03，只有一等控制网才顾计此项改正。,用椭球半径的近似值代入得：,一般情况下： 一等加三差改正； 二等加垂线偏差改正和标高差改
4、正； 三等和四等一般不加三差改正 但当垂线偏差10时或H2000m时，应考虑加垂线偏差改正和标高差改正,（四）三差改正计算,控制测量作业规定：一等需算至0.001，二等为0.01， 三等和四等为0. 1 （1）设 A=0，ctgZ1=0.01 当=5时， u=0.05 当=10时， u=0.1,（2）设 A=45， B=45 当H=200m 时， h=0.01 当H=1000m 时， h=0.05,（3）设 A=45， B=45 当S=30km 时， g=0.01 当S=60km 时， g=0.05,过去使用测量计算用表集计算,二、将地面观测的长度归算至椭球面,实测的电磁波测距边在经过仪器的加
5、常数、乘常数改正、大气改正、波道弯曲等改正后，所得出的是由仪器中心至反光棱镜中心间的倾斜距离D，而并非对中的两标石中心间距离。设依据测线两端点各自在参考椭球面上的大地高为H1，H2：,将地面观测的长度（电磁波测距）归算至椭球面,由以上两式得： 经过简单变化，得： 按反正弦函数展开级数：,为了保证S的计算精度不低于10-6级，当D10km时，高差h=（H2-H1）的精度必须达0. 1m；当D10km时，其精度必达1m 。大地高H本身可须达5m，而曲率半径RA达1km即可。,20km,改正8mm,将地面观测的长度归算至椭球面（续）,为了某些应用和说明各项的几何意义，上式经进一步化简：,右端第二项是
6、倾斜改正的主项，经此项改正，测线变为平距 第三项为测线高出椭球面引起的投影改正，经此项改正后，测线变成弦线； 第四项则是由弦长改化为弧长的改正项。 由倾斜距离D求两点在椭球上两点间的弦长：,工程控制网中将地面观测的长度归算至 椭球面弧长的计算,若以平均高程面作投影面，当范围不大，可以用球代替椭球；球半径采用地球平均半径。计算公式为：,为什么？,将上式两端对R取微分并舍去高次项，得：,计算取值精度分析,由此可见，在R概略值6370km上下各40km的范围内，即使测距边高出于投影面1000m，仍能保证边长归化高达百万分之一精度。在我国任何地方、任何方位的椭球面的曲率半径均在6370km40km以内
7、，都可以按圆球半径R=6370km归算测距边长。,可见，高差的准确求定对测距边的改平至为重要，尤其是在短边和高差较大的情况下。,若： dS/S=10-6, Hm=1km, R=6370km， 得： dR=40.6km。,若： S=2km, h=500m, dS=1mm 得： dh=4mm。,三、椭球面三角形的解算（补充）,椭球面上的三角形是由大地线组成，曲线上每点的曲率半径不等。 经研究表明：半径约140km范围内的椭球面可当作球面看待，其球面半径可选为三个曲面点的平均曲率半径。 也就是说，当三角形的边长小于200km（ 240km ）时，就可把椭球面三角形当球面三角形来解算。两者对应的边长相
8、等，对应角之差小于0.001 勒让德定理：对于较小的球面三角形，可用平面三角公式来解算，只需使三个平面角等于相应的球面角减去三分之一的球面角超，而边长保持不变。,球面三角形用平面三角公式解算,勒让德定理表明：可按平面三角形的解法解算此三角形，所得到的边长即为球面边长，也即为椭球面边长。 例如：a为已知边，A0，B0，C0为已知角，求b，c。 直接用正弦定理解算。, ？,球面角超的计算,球面角超的定义：,球面角超计算公式：,F为平面三角形面积：,化算平面角需要球面角超，而球面角超的计算又需要平面角，因此直接用球面角计算球面角超就带有误差。 当边长不大于90km时，这种误差小于0.0005，直接用
9、球面角代替平面角计算球面角超,结束,再见!,子午线弧长计算公式系数,主曲率半径的计算公式系数,在通常情况下，正反法截线是不重合的。因此在椭球面上A，B，C三个点处所测得的角度(各点上正法截线之夹角)将不能构成闭合三角形。为了克服这个矛盾，在两点间另选一条单一的大地线代替相对法截线，从而得到由大地线构成的单一的三角形。 当A，B两点位于同一子午圈或同一平行圈上时，正反法截线则合二为一。(但不是平行圈),由椭球面上A点的法线与另一点B点所确定的法截面与椭球面相割得到的曲线称为A到B的法截弧。 A到B的法截弧与B到A的法截弧互为正反法截弧。 相对法截线的特点:,大地线的性质,1、曲面上连接任何两点的
10、最短直线必为大地线； 2、大地线上任何点的密切平面就是该点的法截面；,3、大地线位于相对法截线之间，并靠近正法截线，它与正法截线间的夹角,4、在椭球面上进行测量计算时，应当以两点间的大地线为依据。在地面上测得的方向、距离等，应当归算成相应大地线的方向、距离。 长度差异可忽略（40km以内）， 但方向差异需改化。,大地线的微分方程（推导）,由球面余弦定理得：,三差改正计算,控制测量作业规定：一等需算至0.001，二等为0.01， 三等和四等为0. 1 （1）设 A=0，ctgZ1=0.01 当=5时， u=0.05 当=10时， u=0.1,（2）设 A=45， B=45 当H=200m 时， h=0.01 当H=1000m 时， h=0.05,（3）设 A=45， B=45 当S=30km 时， g=0.01 当S=60km 时， g=0.05,