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1、2.4 非齐次线性方程组解的结构,非齐次线性方程组,其中,令,则方程组（*）可表为,结论：,方程组（*）有解,可由 线性表出, ,秩 = 秩 ,秩(A) = 秩( )，这里 = A , b,定理 非齐次线性方程组 有解的充分必 要条件是,秩 = 秩( ),推论 当非齐次线性方程组 有解时，解 无穷多的充分必要条件是,秩(A) A的列数 = 未知数个数,非齐次方程组（*）：AX = b,齐次方程组（*）：AX = 0,称（*）为（*）的导出方程组。,性质,(1) 设 是非齐次线性方程组 AX = b的任 意两个解向量，则 是其导出方程AX=0的解 向量；,(2) 设 是非齐次线性方程组 AX =
2、 b的任一个 解向量， 是其导出方程组 AX = 0的任一个解向 量，则 是 AX = b的解向量。,定理 设非齐次线性方程组 AX = b有无穷多个解， 则其一般解为,其中 是 AX = b的一个特解， 是导出方 程组 AX = 0的一个基础解系， 是 t个任意常 数。,例 求下列方程组的一般解,解,考虑方程组, 一般解为,例 已知非齐次方程组,的两个解 ，求其一般解。,解 因为方程组有两个解，解不唯一，故其系数矩 阵 A的秩小于等于2。,又A的前两行线性无关，说明 A 的秩大于等于2。由此得 秩(A) = 2。,于是，原方程组 的导出方程组 AX = 0的基础解系含 3-2=1个解。,可取
3、,作为导出方程组的基础解系，取 作为原 方程组的特解，则原方程组的一般解为,思考题 设 AX=0是非齐次线性方程组 AX=b的导出 方程组，问,（1）AX = 0有非零解 AX = b有无穷多解？,（2）AX = b有唯一解 AX = 0只有零解？,小结：,1. 求线性表出,2. 判别线性相关性,3. 求向量组的秩与极大无关组,4. 求矩阵的秩,5. 求齐次线性方程组的基础解系,6. 非齐次线性方程组解的结构,例 证明：若向量组 线性相关，则向 量组,也线性相关。,证明 因为 可由 线性表 出，所以,秩 秩 ,已知 线性相关，故有,秩 n,于是，,秩 n,由此可得 线性相关。,例 证明：若向量
4、组 线性无关，则 向量组,当 n为奇数时线性无关，当 n为偶数时线性相关。,证明 令 ，则,因 线性无关，故,（1）,讨论此齐次方程组有无非零解：,取其系数矩阵,对 A顺序做初等行变换,当 n为奇数时，A可化为,此时，齐次方程组（1）只有零解，故有,于是， 线性无关。,当 n为偶数时，A可化为,此时，齐次方程组（1）有非零解，故 线性相关。,证明： 线性无关。,例 设 是非齐次线性方程组 的一个特 解， 是导出方程组 的一组基础 解系。令,证明 令,则,（1）,由此得,因为 ，故,（2）,于是由 式(1) 得,已知 是基础解系，它们线性无 关，故,再由 式(2)得 。所以, 线 性无关。,例
5、设,（1）证明：若 AY = b有解，则 的任一 组解也是 的解；,（2）证明：AY = b有解 无解， 其中O是 零矩阵。,证明 （1）设 AY = b有解，则存在一个 ，使 。于是， 。,任取 的一个解 ，则 。,因,故 是 的解。,（2） 设 有解，则有,因,故,由此得,设 ，则,又,故,由此得,所以，方程组 AY = b有解。,例 已知四元齐次线性方程组,（I）,与四元齐次线性方程组（II）的一般解,问方程组（I）与（II）有无非零公共解？求它们的全 部公共解。,解 （法一）易得方程组（I）的一般解为,设 是方程组（I）与（II）的公共解，则存在数 使,即,因向量组 线性相关，故存在不
6、全为零的 ，使上 式成立。由此可知，方程组(I) 与 (II)有非零公解 。,由上式可得,解得其一般解为,于是，方程组（I）与（II）的全部公共解为,（法二） 因方程组（II）的一般解为,代入方程组（I）有,由此得,所以，方程组（I）与（II）的全部公共解为,例 考虑方程组,(I),(II),在只能处理3位有效数字的计算机上讨论它的解。,讨论 首先,方程组(I)的理论解为,方程组(II)的理论解为,1. 把 舍入为 1.01，得,的解为 的解为,2. 把 1.015舍入为 1.02，得,的解为,的解为,上述讨论可得，方程组()的系数的一个极小变化对解产生很大影响，称这样的方程组为病态的。而方程
7、组()则无此现象，相应称之为良态的。,例（投入产出问题）假设有三户人家，其中一户有一人是木工，令一户有一人是电工，第三户有一人是水管工。三家约定合作修理他们的住房。他们共同制订了一个修理计划：,每户出一人，工作十天，并且每人工作一天应由三家共同支付工资（包括维修自己的住房）。具体日程表如下,出于可以理解的原因，这三户要求满足如下的平衡条件：,“每户在十天内的总支出=其总收入”,若规定每个工人的日工资在68元间浮动，则我 们的问题是，如何确定每个工人的日工资数额，以使 上述修理计划得以实现。,解 设 分别表示木工、电工、水管工 的日工资，则平衡条件可以表示为,整理并写成矩阵形式，得,所以， 是齐
8、次线性方程组,的解。不难求出上述方程组的一般解为,这里，k是任意常数。,根据事先规定的工资浮动范围，可取 k=0.2。 由此得木工、电工、水管工的日工资分别为 6.2元， 6.4元，7.2元。,这个例子有一个显著特征：我们把这三个工人看 成一个经济体系中的三个主体（称为企业），他们在 获得投入（工资）的前提下，都具有产出（工作）的 能力。而且，每个人的产出量（天数）是确定的，但 产出的价格（日工资）不确定。我们需要确定每个人 的产出价格，以使在固定时间周期（天）内，每个人 的总产出等于其所获得的总收入。显然，这三个工人 在这天就构成了一个自给自足式的经济系统。,下面考虑一般情况。假设有一个经济
9、系统由k个企 业构成，顺序给这些企业标号为第1，第2，第k个 企业。在一个固定时间周期内，每个企业都能产出或 提供可被整个系统完全利用的某种商品或服务（产出 量是确定的）。一个重要问题是如何确定这 k个企业 产出的价格，以使每个企业的总产出等于其总收入。 这样的价格结构反映出该经济系统处于一个自我平衡 的状态。,在固定时间周期内，令,第 i 个企业关于其总产出的报价,第 j 个企业被第i个企业购买的那部分 产出在其总产出中的比值，,根据上述定义，得,称 P为价格向量，A为交易矩阵。则该经济系统的 平衡状态可公式化为,或,上式为一个关于向量P的齐次线性方程组。 它有非零解,令,因为交易矩阵A的每列元素的和均为1，故可知,所以，方程组 总有非零解。但是，我 们还必须要求价格向量的每个分量均非负（当一个向 量 P或矩阵A的元素均非负时，记 或 ）， 对此，我们有,定理 若A是一个交易矩阵，那么齐次线性方程组,必有一个分量均非负的非零解P。,例 设,则平衡条件,即为,它有一般解,这里k是任意常数。显然，只要取 ，则可得非 负解 。,