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1、1,第八章 相量法,8. 1 正弦量的基本概念,8. 2 周期性电流、电压的有效值,8. 3 正弦量的相量表示,8.4 电路定律的相量形式,2,一.正弦量：按正弦规律变化的量。,瞬时值表达式：,i(t)=Imcos(t + ),波形：,周期T (period)和频率f (frequency) :,频率f ：每秒重复变化的次数。,周期T ：重复变化一次所需的时间。,f =1/T,单位：Hz，赫(兹),单位：s，秒,8. 1 正弦量的基本概念,3,(1) 幅值 (amplitude) (振幅、 最大值)Im：反映正弦量变化幅度的大小。,(2) 角频率(angular frequency) w：每秒
2、变化的角度(弧度)， 反映正弦量变化快慢。,二、正弦量的三要素：,(3) 初相位(initial phase angle) y ：反映了正弦量的计时起点。,( t +) 表示正弦量随时间变化的进程,称之为相位角。 当t=0时，相位角(t+)= ， 故称 为初相位角，简称初相位。,单位： rad/s ，弧度/秒,i(t)=Imcos(wt +y),4,同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。,一般规定：| | ,5,三、同频率正弦量的相位差 (phase difference),设 u(t)=Umcos(wt + yu ) , i(t)=Imcos(wt +yi ),则 相位差 即相位角之差：
3、j = (wt + yu) (wt + yi ) = yu-yi, 0， u 领先(超前) i 角， 或i 落后(滞后) u 角 (u 比 i 先到达最大值)。, 0， i 领先(超前) u 角， 或u 落后(滞后) i 角.,恰好等于初相位之差,6,j = 0， 同相,j = (180o ) ，反相,特殊相位关系：,7, = p/2： u 领先 i p/2, 不说 u 落后 i 3p/2； i 落后 u p/2, 不说 i 领先 u 3p/2。,同样可比较两个电压或两个电流的相位差。,规定： | j | (180),8,8. 2 周期性电流、电压的有效值,周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，
4、为了衡量其大小工程上采用有效值来表示。,电流有效值定义为：,瞬时值的平方在一个周期内积分的平均值再取平方根。,物理意义：周期性电流 i 流过电阻 R，在一周期T 内吸收的电能，等于一直流电流 I 流过R , 在时间T 内吸收的电能，则称电流 I 为周期性电流 i 的有效值。,有效值也称均方根值(root-mean-square，简记为 rms。),1. 周期电流、电压有效值(effective value)定义,9,W2=I 2RT,同样，可定义电压有效值：,10,2. 正弦电流、电压的有效值,设 i(t)=Imcos(t + ),11,同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：,若一交流电压有
5、效值为U=220V，则其最大值为Um311V；,U=380V， Um 537V。,工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。,测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。,区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号,*注意,12,1. 复数A表示形式：,A=a+jb,一、复数,8. 3 正弦量的相量表示,13,两种表示法的关系：,直角坐标表示,极坐标表示,或,2. 复数运算,则 A1A2=(a1a2)+j(b1b2),(1)加减运算直角坐标,若 A1=a1+jb1， A2=a2+
6、jb2,加减法可用图解法。,14,(2) 乘除运算极坐标,除法：模相除，角相减。,乘法：模相乘，角相加。,则:,15,例2.,解：上式,例1.,解:,16,ej/2 =j , e-j/2 = -j, ej = 1 故 +j, j, -1 都可以看成旋转因子。,几种不同值时的旋转因子：,(3) 旋转因子：,复数 ejq =cosq +jsinq =1q,A ej 相当于A逆时针旋转一个角度，而模不变。故把 ej 称为旋转因子。,17,两个正弦量,i1+i2 i3,无论是波形图逐点相加，或用三角函数做都很繁。,因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只要确定初相位和有效值(或最大值)就行了。于
7、是想到复数，复数向量也包含一个模和一个幅角，因此，我们可以把正弦量与复数对应起来，以复数计算来代替正弦量的计算，使计算变得较简单。,角频率： 有效值： 初相位：,二、正弦量的相量表示,i1,i2,i3,18,1. 正弦量的相量表示,造一个复函数,没有物理意义,若对A(t)取实部：,是一个正弦量，有物理意义。,对于任意一个正弦时间函数都可以找到唯一的与其对应 的复指数函数：,A(t)包含了三要素：I、 、w ，复常数包含了I , 。,A(t)还可以写成,19,加一个小圆点是用来和普通的复数相区别(强调它与正弦量的联系)，同时也改用“相量”，而不用“向量”，是因为它表示的不是一般意义的向量，而是表
8、示一个正弦量。,称 为正弦量 i(t) 对应的相量。,正弦量的相量表示:,相量的模表示正弦量的有效值 相量的幅角表示正弦量的初相位,同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：,已知,例1.,试用相量表示i, u .,解：,20,相量图(相量和复数一样可以在平面上用向量表示)：,例2.,试写出电流的瞬时值表达式。,解：,21,2. 相量运算,(1) 同频率正弦量相加减,故同频的正弦量相加减运算就变成对应的相量相加减运算。,这实际上是一种 变换思想,可得其相量关系为：,22,例,同频正弦量的加、减运算可借助相量图进行。相量图在正弦稳态分析中有重要作用，尤其适用于定性分析。,首尾相接,23,(2) .
9、正弦量的微分，积分运算,微分运算:,积分运算:,微分的相量:,积分的相量:,24,（一）. 电阻,1、时域形式：,2、相量形式：,相量模型,有效值关系：UR=RI,相位关系：u=i (u,i同相),3、相量关系及相量图：,一、单一元件上电压与电流的相量关系,8.4 电路定律的相量形式,25,5、瞬时功率：,4、波形图：,瞬时功率以2交变。但始终大于零， 表明电阻始终是吸收（消耗）功率。,26,（二）电感,1、时域形式：,2、相量形式：,相量模型,3、相量关系及相量图：,27,感抗的物理意义：,(1) 表示限制电流的能力；U= XL I=LI= 2fLI,(2) 感抗和频率成正比；,相量表达式:
10、,XL=L=2fL，称为感抗，单位为 (欧姆),4. 感抗和感纳:,BL=-1/L，称为感纳，单位为S(西门子),28,6、瞬时功率：,5、波形图：,瞬时功率以2交变，有正有负， 一周期内刚好互相抵消。,29,（三）电容,1、时域形式：,2、相量形式：,相量模型,有效值关系： IC=wCU,相位关系：i=u+90 (i 超前 u 90),3、相量关系及相量图：,30,令XC= 1/wC， 称为容抗，单位为 W(欧姆) BC = wC， 称为容纳，单位为 S,频率和容抗成反比, w 0， |XC| 直流开路(隔直) w ，|XC| 0 高频短路(旁路作用),5、瞬时功率：,6、波形图：,4、容抗
11、与容纳：,瞬时功率以2交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消。,相量表达式:,31,同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行计算。因此，在正弦电流电路中，KCL和KVL可用相应的相量形式表示：,上式表明：流入某一节点的所有正弦电流用相量表示时仍满足KCL；而任一回路所有支路正弦电压用相量表示时仍满足KVL。,二、电路定律的相量形式,1、基尔霍夫定律的相量形式,32,2. 电路的相量模型 (phasor model ),时域列写微分方程,相量形式代数方程,时域电路,相量模型,相量模型：电压、电流用相量；元件用复数阻抗或导纳。,33,作业: 8-1, 8-2, 8-3, 8-7, 8-10, 8-14,